作垂线法 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为____________

2 . 如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

3 . 如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结．

(1)若，则点到的距离是_______；
(2)判断的形状并加以证明；
(3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

4 . 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

5 . 如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、．

   

(1)依题意补全图形；
(2)判断的形状，并证明；
(3)用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．

6 . 如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为______．

7 . 小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．

   

(1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______．
(2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．

8 . 如图，在中，，，，，延长交于.求证：.

9 . 如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

   

10 . 如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点．

(1)求点A的坐标及直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求．

3 . 如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

4 . 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF．
（1）求证：∠CAB＝∠CAD；
（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S₁，△CDE的面积为S₂，求S₁：S₂的值．

5 . 如图，是的中线，于.于，

（1）求证：；（2）若，，求的长．

6 . 已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下：

解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，
CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BECB．
又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，
∴BD＋ABCB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．
（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．

7 . 如图．在边长为3的正方形中，是线段上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边AD所在直线的上方），连接．

(1)如图1，当点E与点D重合时，直接写出此时的长；
(2)如图2，当点与点重合时，嘉嘉说：“此时”．淇淇说：“此时正方形的面积与正方形的面积的比为．”请选择其中一人的说法进行证明．
(3)如图3，当E为的中点时，解答下列问题：
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时的面积．