双角平分线型 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）

   

2 . 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．

3 . 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．

4 . 如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________．

5 . （1）如图（a），平分，平分.
①当时，求的度数.
②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

   

6 . 如图①，在 中，与的平分线相交于点P．

(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数．

7 . 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为（       ）

A．118°

B．119°

C．120°

D．121°

8 . 如图，平分，平分，与交于点，若，，则（       ）

A．80°

B．75°

C．60°

D．45°

9 . 如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．

（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB=       ．

1 . 如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG=      ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．

2 . 如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：

(1)在图1中，证明：；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；
(3)图2中，当度，度时，求的度数．
(4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

3 . 【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）如图2，分别平分，若，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设，试问与之间的数量关系为：                      （用表示）；
②在图5中，平分，平分的外角， 猜想与的关系，直接写出结论．                              

4 . 如图，在中，，，平分，平分，则______.

5 . 课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）

6 . 如图，在△ABC中，

(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长．
(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．
b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．

7 . 在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为　 　倍角三角形；
（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为　 　．
（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．

8 . （1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示）

9 . 如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．

10 . （1）问题发现：
如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．
   

1 . 如图，已知、的平分线相交于点，过点且．

   

（1）若，，求的度数；
（2）若，，求、的度数．

2 . 如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系.

3 . 如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：

①和都是等腰三角形
②；
③；
④若，则．
其中正确的有（   ）个

A．1

B．2

C．3

D．4

4 . 直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．

5 . 如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.

6 . 如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．

7 . 如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数

8 . 平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．

9 . 如图，的角平分线、相交于点，，则______．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若，求证：；
（2）如图（2），延长AB，交x轴于点E，过点O作，且，求度数；
（3）如图（3），OF平分，的平分线交FO的延长线于点P，当绕O点旋转时，斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C，在（2）的条件下，试问的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．

1 . 中，．
（1）如图①，若点是与平分线的交点，求的度数；
（2）如图②，若点是与平分线的交点，求的度数；
（3）如图③，若点是与平分线的交点，求的度数；
（4）若.请直接写出图①，②，③中的度数，(用含的代数式表示)

   

2 . 如图，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度数．

3 . 如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.

4 . 如图，的角平分线相交于点．

（1）若，则________；
（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．

5 . 在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（   ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，BA₁和CA₁分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA₂是∠A₁BD的角平分线CA₂是∠A₁CD的角平分线，BA₃是A₂BD∠的角平分线，CA₃是∠A₂CD的角平分线，若∠A₁=α，则∠A₂₀₁₃为（   ）

   

A．

B．

C．

D．

7 . 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．

（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）

（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．

8 . 如图，平分，过点作，，延长交于点，证明：.

9 . 如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）

A．36°

B．30°

C．20°

D．18°

10 . 我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．
（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；
（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI²=BM•CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求的值．

1 . 如图，在中，的平分线与，的外角平分线交于点，的延长线于点，已知，，求、的度数.

2 . 如图，在中，和的平分线交于点.和的平分线相交于点.若，求与的度数.

3 . 如图，，，为平分线，为的平分线，求的度数.

4 . 如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.

5 . 如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系.

6 . 如图，向两边延长的边，点是直线上点右边的一动点，，平分，平分，与交于点，当点在直线上运动时，探求与数量关系.

7 . 如图，等腰中，，为两底角与角平分线的交点.求证：.

8 . 如图：、是、的角平分线，，（   ）

A．∠BPC=70º	B．∠BPC=140º
C．∠BPC=110º	D．∠BPC=40º

9 . 如图，在平面直角坐标系中点是轴负半轴上一点，点在轴的正半轴上，点在第二象限，平分，平分，交于点，试给出与之间满足的数量关系，并说明理.

10 . 问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

(1)特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是    ；
(2)猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

1 . (1)如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；
(2)如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；
(3)上面(1)(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′ 有怎样的数量关系?若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′ 是否还具有这样的关系?这个结论你是怎样得到的?

2 . （1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．
（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？

3 . 如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，根据下列条件，求出∠BOC的度数．

（1）已知∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=         ．
（2）已知∠A=90°，求∠BOC的度数．
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．

4 . 如图，在△ABC中，．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂； ……；∠A₂₀₁₃BC与∠A₂₀₁₃CD的平分线相交于点A₂₀₁₄，得∠A₂₀₁₄ ．如果∠A＝n度，则∠A₂₀₁₄＝___________度．（直接用含n的代数式表示）

5 . 在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，∠BOC=115°，则∠A的度数是_____．

6 . 如图所示，已知为的角平分线，为外角的平分线，且与交于点D；

   

(1)若，，则____；
(2)若，，则______；
(3)当和在变化，而始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含的式子表示）

7 . 三角形ABC中，∠A=60°，则内角∠B，∠C的角平分线相交所成的角为_____．

8 . 如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．则∠E=_____度．

10 . ⑴如图①，在△ABC中， P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论．
⑵①如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．②已知∠A=n°，求∠BOC的度数．

1 . 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点.

①当∠A＝30°时，∠BOC＝105°；
②当∠A＝40°时，∠BOC＝110°；
③当∠A＝50°时，∠BOC＝115°；
当∠A＝n°（n为已知数）时，猜测∠BOC＝                ，并用所学的三角形的有关知识说明理由．

2 . 如图，△ABC中，∠ABC=96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，则的大小是_________,和的平分线相交于点,依次类推，和的平分线交于点，则的大小是____________.

3 . 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数．

4 . 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点．（每空2分，说明理由6分，共14分）

① 当∠A=20°时，∠BOC=      ；
② 当∠A=40°时，∠BOC=      ；
③ 当∠A=60°时，∠BOC=      ；
④∠A=n°时，猜测∠BOC=      ，并用所学的三角形的有关知识把④进行说明．

5 . 如图，在△ABC，∠BAC＝80º，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60º.

（1）求∠AEC的度数；
（2）想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考．