垂直模型 - 初中数学 - 适中

1 . 【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则.

【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若时，，，，，设，求的值.

2 . 如图，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求证：EC＝AB－CD．

3 . 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

4 . 已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．

(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）

5 . 如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（        ）

A．6cm

B．1.5cm

C．3cm

D．4.5cm

6 . 【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为           ;②的度数为           ．
【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值．

7 . 如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是______．

   

9 . 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．

(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：；
(3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则=          ．

10 . 已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，找出，，之间的数量关系，并证明．

1 . 在中，，，点为直线上一个动点（点D不与点A，C重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．

(1)如图1，若点在线段上，
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)若BC＝m，直接写出当AE取得最小值时CD的长（用含m的式子表示）．

2 . 如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为______．

3 . 如图，，，于E，于D．，，______

4 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，已知点A，B的坐标分别为和．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，若点P为第一象限内反比例函数图象上的一点，且满足，点Q为x轴上一动点，连接，当最小时，求出此时点Q的坐标．
(3)在第（2）问的条件下，点M为反比例函数图象上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．

5 . 如图，直线 和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则C 的坐标为___________．

6 . 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．

(1)求，两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在四边形中，，，，，．

(1)求四边形的面积；
(2)连接，求的长．

8 . 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______．

10 . 正方形中，，点、分别为边和延长线上一点，且，点，分别是，边上一点，连接，且相交于点，若，时，则的长为________．

1 . 平面直角坐标系中，已知，，且满足．

(1)请直接写出两点的坐标；
(2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论；
(3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标．

2 . 综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．

(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；

3 . 在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：
（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．
（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

4 . 如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（       ）

A．13

B．16

C．36

D．55

5 . 如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．

(1)判断CE与BE的关系是        ．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．

6 . 如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长．

7 . 如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：；
（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想；
（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．

8 . 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时，根据图象直接写出x的取值范围；
(3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式．

9 . 如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证：

(1)；
(2)．

10 . 下面图形能够验证勾股定理的有（       ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

1 . 如图1，在平面直角坐标中，点，，，其中，点为线段上任意一点，连接，于，于．

（1）求证：；
（2）当时，若点，请你在图1中连接，交于点．求证：；
（3）若将“点为线段上任意一点”，改为“点为线段延长线上任意一点”，其他条件不变，连接，，垂足为，交轴于点，交轴于点，请在图2中补全图形，求点的坐标（用含的代数式表示）．

2 . 如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．

(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；
(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．

3 . 如图，在四边形中，，、相交于点．若，试求的长．

   

4 . 如图1，边长一定的正方形中，为边上一个动点，交对角线于，过作交于．

(1)求证：；
(2)若过作于点（如图2），求证：；
(3)若连接，交于点，，，，求与之间的关系式．

5 . 如图1，在中，，，于点，，点在上，射线，分别交，两边于，两点，

(1)当点与点重合时，如图2所示，直接写出：
①与之间的数量关系：_____________________；
②与之间的数量关系：_______________________；
(2)当点在线段上时（不与端点重合），如图1所示，则与之间的数量关系：      ．

6 . 如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接BD，若BE＝4，DG＝2，求tan∠DBG的值．

7 . 如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________．