垂直模型 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在正方形中，点在边上（不与点B、C重合），点E在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（     ）

A．①②③⑤

B．①②④⑤

C．①②③④

D．①③④⑤

2 . 如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．

(1)求证：；
(2)如图，点是的中点，连接．求证：；

(3)如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．

3 . 如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．

(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：

4 . （1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；

（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）

5 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．

(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．

6 . 【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；

【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接．

(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

8 . 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；

9 . 如图，函数的图象过和两点．

(1)求n和k的值．
(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 已知，在中，．

   

(1)如图1，若，点B的坐标是，写出点A的坐标；
(2)如图2，若中的顶点A，B恰好是直线与x轴，y轴的交点，求点C的坐标．
(3)若在第一象限内，且点B是x轴正半轴上的动点，，，连接交y轴于点G．在点B的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由．

1 . 如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．

(1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：；
(2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
(3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值．

2 . 如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为．
（1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______；
（2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明；
（3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积．

3 . 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点作轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，则函数的取值范围是______；
(3)点为右侧第一象限抛物线上一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，连接，，延长线交轴于点B，点在轴负半轴上，连接、，若，求直线的解析式．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点．

   

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上的动点，当点在第四象限时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)已知点为轴上一动点，点为平面内任意一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在中，，、是的高，与交于点，下列结论：；；；若于点，则．其中正确的是____（填序号）．

6 . 【问题情境】
如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点．

【探究实践】
（1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程
【拓展应用】
小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形
已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：．
（2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题．
请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程．
（3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系．
请你直接写出小刚说的数量关系．

7 . 如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点．

(1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积．

8 . 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点A的坐标为，直角顶点B在x轴上．

(1)如图1，若点B的坐标为，直接写出点C的坐标______；
(2)如图1，若y轴恰好平分，与y轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图2，若点B在x轴负半轴，以为直角边在第三象限作等腰直角三角形，连接交于x轴点M，当点B在x轴负半轴运动时，的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的长度．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．

   

(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．

10 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】
（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．
【深入探究】
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ；
（4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为        ．

1 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 _____．

2 . 已知，射线于点A，，等腰直角的顶点D，E分别在射线和上，，，过点作于点，延长交射线于点．

   

(1)如图，点，在线段，上．
①若，，求的度数；
②证明：；
(2)若，，请直接写出线段BE的长．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线分别交x轴，y轴于点A，B．

(1)求的度数；
(2)点C是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，其中，且点D在第三象限，连接．设点C的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，连接，点F是的中点，连接并延长交x轴于点G，过点D作交x轴于点H，若，，求点D的坐标．

4 . 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．

(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点在直线上方抛物线上，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 类比探究题：
【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称．

(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值．

7 . 如图所示，中，，，点为上一点，过点作直线的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线交于点．

（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接，若，，求的长．

8 . 在正方形中，点、分别是射线和射线上的点，且，与交于点．

   

(1)如图1，求证；
(2)如图2，点是射线上一点，且，连接，．求证：；
(3)在（2）的条件下，若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积．

9 . 给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转后得到点，我们称是关于的“伴随点”．若关于的“伴随点”为，由和坐标原点构成的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，则的值是______．

10 . 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（       ）个

A．1

B．2

C．3

D．4

1 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则，正确的有（       ）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

2 . 如图所示，分别是以AB、AC为边的等边三角形，连接CD、BE，它们相交于点O，再连接OA.求证：OA是的角平分线.

3 . 直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．
（1）如图1，求点A的横坐标；
（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

4 . 已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．

(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；
(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；
(3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．

5 . 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．
①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．
①依题意补全图2；
②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．

6 . 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt．

(1)如图1，若，则点的坐标为______；
(2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：；
(3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第二象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，点在第一象限，，点坐标为，点坐标为，且．

(1)求出m，n的值；
(2)求点的坐标，并证明为等腰直角三角形；
(3)在坐标平面内有点（点不与点重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标．

9 . 如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，将矩形以所在直线为轴进行翻折，点的对应为点，点的对应点为点，直线与相交于点．

（1）若，，三点在同一条直线上，，则的值为_____；
（2）若，，，则的长为_____．

10 . 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．如图1，这是1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成．

(1)如图2，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，直接写出它们的面积，，之间的数量关系．
(2)如图3，在中，于点，以为直角顶点，分别以，为直角边，向外作等腰和等腰，过点E，F作射线的垂线，垂足分别为、．
①试说明：．
②若，，求的长．
(3)如图4，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形，连接，，．若，，直接写出六边形的面积．

1 . 如图1，矩形中，，，为矩形的对角线，的平分线交的延长线于点．点是线段上的动点，以为对角线作正方形（点，，，按逆时针方向排列）．

(1)求的长；
(2)如图2，若点G落在边上，求的值；
(3)在点F的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在的一边上？若存在，直接写出的长？若不存在，请说明理由．

2 . 抛物线与轴交于，与交于．
（1）求三点坐标，并直接写出的面积；
（2）将抛物线绕平面内一点旋转，得到，点的对应点为，点对应点为，是否存在抛物线，使得以为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为面积的4倍?若存在，求出的表达式，若不存在请说明理由．