双等腰旋转 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

2 . 如图①，，，，相交于点M，连接．

   

(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．

3 . 如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是_______．

4 . 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

   

5 . 如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．

(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．

6 . 如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．

（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．

7 . 如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．

8 . 如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=3，BD=1，求CD．

9 . 已知与都是等腰直角三角形，且．求证：

(1)；
(2)．

10 . （）问题发现：
如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．
（）拓展探究：
如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．

1 . 如图，在正方形中，Р是对角线上的一个动点（不与点A．C重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接交于点E，延长线与边交于点F．

(1)连接，求证：；
(2)若正方形的边长为4，且，求线段的长．

2 . （1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：

   

①的度数为       ；
②线段、之间的数量关系是         ．
（2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．

   

（3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．

   

3 . 如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（       ）

A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合

B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合

C．沿所在直线折叠后，与重合

D．沿所在直线折叠后，与重合

4 . 如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．

5 . 如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF长的最小值为_____

6 . 在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：；
（2）如图②，若，，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数．

7 . 如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．

8 . 在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．

（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．

9 . 如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）.

（1）探究与的数量关系，并给予证明；
（2）当时，试求旋转角的度数.

10 . 已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；
（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为　 ，∠APB的大小为　

1 . [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．

2 . 已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是        ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

3 . 在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AB；②AE²+BF²=EF²；③S_{四边形CEDF}=S_△ABC；④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是(     )

A．①②④	B．①②③
C．①③④	D．①②③④

4 . 已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC     BD（填“>”“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC     BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．

5 . 已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，求证： 且   
（2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论

6 . 如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形.

（1）连结，，求证：；
（2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到.
①当旋转角为______度时，边落在上；
②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明.

7 . 如图，，与的平分线相交于点，于点，为中点，于，．下列说法正确的是(　　)
①；②；③；④若，则．

A．①③④

B．②③

C．①②③

D．①②③④

8 . （1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系；
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；

9 . 感知：如图①，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连结AE、CG，易证．（不需要证明）

探究：将图①中正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图②．连结AE、CG，证明：AE=CG．
应用：如图③，正方形ABCD中，AD=3，点E在CB的延长线上，BE=1，DE=DF，∠EDF=90°．直接写出点F与点C的距离．

10 . 如图，已知AM＝CN，B在MN的垂直平分线上，∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC为等腰直角三角形．

1 . 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，求证：．

   

2 . 如图，锐角中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接BD、CE，可以通过全等三角形的知识证得BD与CE相等．

（1）如图，锐角中分别以AB、AC为边向外作等腰和等腰，，，，连接BD、CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由．

（2）如图，在中，，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接CD，若，求CD的长．

（3）如图，在四边形中ABCD，，求BD的最大值．

3 . 已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点E，点P是线段上一定点（其中）
(1)如图1，若点F在边上（不与D重合），将绕点P逆时针旋转后，角的两边分别交射线于点H、G．
①求证：；
②探究：之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)拓展：如图2，若点F在的延长线上（不与D重合），过点P作，交射线于点G，你认为（1）中之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

4 . 在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.
(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(2)连接DE，如图②，求证：BD²+CD²=2AD²
(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为     ▲ .(直接写出答案）

5 . 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是边BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四边形AEPF的面积=△ABC的面积的一半，④当EF最短时，EF=AP，上述结论始终正确的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

6 . 两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0α90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC的面积为____．

7 . 如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．

8 . 如图，在等腰中，，，点在上，以为边向右作等腰，，连接，若，则的长为（       ）

A．2

B．

C．

D．4

9 . 探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．

10 . 已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF，
（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．

1 . 在中，在直线上，且．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．

　　　

（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

2 . 如图，已知CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
（1）求证：AF²+AE²＝AB²
（2）若AC＝，BE＝3，则CE＝　 　．

3 . 和都是等腰直角三角形，，为中点
（1）若、分别在、上，如图所示，求证：；
（2）将如图所示中绕点顺时针旋转，如图所示，问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）将如图所示中绕点顺时针旋转到如图所示，问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

4 . 已知如图所示，直线交轴于点，交轴于点，是线段（不包括，）上一动点，以为底边在直线的左侧作等腰直角三角形，为的中点，连结，，，当点运动时，判断的形状并证明.

5 . 如图所示，，，，、交于点，求.

6 . 如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①求证：BD=CE；
②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；
（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．

7 . △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为____________；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．

8 . 已知：和均为等腰直角三角形，．连接，，点为中点，连接．

(1)如图1所示，求证： ①；②
(2)将绕点旋转到图2所示位置时，判断线段与的关系，并说明理由．

9 . 如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连结交于点．

(1)请你找出一对全等的三角形，并加以证明；
(2)直线是否互相垂直，请说明理由；
(3)求证：；

10 . 如图在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，将△DCE绕点C旋转（0°<∠ACD<180°），连结BD和AE：

(1)求证：△BCD△ACE;
(2)试确定线段BD和AE的数量关系和位置关系；