作平行线法 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（     ）

A．

B．

C．2

D．

2 . 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．

(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S_△ADF的取值范围．

3 . 在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．

   

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．

4 . 初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：在中，，是中点，证明：．

老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．

（2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由．

5 . 如图，在中，是边上的高，点与点关于直线对称，点是线段上的点，．

(1)求证：；
(2)连接，过点作于点，交于点．
①依题意补全图形：
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．

6 . 如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S_△ABP＝S_△DCP；⑤PM＝CD．其中正确的是___．（填序号）

7 . 已知：内接于，交于点D，点E为垂足．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在上．延长至，使，过作交的延长线于，交射线于点，若，，，求的长．

8 . 定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形．

(1)如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形；
(2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长．

9 . 如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．

10 . 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，点在边上，与交于点，则的长为（     ）

A．

B．

C．

D．