手拉手模型 - 初中数学 - 困难

1 .    

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

2 . 如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．

(1)①试说明：；
②若，求的度数．
(2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

3 . 模型建立
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______．
模型应用
（2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明；
模型迁移
（3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长．

4 . 等边中，点分别是边上的点（不与端点重合），连接相交于点，且．

(1)如图，求的度数；
(2)如图，点分别是线段上的动点，连接相交于点，平分，平分，求证：；
(3)将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上存在一点，当的值最小时，连接交于点，求的值．

5 . 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．

6 . 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．

             

(1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________；
(2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________．

7 . [问题提出]
（1）如图均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图中证明．

[学以致用]
（2）在的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为               度．
[拓展延伸]
（3）在的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围．

8 . 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．

(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

9 . 如图，在中，，D、E分别是、的中点，.

（1）如图1，若，求的长度（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接、，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当的外心在三角形的外部时，请直接写出的取值范围．

10 . 【知识回顾】
是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．
（1）如图，当时，      ；
（2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长；
【变式应用】
（3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：．

1 . 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG²+DE²是定值，请求出这个定值．

2 . 已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为      ．

3 . （1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是              ．
（2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长．

4 . 如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（       ）个

①   ②连接，则平分   ③   ④

A．4

B．3

C．2

D．1

5 . 如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为t（s）．

(1)如图，连接、，当时，求的值；
(2)如图，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值；
(3)如图，当中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值．

6 . 如图，在中，，若是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，连接．

(1)求证：
(2)试说明
(3)把点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，直接写出的值．

7 . 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想
如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为           ，位置关系为              ；
(2)类比探究
如图 2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点D是等边外一点，若，，，求线段的长．

8 . 如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（     ）．

A．

B．

C．

D．

9 . （1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论．

（2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（     ）

A．①④       B．③④       C．①②③       D．①②③④
（3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

（4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由．

10 . 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：；
【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数；
【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）．

1 . 在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.

(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．

2 . 在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；

(1)如图1，若，，连接，求的长；
(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；
(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．

3 . 已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为         ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．

4 . 如图，在等边中，延长到点，连接．

(1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数；
(2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系；
(3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积．

5 . 【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】

   

(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．
①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）．
②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系．
(2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．
(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．

6 . 已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，．记△ABC的面积为S．

(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为，正方形BGFC的面积为．
①若，，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：．
(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为，等边三角形CBE的面积为．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索与S之间的等量关系，并说明理由．

7 . 【发现问题】
(1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是                      ．
(2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是             ．
【探究拓展】
(3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系．

8 . 如图，回答下列题：

【操作发现】
如图（1），在和中，，，，连接，交于点M．
①与之间的数量关系为_________；
②的度数为_________；
【类比探究】
如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数．
【实际应用】
如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离．

9 . 如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

   

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

10 . 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④

1 . 如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．

（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．

2 . 如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：①；②为等边三角形；③平分；④；⑤平分．其中正确的有（   ）

3 . 如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，．

(1)如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

4 . 在等腰中，，，点为边上一点，连接；

(1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求；
(2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：；
(3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求．

5 . 如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，．

(1)求的长；
(2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中．
①求的取值范围；
②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值．

6 . 如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．

(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；
(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；
(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．

7 . 【问题发现】
（1）如图1，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，，则与之间的数量关系为_____________；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，，连接，，当是等边三角形时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，小王在屋外空地规划一个四边形花园，为一条小路（路宽忽略不计），为一条灌溉水渠，其中，，米，米，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，根据设计要求，要使灌溉水渠尽可能的长，求出的最大长度及此时的度数．

8 . 如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．

(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；
(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．

9 . 如图，在中，．

(1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数；
(2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值．

10 . 如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（       ）个

A．1

B．2

C．3

D．4

1 . 【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】

(1)在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
①如图，若点在边上，求证：．
②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明．
(2)如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由）

2 . 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．

3 . 在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，

(1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离；
(2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：；
(3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积．

4 . 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．

【观察发现】：
(1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【深度探究】：
(2)如图2，当点在线段（D点不在中点）上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】：
(3)当点在线段或线段的延长线上时，连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长

5 . 如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当_____________时，为直角三角形．

6 . 已知点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上．

(1)如图1，若，直接写出的形状为______；
(2)如图2，在（1）的条件下，点M在线段上，作，过点C作交于点P，求证：且；
(3)如图3，若，且，点Q为第二象限内一点，且，，直接写出线段的长为______．

7 . 如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（       ）

   

A．4

B．2+6

C．+3

D．6

8 . 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

9 . 如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．

求证：
（1）AMEG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG²+BC²＝2（AB²+AC²）．

10 . 问题发现：如图1，在中，，D为边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；

(1)探究证明：如图2，在和，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．
①则线段，，之间满足的等量关系式为　     　；
②求证：；
(2)拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长．

1 . 问题情境：
已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使．
任务一：当点在线段上时，
（1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接．
①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由；
②的度数为________；
任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）．
（3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）．

2 . 如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H．

(1)求证∶
(2)连接，，求证：
(3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由．

3 . 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等边三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．

4 . (1)如图1，和都是等腰三角形，、分别是和的底边，．
①求证：；
②如图2，若，E、B、C三点在同一条直线上，G为中点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，在四边形中，，对角线交于点O，，，垂足为E，交于点F，连接，若，，求的值．

5 . 在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．

6 . 如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．

(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．

7 . （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则①              ；②线段，之间的数量关系              ；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．

8 . 综合与探究
问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接．

问题初探：
（1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时，
①与的位置关系为_________．
②与的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立．

9 . 在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．

(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；
(3)如图（3），，，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将沿着BP翻折得到，连接QC．当的周长最小时，直接写出的面积．

10 . 如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且．

(1)设，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，过点作，交于点，求证：．
(3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长．

1 . 已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．

（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形；
（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°；
（4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°．

2 . 【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；

【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；

3 . 如图，正方形和正方形（其中），的延长线与直线交于点H．

(1)如图1，当点G在上时，求证：；
(2)将正方形绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线右侧时，判断的数量关系并证明；
②当时，若，请直接写出线段的长．

4 . 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_________．

5 . （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____．

（2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数．
（3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：．

6 . 如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．

(1)在图1中求证：；
(2)如图2，当时，连接，求的面积；
(3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．

7 . 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．

8 . 如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是__________．

9 . 问题发现

（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由．
问题探究
（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的长．
问题解决
（3）如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．

1 . 在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取，连接BE，过点A作于点F，延长AF交BC于点M．

(1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若，求的面积；
(2)如图2，过点A作于点A，交CD的延长线于点P，求证：．

2 . 已知，在△ABC中，AB=AC，
（1）如图1，若，且点D在CA的延长线上时，求证：；
（2）如图2，若，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由
（3）如图3，若BD=5，求CD的长．

3 . 如图，在等腰中，，，D在边上，在的延长线上，连接，，，下列五个结论：
①；
②；
③若平分，则；
④若，则；
⑤若为的中点，则．
其中正确的是______（填写序号）

4 . 观察猜想

(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．

5 . 为等腰直角三角形，，，线段绕点旋转至线段，点的对应点为，连接．

(1)如图1，若在外部，且，交于点N，若．求的长度；
(2)如图2，若在内部，延长交于点，延长交于点E，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为中点，连接并延长交于M点，求证：；
(3)如图3，若在内部，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接、．K为直线上一点，将沿翻折，K点对应点为，若，直接写出的最小值．

6 . 如图，的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)在点运动过程中．
①求，与之间的数量关系；
②是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由．

7 . 已知△ABC中，AB=AC，

(1)如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
(2)如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；
(3)如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD²，BD²，AH²之间的数量关系，并证明．

8 . 等边中，点为上一点，连接，点为上一点，连接．

(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，以为边向逆时针方向作等边，点为上一点，，过点作交于点，当点共线时，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
(3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内，得到对应线段，连接，若点为的中点，点在边上运动的过程中，当点到直线的距离取最大值时，请直接写出的值．

9 . 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是　　　　，∠BDC的度数为　　　　．
（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．
（3）如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数．

10 . 如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（       ）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

1 . 在△ABC中，点D是直线BC上一动点， 连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为___．

2 . 某学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：   
       
(1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
(3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系；
(4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．

3 . 综合探究与应用

(1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________．
【类比应用】
(2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接．
①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；
②直接写出、、这条线段的数量关系为________________；
③若，，请直接写出的面积．

4 . （1）如图①，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连结和，直线，相交于点．则线段与的数量关系为_____________．与相交构成的锐角的度数为___________．
（2）如图②，点，，不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立．

（3）应用：如图③，点，，不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有．设直线交于点，请把图形补全．若，则___________．

5 . （1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．
（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．
①求证：；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．

6 . 如图，是等腰直角三角形，，点是底边上一点（不与、重合），将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，给出下面四个结论：

①；
②；
③线段长度的最大值为；
④面积的最大值为．
上述结论中，正确结论的序号有________．

7 . 等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．

   

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：；
(3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值．

8 . 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
（1）发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系________，位置关系________；
②线段、、之间的关系是_________；
（2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________．

9 . 如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接．

(1)求证：是的直径．
(2)如图②，若．求的长．
(3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

10 . 和都是等腰直角三角形，，将绕点D旋转．
（1）如图1，当点B落在直线上时，若，，求的长；
（2）如图2，直线、交于点F，再连接，求证：；
（3）如图3，，，G为中点，连接，，以直角边构造等腰，过H作交于点I，连接，当最小时，直接写出的长度．

1 . 在中，，．
（1）如图1，点为边上一点，连接，以为边作，，，连接．直接写出线段与的数量关系为       ，位置关系为      ．
（2）如图2，点为延长线上一点，连接，以为边作，，，连接．
①用等式表示线段，，之间的数量关系为            ．
②求证：．
（3）如图3，点为外一点，且，若，，求的长．

2 . （1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接，．试探究与的数量关系，并说明理由．
问题探究：
（2）如图②，四边形中，，，，，求BD的长．
问题解决：
（3）如图③，中，，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由．

3 . 定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．

(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．
(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．
(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．

4 . 在等腰三角形ABC中，，，D为经过点的直线上的点．

(1)求的度数；
(2)如图1，若，请探究线段DA，DB，DC之间的数量关系（直接写出探究结果）；
(3)如图2，若，，AD平分，求AD的长；

5 . 在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：
①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；
②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．

6 . 在中，，．

（1）如图1，的角平分线，交于点Q，请判断“”是否正确；______（填“是”或“否”）；
（2）点P是所在平面内的一点，连接，且．
①如图2，点P在内，，求的大小；
②如图3，点P在外，连接，设，，求的值．

7 . 如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．

(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；
(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；
(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．

8 . 已知，在等腰中，，．

(1)如图①，利用圆规和无刻度直尺，在等腰内作出点，使得点到顶点，，的距离相等．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连结，，，求的值．
(3)阅读并解答：
如图②，若点在等腰内，连结，，，在线段，的左侧作等边和等边，连结，则可以证明结论成立．试利用该结论，求当最短时，线段的长．

9 . 综合与实践
【问题背景】
在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接．

【发现问题】
（1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是      ；
【初步探究】
（2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：；
【拓展探究】
（3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．

10 . 在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．

   

(1)当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________；
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．

1 . 如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．
（1）证明：△ADG≌△CDE；
（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．

2 . 如图，四边形中，已知，且．

(1)求证：；
(2)记的面积为，的面积为．
①求证：；
②过点B作的垂线，过点A作的平行线，两直线相交于M，延长至P，使得，连接．当取得最大值时，求的大小．

3 . （1）【探索发现】
如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　 　．

（2）【类比延伸】
如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

4 . 等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．

（1）如图1，连接BE，求证：AD＝BE．
（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，
①求证：FD＝FB；
②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当，求OF²+BF²的最小值．

5 . 已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为边作正方形，连接．
（1）如图①，当点在线段上时，求证．

（2）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系．

（3）如图③，当点在线段的反向延长线上，且点，分别在直线的两侧时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系．

6 . 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：       ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF=      ；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：          ；
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

7 . 如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接，．
（1）如图1，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．

（2）如图2，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积．

（3）如图3，设与的交点为，若，，，求的长．

8 . 已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．

（1）当F在AC边上时，AF长为______；
（2）连结BF，则BF的取值范围为______．

9 . 如图，在Rt△ABC中，，AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．

(1)求证：；
(2)用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；
(3)若CF＝，CD＝，求的值．

10 . 如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

1 . 【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
(1)如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC，若AC = AB，则cos∠ABC=___________， sin∠CAD=__________．

(2)如图2，凸四边形中，AD = BD，AD⊥BD，当2CD² + CB² = CA²时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论．

【拓展提升】
(3)在平面直角坐标中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC = 90° + ∠ABC．设 = u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围____________________________ ．

2 . （1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若是圆内接正三角形的外接圆的上任一点，则，在上截取，连接，可证明是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到，再进一步证明_______，得到，可证得：．
（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若是圆内接正四边形的外接圆的上任一点，则 °，分别过点作于、于．
（3）写出与之间的数量关系，并说明理由．

3 . 问题背景：如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M、N两点，连接MN．探究线段BM，MN，CN之间的数量关系．
嘉琪同学探究此问题的方法是：延长NC至点E，使CE＝BM，连接DE，先证明△CDE≌△BDM，再证明△MDN≌△EDN，可得出线段BM，MN，CN之间的数量关系为　　．请你根据嘉琪同学的做法，写出证明过程．
探索延伸：若点M，N分别是线段AB，CA延长线上的点，其他条件不变，再探索线段BM，MN，NC之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

4 . 在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_______．

5 . 如图，已知等边，点为内的一点，连接，以为边向上方作等边，连接（）．

（1）求证：．
（2）请判断的形状，并证明你的结论．
（3）若，求的度数及的面积（用含的代数式表示）．

6 . 如图，过边长为4的等边△ABC的顶点A作直线l∥BC，点D在直线l上（不与点A重合），作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．

(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在边AC上，请直接写出AB，AD，AE间的关系
(2)如图2，点D在点A的右侧，点E在边AC的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，再证明．
(3)如图3，点E在边AC的反向延长线上，若∠ABE=15°，请直接写出线段AD的长．

7 . 如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

A．2

B．

C．

D．

8 . 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗?请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线交于点，.
试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结.已知，求的长.

9 . 如图1，，，MN是过点A的直线，过点D作于点B，连接CB；过点C作，与MN交于点E．

(1)连接AD，AD是AC的______倍；
(2)直线MN在图1所示位置时，可以得到线段BD和AE的数量关系是______，与BC之间的数量关系是______，请证明你的结论；
(3)直线MN绕点A旋转到图2的位置，若，，则AB的长为______（直接写结果）；
(4)直线MN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BA，BC，BD之间的数量关系______．

10 . 根据题意，完成以下各题

(1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了          ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ．
(2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数；
(3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______；
(4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长．

1 . 如图1，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．
（1）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，求证：CD＝CF；
（2）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，求CF的长．

2 . 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　．
（2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图2，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求AP的长．

3 . 已知，以为边在外作等腰，其中．
　　　
（1）如图1，若为边在外作，，，求的度数；
（2）如图2，，，，．
①若，，的长为       ；
②若改变、的大小，但，求的面积．

4 . 如图，和都是等边三角形，点分别在边上,，
（1）求证：
（2）判断四边形的形状．

5 . “半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：EF=BE+DF
(1)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B +∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.
(2)实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离？
              
拓展提高
（3）如图4，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF=1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与0、F不重合），且∠GPE=45°，设AG=m，求m的取值范围．

6 . 如图，中，，，点在内，且，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，，．
   
（1）试探究与的关系；
（2）当时，连接，求出的面积．
（3）请求出周长的最小值．

7 . 如图所示，等边的顶点在轴的负半轴上，点的坐标为，则点坐标为_______；点是位于轴上点左边的一个动点，以为边在第三象限内作等边,若点.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点在点左边轴负半轴任何位置，，之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是_____．

8 . 如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，，连结，，与交于点，与交于点．

   

（1）求证：；
（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面积．

9 . 如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．
（1）求证：AE＝BD；
（2）连接MN，求证：MN∥BE；
（3）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由．

10 . 如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形△ABD与△ACE，线段BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠BAC；③∠BFC＝120°，④FA+FB＝FD，其中正确的有（　　）个．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

1 . 正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．

（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为      ；
（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；
（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．

2 . 如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．

（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　．
（2）当△ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）当AC＝8时，在△ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．

3 . 在中，，，点D是射线CB上的动点（点D不与点B、C重合），连接AD，，且，连接DE，过点D作，且，连接CF．

(1)如图1，当点D是BC中点时，DE与CF的数量关系是        ，位置关系是       ；
(2)如图2，当点D是线段BC上任意一点时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，时，请直接写出线段DE的长．

4 . 在四边形中，对角线、相交于点，将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接、，与交于点．
（1）如图1，若四边形是正方形．
①求证：≌．
②请直接写出与的位置关系．
（2）如图2，若四边形是菱形，，，设．判断与的位置关系，说明理由，并求出的值．
（3）如图3，若四边形是平行四边形，，，连接，设．请直接写出的值和的值．

5 . 如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．
①BD与CE的数量关系为　      　；
②∠BPC的度数为　            　．
（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．
（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长．

6 . 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，∠MAN=∠BAC，连接．求证：．
(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求的面积．

7 . 已知：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，点P是AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F
(1)如图1，当点P与点O重合时，求证：OE=OF
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=时，有OE=OF，如图2，线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？给出证明．
(3)当点P在图3位置,且∠OFE=时，线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？（直接写出结论，无需证明.
   

8 . 如图，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
（1）图中线段与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　；
（2）把绕点逆时针旋转到图的位置，连接.请判断与是否相等，请说明理由；
（3）试判断的形状，并说明理由．

9 . 在中，，，点是线段上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．

(1)【问题发现】如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是______．与的位置关系是_____．
(2)【猜想论证】当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小汇通过深入思考，从几何变换角度出发构建辅助线，类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小汇的思路就图（2）中的情况完成解答过程．
(3)【拓展应用】连接，若时，，其他条件不变，直接写出的面积．

10 . 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，，则．其中正确的结论有___________（填正确的序号）

1 . （1）问题：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　　　　；
（2）探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC延长线上，试证明BD²+CD²=2AD²；
（3）应用：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=9，CF=3，直接写出AF的长为　　　　．

2 . 在平面直角坐标系中，已知A（3，0），以OA为一边在第一象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点，以BD为一边画正方形BDEF（点F在直线AB右侧）．

（1）当m＞3时（如图1），试判断线段AF与CD的数量关系，并说明理由．
（2）当AF=5时，求点E的坐标；
（3）当D点从A点向右移动4个单位，求这一过程中F点移动的路程是多少？

3 . 正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S_△CHN＝，求AB的长

4 . 如图，正方形的边长为1，G是边上的一个动点（G不与C、D重合），以为一边向正方形外作正方形，连接、，并延长交于点H．

(1)求证：；
(2)当点G运动到何处时，四边形是平行四边形？并加以证明；
(3)当点G运动到何处时，垂直平分？请说明理由．

5 . 定义：有一组对角互余的凸四边形称为田中四边形，连接这两个角的顶点的线段称为田中线，根据定义解决以下问题：

(1)如图①，田中四边形ABCD中，，，求∠D的度数；
(2)如图②，凸四边形ABCD中，，，当时，判断边形ABCD是否为田中四边形，证明你的结论；
(3)在平面直角坐标系中，点，，，四边形ABCD是田中四边形，点E在田中线BD上，且位于△ABC内部，，当线段BE的长取最小值时，求线段BD的长（不需写过程，直接写结果）．

6 . 如图①，在菱形中，与交于点，，，点是上一动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段.

（1）求的长.
（2）若点，，在同一条直线上，求证：.
（3）如图②，以为边作等边，，求的长.

7 . 如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.
（1）求证：∠BDA=∠ECA.
（2）若m=，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.
（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）
（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系．

8 . 点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线的同侧，，，，直线、交于点F．

(1)如图①，若，则______；如图②，若，则______；
(2)如图③，若，则______（用含α的式子表示）；
(3)将图③中的绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，与的数量关系是       ；在图⑤中，与的数量关系是______．请你任选其中一个结论证明．

9 . 综合与探究

(1)如图，在正方形和正方形中，连接，．请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接，．请判断与的数量关系及线段与所在直线所夹锐角的度数，并说明理由．