手拉手模型 - 初中数学 - 适中

1 . 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由．

2 . 如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．

(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．

3 . 如图，在和中，，，若，连接、交于点P；

(1)求证∶．
(2)求的度数．
(3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．

4 . 如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．

(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．

5 . 两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____．

6 . 综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则         
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则        ．

7 . 综合与实践：
【问题情境】
(1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

8 . 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

9 . 已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接．

(1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等）
(2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由；
(3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系．

10 . 如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

1 . 【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为           ;②的度数为           ．
【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值．

2 . （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________．

（2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：．
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系．

3 . 如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（       ）

       

A．，

B．，

C．，

D．，

4 . 如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

5 . 【问题初探】
（1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．
小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；
②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度．

6 . 如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点．

(1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___．
(2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明．
(3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围．

7 . 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
（1）求证：；
（2）证明：∠1=∠3．

8 . 如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是___________．

9 . 如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结．

(1)求的度数；
(2)若点D在线段上时，求证：；
(3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由．

10 . 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接．

试说明：
①；
②填空         °；
③．

1 . （1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______．
（2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积．

2 . 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证：

(1)，；
(2)．

3 . 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

   

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

   

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

   

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．

4 . 如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（       ）

   

A．∠AOB=60°	B．AP=BQ
C．PQ∥AE	D．DE=DP

5 . 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
   

6 . 在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接．

(1)如图1，当时，则      °；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为      ，并证明．

7 . （1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以AB、AC为边向外作等边和等边．连接BE，CD、这时他发现BE与CD的数量关系是______；

（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得，，米，，求BE的距离．

8 . 如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

9 . 先阅读材料，再结合要求回答问题．
（1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论．
【灵活应用】
（2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

10 . 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（     ）．

A．

B．

C．

D．

1 . （1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．
（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．

2 . 在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；

（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；
（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；
（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．

3 . 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有__________（填序号）

4 . 已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．

(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　     　；
(2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝       　；
(3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明．

5 . （1）问题发现：
如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示）

6 . 【问题初探】

（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到．
请你参考小颖的解题思路写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：．

7 . 已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点

【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；

8 . 南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值．

9 . 如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　）

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

10 . 【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答)

【探究应用】
（1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ．
①写出与的数量关系和位置关系：                     ；
②的面积与的面积相等吗？并说明理由．
【问题解决】
（2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则
①∠=                  °
②线段的长是         ．

1 . 已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接．

【特例感知】
（1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形；
【类比探究】
（2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，当时．
①判断的形状，并说明理由；
②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值．

2 . 【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是      ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由．

【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同．
①线段与的数量关系是      ；
②的度数为      ．
【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度．

3 . 如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

4 . 如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（       ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等边三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．①②③④

5 . 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

6 . 如图，已知正方形，点是边上一动点（点除外），是等腰直角三角形，，点在的延长线上．

(1)如图1，当点与点重合时，证明：；
(2)如图2，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，已知．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）如图3，连接，求的值．

7 . 如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．

8 . 如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．

(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠BOD的度数；
(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？　 　（填“改变”或“不改变”）

9 . 如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．

(1)求证：BD=CE．
(2)求证：AP平分∠BPE．
(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．

10 . 如图，是的直径，，点是半圆上一动点，且与点分别在的两侧．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)求证：．

1 . 如图，在中，，点D、F是射线BC上两点，且，若，；则下列结论中正确的有（　　）

   

①；②；③；④

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2 . 如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．

3 . 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．

4 . 如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

   

5 . 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S_{四边形BCDE}＝BD•CE；⑤BC²+DE²＝BE²+CD²．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6 . （1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．

（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．

7 . 如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：
①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为（　　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

8 . 在与中，，，．

   

(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________．
(2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由
(3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值．

9 . 图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点．求证：．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为，则线段CD的长度为 ___．

1 . 在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．
   
(1)求证：AC=BD；
(2)求证：∠APB＝∠AEB．

2 . 如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接．

（1）求证：≌；
（2）求证：；
（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由．

3 . 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．

4 . （2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．

   

5 . 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：

（1）如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______．
（2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由．

6 . 和如图所示，其中．

(1)如图①，连接，求证：；
(2)如图②，连接，若，，，，求的长．

7 . （1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接．

①填空：的度数为______．
②线段、之间的数量关系是_______．
（2）拓展研究：
如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．
（3）探究发现：
图1中的和，在旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线与相交于点O，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，并说明理由．

8 . 如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（   ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（       ）

A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合

B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合

C．沿所在直线折叠后，与重合

D．沿所在直线折叠后，与重合

10 . 如图，是边长为5的等边三角形，，．E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为______．

   

1 . 已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接．

（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②此时与的数量关系为：        ，=        °．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

2 . 探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

3 . 如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：

（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）

4 . 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为 _____．

5 . 已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；
（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

6 . 如图，在中，，，是边上一点（点与不重合），连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接．
求证：．

7 . 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且，过点C作，且．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.
（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．
求证：①；
②；
（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求与的和的度数．

        

8 . △ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．

(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．

9 . 如图，已知是等边三角形，点D在BC边上，是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF，求证：

（1）；
（2）四边形BCEF是平行四边形．

10 . 【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）

1 . 【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD²的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝　 　．

2 . 边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．
（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；
（2）如图2，连接DG，BE，判断DG²+BE²否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；
（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．

3 . 如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（       ）

A．8

B．6

C．4

D．2

4 . 如图，，，，和相交于，和相交于，则的度数是__°.

5 . 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．
（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．

6 . 点为外一点，，．

(1)如图1，，，求证：；
(2)如图2，若，，，求证：；
(3)如图3，若，，，请直接用含的式子表示的长．

7 . 现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．

8 . 在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：；
（2）如图②，若，，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数．

9 . 已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点．

   

(1)根据题意补全图形；
(2)如图，如果，
①_____；（用含有的代数式表示）
②用等式表示线段，与的数量关系，并证明．

10 . 等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD．

证明：（1）AE＝DC；
（2）AE与DC的夹角为60°；
（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC．

1 . 如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．

（1）求证：∠BCM＝∠BDM；
（2）求∠CMN的度数；
（3）求证：AM＝BN．

2 . 等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为______．

3 . 如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．
（1）求证：∠EAD＝∠CBD；
（2）求证：BF＝2AE；
（3）如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．

4 . 已知：如图，在正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点若，，且，则的长为__________．

5 . 已知如图，，在外部．

(1)在按照下列要求尺规作图，保留作图痕迹：在的内部作，使，连接；
(2)猜想（1）问中与的关系是_______________．

6 . 在图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等?证明你的结论；
（2）如图1，线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；
（3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．

7 . 如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD．

证明：（1）AE与DC的夹角为60°；
（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．

8 . 把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　 　，AE与BC的位置关系是　 　．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．

9 . 在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．
（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．

   

10 . （1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是　 　，位置关系是 　 　；
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为 　 　

　 　

1 . 如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是：________．
①，且；
②；
③平分；
④取的中点，连，则．

2 . 如图所示，中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.

（1）在如图所见中，交于，交于，证明；
（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.

3 . 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，则CD的长为（       ）

A．

B．4

C．

D．

4 . 如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形.

（1）连结，，求证：；
（2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到.
①当旋转角为______度时，边落在上；
②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明.

5 . 已知，在中，，，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积．

6 . 某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①CF与BC的位置关系为　 　；
②CF，DC，BC之间的数量关系为　 　（直接写出结论）；
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2，请求出线段CE的长．

7 . 如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38°，则∠ANB＝_____．

8 . 如图，在中，，点D在BC的延长线上，且，过点B作，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．

（1）求证：．
（2）求证：．

9 . 如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E、F分别在AD、BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．

(1)求证：△APE∽△BFP；
(2)若△PEF是等腰直角三角形，求的值；
(3)试探究线段AE、BF、EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．

10 . 问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：

1 . 如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．

2 . 已知：在和中，，．
（1）如图①，若
①求证：．
②求证：的度数．

图①
（2）如图②，若，的大小为______（直接写出结果，不证明）．

图②

3 . 在中，且．

(1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由；
(2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积．

4 . （1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系；
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；

5 . 在中，，，为上一点，连结，将绕点逆时针旋转90°至，连结，过作交于，连结．

（1）求证：．
（2）试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）若，，求．
（注：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

6 . 如图所示，等腰直角三角形、，，，，和交于点，问线段和之间有什么关系，并证明.

7 . 有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是            ；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

(3) 若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值          

8 . 【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形．
【理解运用】
（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是_____（只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【拓展提升】
（2）如图，中，分别以，为边向外作菱形和菱形，且，连接，，，对角线，交于点H，，交于点M，，交于点N．
求证：四边形是强等线四边形

   

9 . 我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，则（人教2013年6月第1版教材81面）．

(1)如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为        ．
(2)如图（2），是△ABC的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．

10 . 在直线的同一侧作两个等边三角形和，连接与，试解决下列问题：

（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）连接，试判断形状．

1 . 如图1，在等边中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是            ，            ；
（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最大值

2 . 如图已知四边形和四边形都是正方形，且，连接，．

(1)求证：
(2)连接，若，，求的度数．

3 . 有如下一道作业题：

如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF． 求证：△BCE≌△DCF．

（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．
①求证：∠BFC＝45°．
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．

4 . 已知：△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线．
求证：（1）AD=EC；
（2）BP=BQ；
（3）△BPQ为等边三角形．

5 . 定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？　 　（直接回答：“是”或“不是”）若是说明理由，当AM＝2，MN＝4，则BN＝　 　．

6 . 如图，在中，是边上一点，且，连接交于点．

（1）若，求的度数．
（2）若，则平分是否成立？判断并说明理由．

7 . 已知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形，且在AD同侧，连接AE交BC于点G，连接CD交BE于点H，连接GH．
（1）求证：AE=CD；
（2）求证：AG=CH；
（3）求证：GH∥AD．

8 . 如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm． 动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动．动点Q以2cm/s的速度沿射线BC运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作PE∥AB交BC于点E，连结PQ，以PQ为边作等边三角形PQF，连结CF，设点的运动时间为t（s）
（1）用含t的代数式表示CQ的长．
（2）求△PCE的周长（用含t的代数式表示）．
（3）求CF的长（用含t的代数式表示）．
（4）当△PQF的边与BC垂直时，直接写出t的值．

9 . 如图，在中，，，于点，于点．，连接，将沿直线翻折至所在的平面，得，连接．过点作交于点，则四边形的周长为________．

10 . 如图，在中，以AB，AC为边向外作等边和等边，连结BE，CF交于点O．
求证：（1）；
（2）AO平分∠EOF．

1 . 如图，△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=a，且AC=BC，EC=DC,AE、BD交于P点，连CP

（1）求证:△ACE≌△BCD
（2）求∠APC的度数（用含a的式子表示）

2 . （2019•永春校级月考）判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜180°），得到△A′B′C．

（1）当旋转角为β＝20°，∠A′B′C＝　　°；
（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：D是A′B′的中点；
（3）如图2，E是AC边上的点，且AEAC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC＝60°，连接EP，已知AC＝α，当β＝　　°时，EP长度最大，最大值为　　．

3 . 如图，点D、B、C在一直线上，和都是等边三角形．

（1）求证：；
（2）探索线段BA、BD、BE之间的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，在等边三角形右侧作射线，点A关于射线的对称点为点D，连接交于点E，连接．

（1）用含的式子表示；
（2）求的度数；
（3）试探究线段、、之间的数量关系，并证明．

5 . （1）如图1，锐角中分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与CE的大小关系，并说明理由．

      

（2）如图2，四边形中，，，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，求的长度．

6 . 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．


（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：
①_______，
②∠EDF＝___
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．

7 . 如图，已知三点共线，分别以为边作等边和等边，连接分别与交于与的交点为．

（1）求证：；
（2）求度数；
（3）连接，求证：

8 . 如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为4；②；③；④其中正确的结论是____________．（只填序号）

9 . 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ABF、△ACE、△BCD均为等边三角形．求证：AD＝EF．
   

10 . （本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）AE=CG；
（2）AN•DN=CN•MN．

1 . 如图1，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边三角形和等边三角形，连接和BC相交于点Q，

（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）如图2所示，和仍为等边三角形，但和不在同一条直线上，是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论．

2 . 已知DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD 求证：DE=BC

3 . 问题情境：
在自习课上，小雪拿来了如下一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流，如图①，△ACB和△∠CDE均为等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A、D、E在同一条直线上，连接BE．求证：∠CDE=∠BCE+∠CBE．
问题发现：
小华说：我做过一道类似的题目：如图②，△ACB和△CDE均为等边三角形，其他条件不变，求∠AEB的度数．
（1）请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求．
拓展研究：
（2）如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CF为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，，，，，与交于点．

（1）请问吗？请说明理由；
（2）请判断与的位置关系，并说明理由．

5 . 如图1，张老师在黑板上画出了一个，其中，让同学们进行探究．
（1）探究一：
如图2，小明以为边在内部作等边，连接，请直接写出的度数_____________；
（2）探究二：
如图3，小彬在（1）的条件下，又以为边作等边，连接.判断与的数量关系；并说明理由；
（3）探究三：
如图3，小聪在（2）的条件下，连接，若，求的长．

6 . 如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE与AB相交于点D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为点E，F．

（1）若AF=5，BE=2，求EF的长；
（2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG．

7 . 如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE ②∠AGB＝60° ③BF＝AH ④△CFH是等边三角形 ⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

8 . 如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

(1)求证：；
(2)若，，求的周长．

9 . 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．
(1)若，求的值；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？

10 . 如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起.

【问题发现】（1）如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】（2）如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接，请判断的度数及线段、之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】（3）如图③，，，，连接、，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出的长.

1 . 在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B 交 AC 于点 E，A₁C₁ 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA₁ 与 FC 有怎样的数量关系？ 并证明你的结论；
（2）如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC₁DA 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．

2 . 如图，点是线段上一动点，均为等边三角形．连接和分别交于点交于点，连接．

（1）求证：；
（2）设，那么的大小是否随的位置变化而变化？请说明理由；
（3）证明：是等边三角形．

3 . （1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE；
（2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；
（3）如图③，若把（2）中的“正方形”改成边长为6、宽为4的矩形ABCD，以同样的方式作矩形CEMN，且矩形CEMN∽矩形CBAD，连接DN，此时DN＝EB这个结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确结论并写出证明过程．

4 . 图1是边长分别为a和的两个等边三角形纸片ABC和叠放在一起（C与重合）的图形．

       

（1）操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转，连接AD，BE，如图；在图中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时（），线段AD的长度最大？值是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？值是多少？并说明理由．

5 . 如图，、均是等边三角形，、分别与、交于点、，
求证：（1）；
（2）；
（3）为等边三角形；
（4）．

6 . 如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由

7 . 在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B． C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE=      度；
(2)如图2，
①说明：△ABD≌△ACE．
②说明：CE+DC=BC．
③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．

8 . 如图，四边形ABCD为正方形．过正方形的顶点A和对角线的交点P，且与AB、AD分别交于点F，E．

       

（1）若，则______．
（2）若，的半径为，则______．

9 . 已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移到△DCE．
（1）如图（1），连接AE，BD，求证：AE=BD；
（2）如图（2），点M为AB边上一点，过点M作BC的平行线MN分别交边AC，DC，DE于点G，H，N，连接BH，GE．求证：BH =GE ．

   

10 . B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形．求证：BE=AD．

1 . 如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．

2 . 如图，，，点在边上，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，当的外心在直线上时，，求的长．

3 . 已知等边，，连接，交于点，连接，，，若时，则__________．

4 . 如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接．

（1）的度数为______．
（2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为______．

5 . 如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．
将图1中的绕点顺时针旋转，在图2中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)；
在图1中，你发现线段的数量关系是____，直线 相交成         角(填“锐”、“钝”或“直”)；

①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角， 得到图，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由；

②若将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．

6 . 分别以的两边AB、AC为边向外作正多边形，如下：

（1）如图1，若以的两边AB、AC为边向外作等边和等边，连接DC、BE交于点O．求的度数；
（2）如图2，若以的两边AB、AC为边向外作正方形ABED和正方形ACFG，连接BG、CD交于点O，则________；
（3）如图3，若以的两边AB、AC为边向外作正五边形ABDEF和正五边形ACGHI，连接BI、CF相交于点O，________．

7 . 图，分别以直角ΔABC的直角边AC、BC为边，在ΔABC外作两个等边三角形ΔACE和ΔBCD，连接BE、AD．求证：BE=AD．

8 . 在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系：        ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

9 . 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形，通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想
如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)类比探究
如图2，在中，分别以为边作等腰直角和等腰直角，，点在同一直线上，为中边上的高，猜想，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
如图3，点是等边外一点，若，求线段的长．