截长补短 - 初中数学 - 困难

1 . （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．

2 . 学习理解：
（1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________；
活学活用：
（2）如图2，，，，点F为的中点．
求证：；
思维拓展：
（3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________．

3 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
   

4 . 【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．

【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．

5 . 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.

6 . 思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是　 　；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
拓展提升：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．

7 . 已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、．

(1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、．
①求证：；
②若，连接，求的度数；
(2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值．

8 . 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、．

(1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明)

9 . 如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（       ）个

①   ②连接，则平分   ③   ④

A．4

B．3

C．2

D．1

10 . 课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

1 . （1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
（2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

   

2 . 如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．

(1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是             ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3 . 如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．

   

(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

4 . 如图，在中，，E，F分别是，上的点，的外接圆与相切于点D，且．

(1)求证∶；
(2)若，的半径为5，求线段的长．

5 . 如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．

(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．
(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．

6 . 如图，在中，是的直径，，过的中点E作的垂线交于点C和D，P是上一动点．连接．

   

(1)求的长度；
(2)延长到点F，连接，使得．求证：是的切线；
(3)猜想间的数量关系，并证明．

7 . 在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．

(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．

8 . 在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接．

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，若，，求证：．
(3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积．

9 . 如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O．

(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：；
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明．

10 . 阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABC+S_△ABE=S_△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为       cm²．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．

1 . （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．

   

小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

   

（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．

   

2 . 在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

3 . 如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号）．

4 . 如图，在等边中，点在上，连接．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：；
(3)如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值．

5 . 如图，在中，，平分．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．

   

(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．

7 . 在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．
（1）当直线l在如图①的位置时
①请直接写出与之间的数量关系______．
②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．
（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；
（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．

8 . 如图，已知，平分，交于E，于F，交于G，且．

(1)若，，求的长；
(2)求证：．

9 . 已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

10 . 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
(1)如图，若，，求的长度；

   

(2)如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．

       

(3)如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．

   

1 . 安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

   

【探究证明】
（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：；
【拓展延伸】
（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明；
【思维提升】
（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：
①；
②．

2 . 如图，在中，．

（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．

3 . 在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．

(1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；
(2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG．

4 . 已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE

(1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）；
(2)如图2，当α=45°时，解决以下问题：
①已知AD=2，求CE的值；
②证明：DC-DE=AD；

5 . 如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．

（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值．

6 . 如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．

   

7 . 如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中：

①；②当时，；③；④．
所有正确结论的序号是___________．

8 . 如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．
   
（1）求出的度数；
（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）
（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（-1，0），点D（2，0），DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，延长AE交x轴于点F．
（1）求证：∠BAE=∠BEA；
（2）求点F的坐标；
（3）如图2,若点Q（m，-1）在第四象限，点M在y轴的正半轴上，∠MEQ=∠OAF，设AM-MQ=n，求m与n的数量关系，并证明．

10 . 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

          

1 . 如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．

2 . 【模型呈现】

   

（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．已知，，则______．
【模型应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，，，．若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请直接写出、、之间的数量关系．

3 . 等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．
（1）如图1，求的度数；

图1

（2）连接，若，求的值；
（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

图2

4 . 本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．

（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．

5 . 如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE   于E交AF于点F，连结 CF．

（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．

6 . 【经典再现】
（1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则：
①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）．
②______．
【深入探究】
（2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系．
②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由．

7 . 已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．

8 . 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：．

9 . 如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．

10 . 在平行四边形中，于，于，为上一动点，连接，交于，且．

（1）如图1，若，求、的长；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，请直接写出的最小值_____．

1 . 如图，是边长为1的等边三角形，，，点，分别在，上，且，求的周长．

2 . 如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．

3 . 阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”

（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、CF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．

4 . 已知，在中，为射线上一点，连接交于点.
（1）如图1，若点与点重合，且，求的长；

   

（2）如图2，当点在边上时，过点作于，延长交于，连接.求证：．
（3）如图3，当点在射线上运动时，过点作于为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值．

5 . 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有______．

6 . 已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．

   

（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．

7 . 如图1，在中，，平分，连接，，．

(1)求的度数；
(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长．

8 . 在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点．

(1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”）
(2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由；
(3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系．

9 . （1）如图①，中，，，为边上的一点，将绕点逆时针旋转90°至，作平分交于点，易证明：．若，则以、、为边的三角形的形状是______；
（2）如图②，四边形中，，，若四边形的面积是32，，求的长度；
（3）是以为底的等腰直角三角形，点是所在平面内一点，且满足，，，请画草图并求的度数．

10 . 问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?

   　　

【尝试解决】为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是       ；
【自主探索】如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD与PA，PB的数量关系是           ．（直接写出结果）
【灵活应用】把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是         ．（直接写出结果）

   

1 . 已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，

（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；
（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.

2 . 如图，在等边△ABC中，BD＝CE，连接AD、BE交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证：AC•DF＝BD•BF；
（3）连接FC，若CF⊥AD时，求证：BD＝DC．

3 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G．
（1）求∠BFD的度数；
（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；
（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．

4 . 我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形．
（1）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边上找出不同的点E，使得四边形是一个直分四边形．

（2）如图3，在直分四边形中，和互补，且，请求出的长度．

（3）如图4，在边长为2的正方形中，点E为的中点，F为上一点，使得，点G在的延长线上，连结交于点H，且．
①请证明四边形为直分四边形．
②求证：．

5 . 已知，A为射线上一定点，B为射线上动点（不与点O重合）连接，取的中点C，连接．在射线上取一点D，使得．

（1）若，
①如图1，当时，在图1中补全图形，并写出的值；
②如图2，当时，猜想的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）如图3，若，直接写出的值．

6 . 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．

7 . 在菱形中，射线从对角线所在的位置开始绕着点逆时针旋转，旋转角为，点在射线上，．
（1）当时，旋转到图①的位置，线段，，之间的数量关系是______；
（2）在（1）的基础上，当旋转到图②的位置时，探究线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）将图②中的改为，如图③，其他条件不变，请直接写出线段，，之间的数量关系．

   

8 . 如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．

9 . 如图①，直线与⊙O相交于，两点，是⊙O的直径，是圆上一点，于点，连接，且平分．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）如图②，在（2）的条件下，点是劣弧上一点，连接，，，问：线段、、之间存在什么数量关系？请说明理由．

10 . 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的长；
（2）求证：BF=OG+CF．

1 . 阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图），怎样证明呢？

分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以，点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以．
感悟与应用：
（1）如图（a），在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b），在四边形中，平分，，，，
①求证：；
②求的长．

2 . 数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可．
在此基础上，同学们进行了进步的探究：
(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图3．如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(3)小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标．

3 . 如图，在正方形中，点迕射线上，连接，作，且交正方形外角的平分线于点．

（1）若点在边的中点处时，________（填“＞”“＜”或“=”）
（2）若点为边上的任意一点（不含点，），探究此时与的数量关系，并说明理由．
（3）若点是边延长线上的一点，探究此时与的数量关系，并说明理由．

4 . 已知和都是直角三角形，，点E在内部，直线交于点F，连接．

(1)如图①，当点D，F重合时，且，线段，，之间的数量关系为___________；
(2)如图②，当点D，F不重合时，且，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不必证明；
(3)如图③，若，线段，，之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）

（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为______；
（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；
（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．

6 . 如图，四边形ABCD为正方形，点E在CB的延长线上，AF平分∠DAE交DC的延长线于点F，若BE＝8，CF＝9，则CD的长为______．

7 . 如图一，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．
（1）求证：（提示：取的中点，连接）．
（2）如图二所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．
（3）如图三所示，若把条件“点是边的中点”改为“点为延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．

8 . 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

9 . 如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．

（1）若AE=2，CD=5，则△BCF的面积为      ；△BCF的周长为      ；
（2）求证：BC=AG+EG．

10 . 阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．

   

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；
小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；
小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．
……
老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=AE，连接DF并延长交BC于点G，求的值”．
（1）求证：∠ACB=∠ABE；
（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；
（3）若DF=CF=AE，求的值（用含k的代数式表示）．

1 . 已知：在中，，．将按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点落在轴的负半轴上，使得点落在轴的正半轴上，点在第二象限，并且满足．
（1）由题意可知_____，_____（直接写答案）；
（2）求点的坐标；
（3）的斜边交轴于，直角边交轴于．在上截取，连接．探究线段的数量关系并证明你的结论．

2 . 如图（1），将线段AB绕点A逆时针旋转2α（0°＜α＜90°）至AC，P是过A，B，C的三点圆上任意一点．
（1）当α=30°时，如图（1），求证：PC=PA+PB；
（2）当α=45°时，如图（2），PA，PB，PC三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明理由；若不具有，请探索它们的数量关系．