一线三等角模型 - 初中数学 - 适中

1 . 如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．

(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．

2 . 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由；
(2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值．

3 . 如图，和都是等腰直角三角形，，A，D，E三点在一条直线上，求证：．

4 . 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．

   

(1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）；
(2)当等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．

5 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型认知】如图①，点A在直线l上． ， 过点B作于点C， 过点D作．于点E． 易得， 又，可以推理得到． 进而得到结论：         ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型．
【模型运用】如图②，在 中，点D是上一点， 于点E， 且点E为中点，， 请求出 的面积．
根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程：
解：如图③，过点 C 作的延长线于点F，
∵，

过程缺失

请你补全缺失的解题过程．
【拓展提升】如图④，点A在直线l上， 连结，且． 于点F，与直线l交于点G．若． 则          ．

6 . （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

7 . 如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．

   

8 . “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型呈现】
（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系；
【模型应用】
（2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，．
①求的长；
②如图3，延长，交于点，求的长度．

9 . 如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点．

(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由．

10 . 在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长．

1 . 在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．

(1)当时，          ；
(2)当等于何值时，？请说明理由；
(3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．

2 . （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________．
（3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积．

3 . 综合与实践
(1)操作判断
飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是      ．

(2)开放探究
无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释．
(3)拓展应用
如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：．

4 . （1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

5 . 在中，，，直线经过点，且于，于．

(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______；
(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

6 . 如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________．

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．

  

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（　　）

A．1

B．

C．2

D．

9 . 如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则______．

10 . 如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为__________．

      

1 . 如图，在中，，，，，垂足分别为D、E．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．

2 . 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（     ）

A．

B．

C．

D．7

3 . 已知，在中，，三点都在直线m上，且．

   

(1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
(3)如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

4 . 一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．

(1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________．
(2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：．
(3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

5 . 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________．

   

6 . 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．

应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若
，求 的值．

7 . 某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程：

【问题解决】
（1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离；
【拓展延伸】
（3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．

8 . 【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：．
【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒．

（1）求线段的长度；
（2）线段的长度为           ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为           ；（用含t的代数式表示）
（3）当与全等时，求出t的值．

9 . （1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系．

（2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：．

（3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由．

10 . （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．

1 . 如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____．

2 . 如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是________．

3 . 小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为_______________．

4 . 如图，点C在线段上，，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：．

5 . 综合与实践
在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足
(1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明；

(2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明；

(3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和．

6 . 如图，在中，，在平面直角坐标系中，，求点C的坐标．

7 . 如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点．

(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．

8 . 综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）²+|a﹣2b﹣1|＝0

（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 __________ ．

10 . 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．

尝试发现：
（1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系；
类比探究：
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由；
拓展探究：
（3）若，，请直接写出的值．

1 . 综合与探究
发现问题：
(1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上．若，，则______．
提出问题：
(2)如图2，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连结，求的面积．
灵活应用：
(3)如图3，在中，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连结，过点作于点，延长交于点．求证：是的中点．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（     ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　）

A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．4cm

4 . 如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．

   

(1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：；
(2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

5 . 如图1，，垂足分别为D，E．

(1)若，求的长．
(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

6 . 【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；

【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．

7 . 如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．

（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．

9 . 如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、．

(1)证明：；
(2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长．

10 . （1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；
      
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．

1 . 如图，已知正方形，点是边上一动点（点除外），是等腰直角三角形，，点在的延长线上．

(1)如图1，当点与点重合时，证明：；
(2)如图2，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，已知．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）如图3，连接，求的值．

2 . （1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长；
（2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________．

3 . 如图，于点A，点D在直线上，．

   

(1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．

4 . 如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于______．

5 . （1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程.
（2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数.

6 . 如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（       ）

A．

B．2

C．4

D．

7 . 课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（        ）．

A．cm2

B．cm2

C．cm2

D．cm2

8 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．

9 . （1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．

（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．

（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；

②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为        ．

10 . 在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为_______；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，过点E作于M，请直接写出的值．

1 . 探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：．
应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系．
拓展：如图①中，若，梯形的面积______．

2 . 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．

3 . （1）尝试探究：如图①，在中，，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是       ；DE与BD、CE的数量关系为       ．
（2）类比延伸：如图②，，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与△ABC全等．直接写出点P的坐标．

4 . 已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．

5 . 如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合），
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．

6 . 如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结．

(1)如图1，当点在线段上时，
①求证：；
②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当为等腰三角形时，求的值．

8 . 已知为等腰三角形，，直线过点（不经过点），过点作于点，过点作于点．
(1)如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由；

(2)如图2，若点位于直线的两侧，

①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设与交于点，当时，判断与是否相等，并说明理由．

9 . 建立模型：
（1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由．

10 . 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

【感知】
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为        ．
【探究】
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．

1 . 已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．
学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．

2 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝            °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变     （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形．

3 . 已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．
（1）求证：；
（2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明，

4 . 模型探究：

（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
模型应用：
（2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，如图2，求直线的函数表达式；
（3）如图3，已知点、在直线上，且．若直线与轴的交点为，为中点．试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．

5 . 如图，在中，，点D在BC的延长线上，且，过点B作，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．

（1）求证：．
（2）求证：．

6 . 如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

7 . 已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线的垂线BM和DN，垂足分别为点M、点N，如果，，那么点M和点N之间的距离为_______．

8 . 如图，已知点是中点，，，若，，求的长．

9 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）

10 . 在平面直角坐标系中A、B两点的坐标分别为、，且a、b满足，点C为x轴负半轴上一点，．

(1)求点C的坐标；
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，设运动的时间为t秒，连接、，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内以线段为斜边作等腰直角，求点M的坐标．

1 . 如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______．

2 . 在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．

3 . 如图，抛物线y＝﹣x²+4x上有一点B（1，3），点B与点C关于抛物线的对称轴对称．过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，以C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点N的坐标为 _____．

4 . 如图AB=AC,AB⊥AC,DE经过点A，CE⊥DE，BD⊥DE.

（1）求证：∆AEC≌∆BDA；
（2）若ED=9，CE=6，求BD的长.