倍长中线 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为___________

2 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．

3 . 在中，，则的中线取值范围是________．

4 . 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】
（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．

5 . 如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．

完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　 　；
②思路二的辅助线的作法是：　 　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

7 . （1）方法呈现：
如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是                    （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

8 . 如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）若AC=，AE=，求BE的长；
（2）在（1）的条件下，求△ABD的面积．
（3）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；

   

9 . 已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.

10 . 阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

1 . 在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

   

2 . 已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．

3 . 如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（       ）

A．

B．3

C．

D．5

4 . 在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

5 . （1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．

6 . 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．

7 . 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________．

8 . 阅读       
（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；       
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；       
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

9 . 在中，，中线，则的长度不可能是（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 【方法学习】
数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：
如图，在中，，求出边上的中线的取值范围．
小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围：
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】
解：________

1 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程．
（1）求证：∴；
证明：∵延长到点，使，
在和中（已作），
（______），
（中点定义），
∴（______），
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围；
（3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．

2 . 如图，是的中线，是的中线，且，求证：．

3 . 【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．
【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系．

4 . 如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则__．

5 . 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

   

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　      ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

6 . 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是               ；

（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；

（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．

7 . 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分．

思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路：
思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接；
思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接．
(1)请挑选其中一种解题思路，给出证明．
(2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长．

8 . 如图，，，，，点M为的中点，，______．

9 . （1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为              ；
（2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长；

10 . 如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________．

1 . 如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____．

2 . 在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）

3 . 如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空．

解：如图，延长至E，使，连接．

∵为边上的中线，
∴①            ，
在和中，
②                 ，                ，                ．
∴（③      ），
∴，
∵，，
∴④             
∴的取值范围是：⑤        

4 . 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考：

（1）由已知和作图能得到，依据是________．
A．SSS       B．SAS       C．AAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【感悟方法】
（3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：．

5 . 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

6 . △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____．

7 . 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．

三角形中位线定理的证明 如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．

任务：

(1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______；
依据2：______．
(2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．
如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．
(3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．

8 . 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答：

(1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
(2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题；
(3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．

9 . 综合与实践
问题情境：数学课上，老师让每个组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，是边上的中线．老师要求各个小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究．

(1)如图1，“勤学”小组发现图中的，请你用全等三角形的知识证明这一结论；
(2)如图2，“善思”小组将图1中的纸片过点沿平行于的直线减掉一部分，连接，并在上取一点，连接，，使得．求证：；
(3)如图3，“智慧”小组将纸片沿剪开，然后保持不动，调整的位置至，延长，交于点，连接，取的中点，连接，．求证：．

10 . （1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图，
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．

1 . 【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中
∴△ABD≅△ECD（SAS）
∴AB＝　 　．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴　 　＜AE＜　 　．
又∵AE＝2AD．
∴　 　＜AD＜　 　．
【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．

2 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．
“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点，使
在和中（已作），
（_________ ）
（中点定义）
（_________ ），
（2）探究得出的取值范围是_____；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，中，是的中线，，且，求的长．

3 . 已知，如图：中，，是的中线：求证：．

   

4 . 问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．

5 . 【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题．

(1)由已知和作图能得到的理由是____________．
A．             B．             C．             D．
(2)探究得出的取值范围___________．
A．             B．             C．             D．
【问题解决】
(3)如图2，在中，，，是的中线，求证：．

6 . 如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（       ）．

A．2

B．

C．

D．3

7 . 如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（       ）

A．1＜AD＜6

B．1＜AD＜4

C．2＜AD＜8

D．2＜AD＜4

8 . 如图，为中线，点在上，交于点．求证：．

9 . 如图，AD是的中线，点E在BC的延长线上，，试说明：．

10 . 如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：．

1 . （1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．

2 . 如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．

3 . 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

4 . 综合与实践
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程．

（1）求证：；
证明：点是的中点，，
在和中，
（______）（依据）．
（2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____；
【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度．

5 . （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．

①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．

6 . 如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　）

A．2＜AD＜8

B．1＜AD＜4

C．2＜AD＜5

D．4≤AD≤8

7 . 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　．
A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．ASA
（2）如图2，长的取值范围是　 　．
A． B．   C．   D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．

8 . 如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．

9 . 下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？

小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决．
拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中，
，，F是的中点，连接，，当时，求的长．
任务：
(1)图1中与的数量关系是______；
(2)图1中，的取值范围是______；
(3)求图2中的长．

10 . 已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE²＋FC²＝EF²，求证：∠BAC＝90°．

1 . （1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；

（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．

2 . 如图，在中，在上，平分，且．求证：．

3 . 如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

4 . 已知：如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝9，CF＝6，那么AF的长度为_____．

5 . 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．
（2）求得的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．

6 . 如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC

7 . 如图，中，，，，为边的中点，则 ______．

8 . 如图，已知：，，AE是的中线，求证：．

9 . 如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．

10 . 下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．

2024年10月11日   星期五 今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则边上的中线的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点．使，连接，可证得，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边，为边分别向外作等腰和等腰，其中，，．是的中点，连接，．当时，求的长．

任务：
(1)图1中与的数量关系是__________．
(2)图1中，的取值范围是__________．
(3)求图2中的长．

1 . 如图，在中，，，边上的中线，求的长．

2 . 如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合．

3 . 如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）

4 . 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】
如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．

5 . 如图（1），在中，，．

(1)若边的长度是奇数，求的长；
(2)如图（2），为的中线．
①的周长为16，求的周长；
②求中线的取值范围．

6 . 【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　．
A．SSS     B．SAS     C．AAS     D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．
【灵活运用】
如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．

7 . 已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，
(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；
(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．

8 . 如图所示，，是的中点，，，求证．

9 . 如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（       ）

A．5

B．7

C．8

D．9

10 . 如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．

(1)求证：；
(2)求证：．

1 . 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( 　)

A．30

B．24

C．20

D．48

2 . 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．

3 . 如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．
   
(1)求证；
(2)若，，求证：四边形为矩形．

4 . 如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

5 . 课堂上，老师出示了这样一个问题：
如图1，点是边的中点，，，求的取值范围．

（1）小明的想法是，过点作交的延长线于点，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；
（2）请按照上述提示，解决下面问题：
在等腰中，，，点边延长线上一点，连接，过点作于点，过点作，且，连接交于点，连接，求证．

6 . 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．

7 . 若中，，则中线的取值范围是____________．

8 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．

9 . 在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．

（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．

10 . 在等腰和等腰中，，连为中点，连．

（1）如图1，请写出与的关系，并说明理由；
（2）将图1中的旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

1 . 已知：AD是的中线，AE=EF．求证：AC=BF．

2 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．

（1）如果，，求证：△ABC是直角三角形．
（2）如果，，，，求BC的长．

3 . 如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（       ）

A．个

B．个

C．个

D．个

4 . 阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下思路：

如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

完成下面问题：
（1）这一思路的辅助线的作法是：　 　                          ．
（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．

5 . 阅读下面材料
【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（　　　）
A．SSS　　　　B．SAS　　　　C．AAS　　　　D．HL
（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（　　　）
A．6＜AD＜8　　　　B．6≤AD≤8　　　　C．1＜AD＜7　　　　D．1≤AD≤7
【解后感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．
【灵活运用】
如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，EC=3，求线段BF的长．

6 . （1）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．
A．SSS   B．SAS   C．AAS   D．ASA
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【学会运用】
如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD.

7 . 如图，在中，，是边上的中线，延长至，使，求证：.

8 . 在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）

A．1＜AB＜11

B．4＜AB＜13

C．4＜AB＜16

D．11＜AB＜16

9 . （1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　；中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

10 . 如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm²，则S_△DGF的值为（       ）

A．4cm2

B．6cm2

C．8cm2

D．9cm2

1 . 请阅读下列材料：
问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°
（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；
小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：
（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．

2 . 在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．

3 . 阅读下面的题目及分析过程．已知：如图点是的中点，点在上，且

        　　                            　　　                              　　                        
说明：
分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：
如图①过点作，交的延长线于点．
如图②延长至点，使，连接．
（1）请从以上两种辅助线中选择一种完成上题的说理过程．
（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个．_______________．
（3）反思应用：

如图，点是的中点，于点．
请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由．

4 . 已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=4，AD=5，则边AC的取值范围是______ ．

5 . 读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.

6 . 如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：．

7 . △ ABC 中 D 是 BC 边上一点，连接 AD．
（1）如图1，AD 是中线，则 AB+AC       2AD（填 >，<   或 =）；
（2）如图2，AD 是角平分线，求证 AB- AC > BD- CD．

8 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC⊥BC，求AB的长．

9 . 在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________

10 . 如图所示，中，为的中点，，求的取值范围．

1 . 先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

2 . 已知：如图，为的中线，.求证：.

3 . 叙述并证明三角形中位线定理．
定理：                                                          ．

   

已知：如图，　　；
求证：　　；
证明：　　．

4 . 在中，，则边上中线的取值范围为（       ）（提示：可以构造平行四边形）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是中线，求AD的取值范围是_______．

6 . 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．

（1）求证：AD=AE；
（2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．

7 . 三角形两边长为4和6，则第三边上的中线x的取值范围是：（）

A．2＜x＜10

B．1＜x＜5

C．x＞5

8 . 如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，若∠FBE＝40°，则∠DFE＝（　　）

A．35°

B．40°

C．50°

D．30°