半角模型 - 初中数学 - 困难

1 . （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

2 . 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

3 . 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的．

【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________
【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________．

4 . 如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．

   

(1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________；
(2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长．

5 . 如图，在四边形中，，，，，

(1)求的长；
(2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．
①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．
②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）．

6 . 阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_       关系时，仍有EF=BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．

7 . 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为______．

8 . 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

(1)思路梳理
∵，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．
∵，
∴，点F、D、G共线．
易证       ，得．
(2)类比引申
如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．

9 . 如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABG，若BE＝2，则EF的长为___．

10 . 如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点．

（1）若，则______（用表示）；
（2）若，则的最大值是______．

1 . 如图，在正方形中，点分别是边上的两个点，连接分别与对角线交于点，连接，若，下列说法正确的序号是__________．

①
②
③
④若值为

2 . （1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；

（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；

（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

3 . 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

   

4 . 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．

   

5 . 如图，，，，，．

（1）求的度数；
（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．

6 . 【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．
（1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型应用】
（2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系．

7 . 已知点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上．

(1)如图1，若，直接写出的形状为______；
(2)如图2，在（1）的条件下，点M在线段上，作，过点C作交于点P，求证：且；
(3)如图3，若，且，点Q为第二象限内一点，且，，直接写出线段的长为______．

8 . 如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．

9 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

10 . 如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE²+DF²＝EF²；③BC²＝BF•DE；④OM＝OF（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

1 . 如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2 . 问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．

实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．

3 . 学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得．
，从而使问题得证．

(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系．

4 . （1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．

5 . 在Rt中，，，点为中点，点为线段上一动点．

(1)求的长；
(2)如图1，，点为射线上一动点，求的最大值；
(3)如图2，点在线段上，且，的长为有理数，求证：为无理数．

6 . 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．

(1)∠EAF＝        °，写出图中两个等腰三角形：        （不需要添加字母）；
(2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为        ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则        ；
(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证：BM²＋DN²＝MN²．

7 . 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．

8 . 如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．

（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为 　　．

9 . 请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

(1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

10 . 如图所示，是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长.

1 . （1）阅读理解
如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABG．易证AEF≌     ，得出线段BF，DE，EF之间的关系为 ；
（2）类比探究
如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；
（3）拓展应用
如图3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．

   

2 . 【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．

3 . 已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．

4 . 如图1所示，已知点在上，和都是等腰直角三角形，点为的中点.

（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将绕点逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.

5 . 问题背景
如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．
   
探究发现
（1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______；
拓展延伸
（2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长．

6 . 已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，

（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；
（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.

7 . 如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图1．当点F与点O重合时，直接写出的值为 　 　；
（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，，且，试探究CG与DF的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；
（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．

8 . （1）思维探究：
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是     ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G，B，E在同一条直线上，然后证明△AEF≌ 即可得证结论；（只需填空，无需证明）
（2）思维延伸：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝45°，猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；
（3）思维拓广：
如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE＝30°，当BD＝1时，请直接写出线段CE的长．

9 . 如图，在正方形中，连接，E，F是边，上的点．已知E是的中点，．

（1）的长为________．
（2）若，则的长为________．

10 . （1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：①∠BEA =∠G，② EF=FG．
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

1 . 问题提出
（1）如图1，四边形是正方形，______；
问题探究：
（2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长；
问题解决：
（3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由．

2 . 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________；
探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

3 . 如图所示：已知中，，在内部作分别交于点

[操作]（1）将绕点逆时针旋转，使边与边重合，把旋转后点的对应点记作点，得到，请在图中画出;(不写出画法)
[探究]（2）在作图的基础上，连接， 求证：
[拓展]（3）写出线段和之间满足的数量关系，并简要说明理由．

4 . 如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是__________；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°<α<180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

5 . 综合与探究
对于矩形，，，O为平面直角坐标系的原点，，，点B在第三象限．

(1)如图①，若过点B的直线与长方形的边交于点P，且将长方形的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．
(2)点M从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动．
①如图②，当点M移动了3秒时，过点M作于点D，E为的中点，F为线段上一点，且，求F点的坐标；
②如图③，当点M运动4秒时，连，点N是x轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点P，在点N运动的过程中，=        ．

6 . 矩形ABCD中，M、N为边AD上两点，连接BM、CN，MN=BM=CN，∠BMD=120°．   
   
（1）如图1，求证：AM=DN；
（2）如图2，点E、F分别在NC、BC上，∠FME=60°，求证：EF= BF+NE；       
（3）如图3，在(2)的条件下，过E作EP∥BC交MF于P，2MN=3BF，EP=7，求CE的长．