一线三等角模型 - 初中数学 - 困难

1 . 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．

(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为           ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．

2 . 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型．
(3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值．

3 . 正方形的边长为1， E为边上动点，将绕点E顺时针旋转得到线段，M为的中点，连接，则的最小值为________

4 . 如图，直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转至线段，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为_______ ·

5 . 综合与实践：
（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
（3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积．
（4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．

6 . 已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合．

(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标；
(3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

7 . 在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，，求的度数；
(2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）；
(3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值．

8 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．

【探究问题】
（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________．
（2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【解决问题】
（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．

9 . 通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：；
【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为       ；
【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为       ．

10 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由．

1 . 【特例感知】
如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________；

【问题探究】
小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积．
【拓展应用】
如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值．

2 . 【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；

【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系．

3 . 如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

4 . （1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；

   

（2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离；
（3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长．

5 . 已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．

(1)求的面积及点到直线的距离；
(2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标．

6 . 如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______．

7 . 【教材呈现】
下面是人教版《数学八年级上册》教材，第60页，第11题的内容．

如图，，垂足分别为，求的长．     解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，

（1）请根据提示，结合上面的教材第11题图，将上述证明过程在方框内补充完整．
【问题解决】
（2）如图①，在中，，过点作直线，，垂足分别为点．
   
①求证：．
②若，则四边形的面积为_______．
【拓展延伸】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在平面直角坐标系内存在一点，使得，请直接写出点的坐标．

8 . 如图，在四边形中，，．

(1)求证：平分；
(2)在边上，连接，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长．

9 . 在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）．

10 . 在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

1 . 如图所示，的三个顶点都在反比例函数的图象上，点在点的右侧，，且过原点．若的横坐标为，则的值为___________．

2 . 如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是______．

3 . 等腰中，，为线段上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．

(1)如图，点与点重合，点落在线段上，平分，，求的度数；
(2)如图，，点，点分别为，的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(3)如图，点与点重合，点落在线段上，，，点，分别是线段，上两个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，在的右侧做等边，点为平面上一点，连接、，，当时，请直接写出的最小值．

4 . 已知，在中，．

   

(1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标；
(2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标．
(3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．

5 . 像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：

(1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：．
(3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）．

6 . 如图，在中，，对角线．点在边上，点在边上，且，连结交于点，以为底边作等腰直角三角形，使点在直线的同侧．

(1)求证：．
(2)求五边形面积的最小值．
(3)连结，直接写出的最小值．
(4)连结，当点在内部，且点到的某条边的距离等于的最小值时，直接写出的长．

7 . 综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：_________；

(2)拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：_____；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．

8 . 学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”．

(1)【初步探索】
如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______．
(2)【类比探究】
如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、．
请写出，，之间的数量关系，并证明；
若，，求的长．

9 . 如图1，等腰直角三角形中，，．过作于点，过作于点．可证得．我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图”．
【问题初探】如图2，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰，求点的坐标及直线的表达式；
【应用探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．
【拓展延伸】
随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点为原点建立平面直角坐标系，已知、的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点和点，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点的位置，使得点到点的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点的位置，并求出的最小值．

10 . （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．

1 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【模型初识】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l于点D，直线l于点E．易证：．
（1）如图1，若，，则________；
【模型应用】
（2）如图2，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，则点A的坐标为________；
【模型拓展】
（3）如图3，以的边向外分别作正方形和正方形，则，，，是边上的高，延长交于点I．
①过点E作于点M，过点G作于点N，试说明；
②若，，请求出的长．

2 . （1）【探究发现】
在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明．
（2）【知识迁移】
如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________．
（3）【拓展应用】
如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长．

3 . 在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点F与点C重合时，求证：；
(2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明；
(3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积．

4 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）
（1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

   

（模型应用）
（2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“>、、”）

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是______．

6 . 如图，等边的边长为2，过点作直线，点在直线上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．

(1)如图1，当点在边上时，求的长．
(2)将线段沿着射线方向平移，使点与点重合，点的对应点为点，得到线段，连接，．
①如图2，当是等边三角形时，求证：四边形是菱形；
②当点在射线上时，若的面积为，求的长；
③当点在射线上时，是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点．

(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标．

8 . “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．

【模型呈现】
（1）如图1，在中，，过点C作直线于点于点E，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，在中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则的长为______．
【深入探究】
（3）如图3，，连接，且于点与直线交于点G．求证：．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点．

(1)若a、b满足等式，求点B的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是为斜边的等腰直角三角形；
(3)如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，若E是线段上一点，连接交于点D，连接，当，，①求证：平分； ②设的长为a，的面积为S．请用含a的式子表示S．

10 . 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形．

(1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时．
求证：①；
②点一定在射线上；
(2)如图2，若，，连接，求的最小值．

1 . （1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．

（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．

2 . （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：；
（2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积．

3 . 如图，在四边形中，，，点，连接，且交于点E．

(1)求C，D两点的坐标；
(2)求证：；
(3)求证：E是的中点，并求点E的坐标．

4 . 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，．

(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)若P为抛物线上位于直线上方的一点，求面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；
(4)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标．

5 . 综合与实践

建立模型：如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
构造模型：如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，你能否利用图1所获得的模型，求出直线的函数表达式．
应用模型：如图3，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知直线，点B在直线l上运动，将线段绕点O顺时针旋转至线段，连接，其中点，请求出线段的最小值．

6 . 如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，．

   

(1)若，求证：；
(2)当点在边上运动时，求的最大值；
(3)如图2，连接，当时，求的值．

7 . 【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．

【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
①点A坐标为_______；点B坐标为_______；
②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______；
（2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

8 . 直线，且与的距离为，与的距离为3，把一块含有角的直角三角形如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 综合题
(1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由．

(2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由．

(3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为                ．

10 . 【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：．

【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长．

1 . 如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为________．

2 . 已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点．

(1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，，
①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示）
②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示）

3 . 如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____．

4 . 如图1，在中，，．

(1)如图2，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．
①求证：；
②请猜想与的关系，并证明你的结论；
(2)如图3，，点是内部一点，，且，点、分别是、边上的动点.当的值最小时，求的值．（用含的式子表示）

5 . 如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，

(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．

6 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型建立】
（1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型
【模型应用】
（2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________；
【模型拓展】
（3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。

7 . 过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现： ．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点逆时针旋转得到，求的函数表达式；
(3)如图4，直线分别交轴，轴于点，直线过点交轴于点，且．若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴上的一个动点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标．

8 . 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．

9 . 在中，点D在直线上，点E在直线上，直线，交于点G，过C作，交直线于点F，．若是等边三角形，当点D，E分别在线段，上时，如图①，易证：．当点D，E分别在线段，的延长线上时，若是等边三角形，如图②；若为等腰三角形，，，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图(2)或图(3)进行证明．

10 . 在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“链垂点”．

(1)如图1，
①若点的坐标为，则点关于点的“链垂点”坐标为___________；
②若点为点关于点的“链垂点”，且点位于轴上方，则点的坐标为___________；
(2)如图2，图形是端点为和的线段，图形是以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点为图形上的动点，对于点，存在点，使得点关于点的“链垂点”恰好在图形上，请直接写出的取值范围．

1 . 如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 在中，，，，点在射线上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．当时，的长为___________．

3 . 如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．

(1)若点．
①求点B的坐标；
②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）；
(2)如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系．

4 . 已知直线l₁：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l₂：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l₁、l₂交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l₁的解析式和点A的坐标．
（2）直线l₁与y轴交于点D，将l₁向上平移9个单位得l₃，l₃与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l₃上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l₁绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l₄过点G（﹣2，0），过点C作l₅平行于x轴，点M、N分别为直线l₄、l₅上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，直线：经过点．将正方形沿y轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有_________．
①直线l的解析式为；
②正方形的边长为； ③平移距离；
④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为．

6 . 综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题．老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图1所示放置，点A与点D重合，，，，连接，．求证．

初步探究：
（1）请你解答老师给出的问题；
深入探究：
（2）深思小组的同学把等腰直角三角形与按图2所示放置，点D在边上，与交于点M，与交于点N．当点D为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）勤思小组的同学按照图3的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点H是的中点，过点A，H的直线交于点G．若，，求的面积（直接写出问题的答案）．

7 . 如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（     ）

A．6

B．

C．7

D．

8 . 如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接．

(1)线段与的大小关系是：________（填“”或“”或“”）；
(2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于，若，求证：是的中点；
(3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，，求线段的长度（用含、的式子表示）．

9 . 如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点．

(1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”）
(2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由；
(3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．

(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．

2 . 在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．

（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．

3 . （1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．

4 . 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点．

(1)B点坐标为______；
(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD．
①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）
②求△PAD面积的最大值；
(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______．

5 . 如图，在四边形中，，，，，点E为边（含端点）上的动点．以为边构造等腰直角三角形，且，连接，则线段长的最小值是______，最大值是______．

6 . 如图，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上．

(1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
(2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点M，过C点作轴于D点，求的值；
(3)如图③，若点A的坐标为，点B在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰，等腰，连接交轴于P点，当点B在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值，若变化，求的取值范围．

7 . 有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点

(1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由；
(2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°，
①若，求裁出的两块木料的周长之和；
②若，，则裁出的两块木料的面积之和为          ；
(3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示)

8 . 根据以下素材，尝试解决问题．

综合与探究：“一线三直角”模型
素材1	“一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有．
素材2
问题解决
任务1	（1）如图①，当时，若，，则               ；
任务2	（2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明．
任务3	（3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则         ．
任务4	背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用． （4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为     ．

9 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．

(1)求证：△BPD∽△CEP；
(2)是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．

10 . 综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：

【建立模型】：
(1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________；
【实践探究】：
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度．
【拓展应用】：
(3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①线段和有何数量关系，并说明理由；
②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积．

1 . 在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

(1)求点C的坐标；
(2)若抛物线y＝－x²＋ax＋4经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 在中，．P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转得到线段PQ．若点Q恰好落在的边所在的直线上，则BQ的长为_________．