倍长中线 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，为AD上的中点，则BE＝______．

   

2 . 综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．

【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：

（1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是           ．
A.                      B.                      C.                      D.
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为           ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】
（3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．

3 . 学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．

4 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．

(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是          
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
(3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．

5 . 已知中，

(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　．
(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．

6 . 如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则_________

7 . 如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，当，，三点共线时，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明．

8 . 已知和都是等腰直角三角形，，连接，交于点F．

   

(1)如图1，当时，求证：；
(2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，若此时，F为BE中点，连接，过C点作于M点．
①探究和的关系，并说明理由；
②连接，求证：F，C，M三点共线．

9 . 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：；
【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数；
【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）．

10 . [方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．
在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______；

[思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；
[拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，．
①求证：为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差．

1 . （1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．

2 . （1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．

3 . 【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________．

【解决问题】
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）；

（3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值．

4 . 如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　

A．

B．

C．

D．以上都有可能

5 . 如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．

   

(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

6 . 已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为         ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．

7 . 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用．
【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题：
(1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围．
请你直接写出的取值范围：______；
(2)如图2，，点D为的中点，，，求；
(3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由．

8 . 初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：在中，，是中点，证明：．

老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三棵树，，，海盗头对一个水手说：“从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从到拉一根绳子，然后从出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．

（2）设1号地点为点，2号地点为点，埋藏财宝的地点为点，连接、、，判断的形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树、还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏宝的地点，并简要说明理由．

9 . 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．

10 . （1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程．

（2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________．

1 . 如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．

(1)求证：；
(2)如图（1），若点在上，直接写出的值；
(3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一点，点P为线段延长线上一点．

(1)如图1，，，求C点坐标；
(2)如图2，若，，求的面积；
(3)如图3，当点在线段的延长线上，连接，将点C沿y轴翻折得到点D，过点D作，垂足为点E，，的延长线交于点F，取线段的中点，连接，当时，求的长．

3 . 综合与探究
学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形．

初步探究：
(1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
(2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值．

4 . 已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．

5 . 【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，易证，于是我们把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____．
【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长．

6 . 如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为________．

7 . 如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，．

（1）如图，若点与点重合，求证：；
（2）如图，请写出与之间的关系并证明．

8 . 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，，连接．

(1)如图，当点落在的延长线上时，求的长．
(2)如图，连接交于点，求证：点是的中点；
(3)在旋转过程中，图中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？

9 . 在等边中，为边上一点，于．

(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值．

10 . 如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当_____________时，为直角三角形．

1 . 如图1，在五边形中，，，连接，且，．

(1)求证：；
(2)如图2，若，为边上的中线，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______．

2 . （1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；

（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；

（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．

3 . 阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．

   

求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，

   

∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

   

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

   

4 . 如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．

5 . 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . （1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　       　；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．

7 . 综合与实践
【问题情境】
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接．

【数学思考】
（1）线段与的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长．

8 . 【问题情境】
如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点．

【探究实践】
（1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程
【拓展应用】
小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形
已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：．
（2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题．
请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程．
（3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系．
请你直接写出小刚说的数量关系．

9 . 在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）

   

10 . （1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；

（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．

1 . 【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段．
【问题探究】
（1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：．

【综合研究】
（2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长．

2 . 已知，在正方形中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接并取其中点G，连接、．

(1)如图1，若的顶点E在线段上，则和的关系______；
(2)如图2，若的顶点E在线段上时，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由；
(3)若的顶点E在内，如图3位置所示，则（1）中的结论是否还成立?请说明理由．

3 . 如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．

4 . 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．

(1)问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
(3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？

5 . （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．

6 . 某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论：
【性质探究】
①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________．
②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________．
【拓展应用】
①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由．
【创新人才培养选做题】
②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值．

7 . 在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．

(1)当、、三点共线时，求证：，且．
(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．

9 . 在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．
（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长．
（2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED．

10 . （1）如图1，点是线段的中点，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
（2）①如图2，在中，，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，探究之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长．

1 . （1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是　 　．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）

（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为　 　．

2 . 正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，．已知点M为的中点，连接．

(1)如图1，①若点E为边边上一点，补全图形；
②判断并证明线段和的数量关系．
(2)如图2，若点E是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

3 . 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点；
(3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由．

4 . 【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．

5 . 如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．

6 . 已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．

（1）如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，若，求的值．

7 . 在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________；
（2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当时，直接写出的值．

8 . 将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是       ；

   

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．

9 . 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．

(1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________；
(2)如图3，当，时，则长为____________；
(3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

10 . 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，，为半圆弧上一动点，连接交半圆于点，连接，则面积的最大值为（        ）

A．3

B．4

C．5

D．6

1 . 如图1，，都是等腰直角三角形，，，，且，点在上，连接，．

（1）如果；
①求的值；
②若，是关于的方程的两根，求；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转．
①在上方，与、、同一平面内找一点，使四边形的面积_四边形与四边形的面积_四边形相等，并简要说明寻找点的作法；
②若_四边形，直接写出的长     ．

2 . 如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　       　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

3 . 【问题情境】学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.根据SAS可证得到△ADC≌△EDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是            ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【直接运用】如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.
【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.

4 . 【问题引入】
（1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，．
①如图1，直接写出与之间的数量关系        ；
②如图2，若，求证：

【变式研探】
（2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接，
①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，若请直接写出线段的长度        ．

5 . （1）凸四边形中，，为上一点，．
①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，；

②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由．
（2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由．

6 . 【阅读理解】小明利用三角形全等知识解决有关三角形三边关系问题时遇到了如下练习题：在中，，，点是的中点，连接，求的取值范围．小明进行了如下操作：在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可证明，进而可以得出．

(1)【实践应用】如图②，在中，，，点是的中点，连接，则的取值范围是           ．
(2)【类比探究】如图③，在正方形中，是边上一点，是的中点，且平分．求证：．
(3)【能力提升】如图④，在矩形中，，．点在上，点在矩形的边上，且平分．当时，直接写出的值．

7 . 如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．

（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．

8 . 八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围；
老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中；
(1)的取值范围为________；
问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由；
(2)某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程；
(3)点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）．

9 . 在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接．

(1)如图1，若点在线段上，，，求线段的长；
(2)如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值．

10 . 在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接．

(1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：；
(2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度．
(3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系．

1 . 如图，，，，点为的中点，求证：.

2 . 问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）

问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；

问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

3 . 探究并解决问题：
探究
倍延三角形的一条中线，我们可以发现一些有用的结论.
已知，如图1所示，AD为△ABC的中线，延长AD到E,使AD=DE,连接BE、CE.
（1）求证：AB∥CE.

（2）请再写出两条不同类型的结论.
解决问题
如图所示2，分别以△ABC的边AB和AC为边，向三角形的外侧作两个等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD = ∠CAE=90°，点M为BC的中点，连接DE,AM,试问线段AM、DE之间存在什么关系？并说明理由.

4 . 如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，

求证：（1）；
（2）．

5 . 如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．
(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的条件下，求的值；
(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．

6 . 定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为           ．
（2）如图，ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若，判断AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．

7 . 如图1，在中，，，，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点.

（1）求证：与相似；
（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）探究、、三者之间的数量关系，并说明理由.

8 . 如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝_____.

9 . 如图，在中，、分别是上两点，且，求证：.

10 . 点是菱形的边上一点，点在的延长线上
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若是的中点，，求的值；
（3）如图，若，点是线段的中点，求证：

1 . 如图，在矩形中，分别为边，的中点，与、分别交于点、．已知，，则的长为______________．