截长补短 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：．

2 . 例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

3 . 在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．

（1）求的度数；
（2）求证：．

4 . 通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
【解决问题】
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．

证明：延长CD到G，使，
在与中，

∴理由：（SAS）
进而证出：___________，理由：（__________）
进而得．
【变式探究】
如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．

【拓展延伸】
如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．

5 . 如图，在五边形中，，平分，．

   

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

6 . 在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______．

7 . 如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．

(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．

8 . 如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．

9 . 如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（       ）

       

A．，

B．，

C．，

D．，

10 . 在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．

1 . 如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．

   

(1)求的度数；
(2)求证：．

2 . 在四边形中，点C是边的中点．

(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．

3 . 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．

4 . 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号）

5 . 如图， ，平分，平分，点在上，求证：．

6 . 实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？
把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得．

【类比探究】
（1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明．

【方法运用】
（2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由．

7 . （1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．
（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．

8 . 如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________．

9 . 同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．

(1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________．
(3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________．

10 . 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．

1 . 如图，，、分别平分、，与交于点O．

（1）求的度数；
（2）说明的理由．

2 . 阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．

3 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

4 . 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．

5 . 如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．
（1）如图①，当时，则的周长为______；
（2）如图②，求证：．

6 . 如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．

(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．
(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．

7 . 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　）

A．2

B．4

C．2

D．4

8 . 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．

9 . 如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．

10 . 如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．   
（1）求证：；

（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

1 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

2 . 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．

3 . 如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．

4 . 四边形中，平分，，，则的度数是______．

5 . 如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．

6 . 如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．

7 . 在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．

(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.

8 . 在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：
如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证；
小聪同学发现以下两种方法：
方法1：如图②，延长、交于点F；
方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、；

(1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程；
(2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证．

9 . 已知中,分别平分和交于点O,试判断的数量关系,并说明理由．

10 . 已知：如图所示．

(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，过点D画，则的长为      ．（如需画草图，请使用备用图）

1 . 如图中，分别平分相交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：

2 . 平面直角坐标系中，已知，，且满足．

(1)请直接写出两点的坐标；
(2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论；
(3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标．

3 . 如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．3

D．

4 . 数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

   

(1)求证；
(2)猜想与的数量关系，并证明；
(3)探究线段之间的数量关系，并证明．

5 . 如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．

6 . 如图所示，在中，，是的平分线．求证：．

   

7 . 在中，，平分交边于点，，则____________°．

8 . 已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．

   

(1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
(2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；
(3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由．

9 . 如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（       ）

A．3

B．9

C．11

D．15

10 . 如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

1 . 如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）

2 . 在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．

3 . 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

4 . 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．

5 . （1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明 ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

6 . 如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．

7 . 如图，中，平分，，，则的度数为_______．

8 . 如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40^o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．

9 . 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC

B．AB＜AD+BC

C．AB＝AD+BC

D．无法确定

10 . 在中，直线经过点，于，于，于．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：；（提示：过点作于）
（2）如图②、图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若，，，则______．

1 . 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE＝EC+CD．

2 . 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．

   

3 . 在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．
（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；

（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．

4 . 如图，，平分，，，则_____．

5 . 如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　)

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在正方形中，点、均为中点，连接、交于点，连接，证明：．

7 . 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE．
（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；
（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE．

8 . 如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：

9 . 如图，四边形为矩形，为对角线上一点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，当时，求证：．

10 . 如图，，点在线段上，、分别是、的角平分线，若，，求的长．

   

1 . 如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）；
（2）．

2 . 如图，中，，分别平分和，，相交于点，．

（1）求的度数；
（2）判断，，之间的等量关系，并证明你的结论．

3 . 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D重合）连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交点F，设CM＝x，△DFM的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

4 . 如图所示，已知中，，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O．
求证：BE+CD=BC．

5 . 如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）．
（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．

6 . （1）方法选择
如图①，四边形是⊙O的内接四边形，连接，，，求证：．小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接……小军认为可用补短法证明：延长至点，使得……请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
探究1
如图②，四边形是⊙O的内接四边形，连接，，若是⊙O的直径，，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
探究2
如图③，四边形是⊙O的内接四边形，连接，．若是⊙O的直径，，则线段，，之间的等量关系式是______．

7 . 如图，是等边三角形，，，，则________．

8 . 在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

   

9 . 如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（       ）

A．30

B．40

C．50

D．60

10 . 已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N．
（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系；
（2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；
（3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系．

1 . 如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．

2 . 如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：．

3 . 如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且．
求证：
如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

4 . 已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．

5 . 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，求证：．

   

6 . (1)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．

(2)请用(1)中所积累的经验和知识完成此题，如图，在四边形ABCG中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？

7 . 如图，⊙O中，＝，点C在上，BH⊥AC于H．
求证：AH＝DC＋CH．

8 . 如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：
（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论

9 . 如图，，，平分，且是中点试问：、和之间有何关系？并说明理由.

10 . 已知：如图，，，，求证：.

1 . 已知是等边三角形，．
（1）如图1，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求的值；
（2）如图2，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，求的最小值．

2 . 如图，在中，，、分别平分、，、交于点，求证：.

3 . 阅读题：如图1，平分，以为圆心任意长为半径画弧，交射线，于，两点，在射线上任取一点（点除外），连接，，可证，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，，平分交于点，试判断与、之间的数量关系；
（2）如图3，在四边形中，平分，，，，求的面积．

4 . 已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．
（1）如图①，若tan∠ADM＝，MN＝3，求BC的长；
（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．

5 . 如图，E、F分别是正方形ABCD的边 CD、BC上的点，且cm，，△EFC的周长为80cm，则_________cm．

6 . 已知等腰中，，点在直线上，，交直线于点，且，，垂足为．

（1）当点在线段上时，如图1，求证；
（2）当点在线段的延长线上时，如图2；当点在线段延长线时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．

7 . 如图，内接于⊙O，，，点为劣弧上一点，过点作垂足为，求证：．

8 . 如图1．在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点．

（1）直接写出点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求直线的解析式．

9 . 如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP=AC，BC=4，求S_△ACP；
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．

10 . 如图，是的内接三角形，，为中劣弧上一点，延长至点，使．

（1）求证：；
（2）若，试探究与长度的大小关系，并证明你的结论．

1 . 在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，F为CD边上一点，满足BF＝BC＝BE．
（1）如图1，若BC＝12，CD＝13，求DE的长；
（2）如图2，过点G作DG∥BE交BF于点G．求证：BG＝AE+DG．