双等腰旋转 - 初中数学 - 困难

1 . 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．
（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；
（2）求证：；
（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．

2 . 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（          ）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

3 . 如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．

（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？

4 . 在等腰直角，，．

(1)如图1，，是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①求证：；
②当，时，      ．
(2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当，时，则      ．

5 . 如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．

（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；
（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．

6 . 如图，和中，，，，点在边上．

   

(1)如图1，连接，若，，求的长度；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，旋转过程中，直线分别与直线，交于点，，当是等腰三角形时，求旋转角的度数；
(3)如图3，将绕点顺时针旋转，使得点，，在同一条直线上，点为的中点，连接，猜想，和之间的数量关系并说明理由．

7 . 如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，.

（1）如果，.
①当点在线段上时，如图1，线段、的位置关系为___________，数量关系为_____________
②当点在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（2）如图3，如果，，点在线段上运动．探究：当多少度时，？小明通过（1）的探究，猜想时，.他想过点作的垂线，与的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法．小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由.

8 . 如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．

（1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由．
（3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______．

9 . 在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接与的数量关系是______，与的位置关系是________；
（2）当点在菱形外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，求四边形的面积．

10 . 已知，△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，且∠BAC＝∠DAE＝120°，把△ADE绕点A在平面内自由旋转．如图，连接BD，CD，CE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MP，PN，MN，则△PMN的面积最大值为_____．

1 . 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________；CE与AD的位置关系是________；
（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由、（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．

2 . 在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；
（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；
（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．

3 . 如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

4 . （1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；
（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．
（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长．

5 . 如图，是等腰直角三角形，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角为的中点，连接与交于点．

（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）线段和线段有什么数量关系，请说明理由；
（3）已知求的长度(结果用含根号的式子表示)．

6 . 已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD＝DE，∠CDE＝120°，CB＝CE．
（1）如图①，若点B和点E重合，则AB与BD之间的数量关系是　 　；位置关系是　 　；
（2）若将如图①的△CDE绕C旋转至图②位置，连BE，G为BE中点，连AG，DG，试探究AG与DG之间的关系，并证明．
（3）如图③，AB＝3，连接BE，AD；G、H分别为BE、AD中点，在△CDE绕C旋转过程中，请直接写出GH的取值范围．

7 . ABC为等边三角形，AB＝8，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，连接EF、CE，分别取EF、CE的中点M、N，连接MN、DN．
（1）如图1，MN与DN的数量关系是          ，∠DNM＝          ；
（2）如图2，将AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
①当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；
②连接BN，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求ADN的面积．

8 . 在正方形中，对角线、交于点，以为斜边作直角三角形，连接．
（1）如图所示，易证：；
（2）当点的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段、、之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．

9 . 如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点、重合），连接交于点．

（1）如图1，过点作，交延长线于点，求证：与相切；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，把沿直线翻折得到，连接，当点在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．

10 . 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．
（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．
（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

（3）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE＝BE+CE．

1 . 如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．

（1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．

2 . 如图，在中，，，点为线段上一点，线段绕点逆时针旋转能与线段重合，点为与的交点．
（1）若，，求线段的长；
（2）猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）设，点在线段上运动，点在线段上运动，运动过程中，的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

3 . 已知，中，，，点为边中点，连接，点为的中点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当时，请直接写出的值；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当时，请直接写出的值(用含的三角函数表示)．

4 . 在等腰直角三角形中，，，直线过点且与平行．点在直线上（不与点重合），作射线．将射线绕点顺时针旋转，与直线交于点．

（1）如图1，若点在的延长线上，请直接写出线段，之间的数量关系；
（2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立；
（3）若，，请直接写出线段的长．

5 . 如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．

（1）在旋转过程中，
①当，，三点在同一直线上时，求的长；
②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长；
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，即，连结，如图2，此时，，求的长．