x模型 - 初中数学 - 适中

1 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．

2 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程．
（1）求证：∴；
证明：∵延长到点，使，
在和中（已作），
（______），
（中点定义），
∴（______），
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．

3 . 如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求证：

4 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．
“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作），
（_________ ）
（中点定义）
（_________ ），
（2）探究得出的取值范围是_____；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，是的中线，，且，求的长．

5 . 问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．

6 . 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)若，，求的面积．

7 . 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　．
A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．ASA
（2）如图2，长的取值范围是　 　．
A． B．   C．   D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．

8 . 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．
（2）求得的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．

9 . 【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　．
A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．

10 . 如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．

（1）若∠BAN＝15°，求∠N；
（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．

1 . 如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

2 . 如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，

(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．

3 . 阅读下面材料
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（　　　）
A．SSS　　　　B．SAS　　　　C．AAS　　　　D．HL
（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（　　　）
A．6＜AD＜8　　　　B．6≤AD≤8　　　　C．1＜AD＜7　　　　D．1≤AD≤7
【解后感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．
【灵活运用】
如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，EC=3，求线段BF的长．

4 . （1）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．
A．SSS   B．SAS   C．AAS   D．ASA
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【学会运用】
如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD.

5 . 阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且

        　　                            　　　                              　　                        
说明：
分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：
如图①过点作，交的延长线于点．
如图②延长至点，使，连接．
（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．
（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．
（3）反思应用：

如图，点是的中点，于点．
请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由．