等腰旋转 - 初中数学 - 困难

1 . 在中，．

(1)如图①，以点为直角顶点，为腰在右侧作等腰，过点作交的延长线于点．求证：．
(2)如图②，以为底边在左侧作等腰，连接，求的度数．
(3)如图③，中，,垂足为点，以为边在左侧作等边,连接交于，,求的长．

2 . 在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

3 . 如图①，在中，于，，点在上，，连接．

(1)求证：；
(2)如图②，延长交于点，连接，求的度数；
(3)如图③，过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积为___________；

4 . 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

   

(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．

5 . 如图1，等边中，分别交、于点D、E．

(1)求证：是等边三角形；
(2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F．
①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若，，当B，D，E三点共线时，求的长．

6 . 问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．

（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长．

7 . 如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．

(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值．

8 . 已知在中，，，于．

(1)如图，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．求证：；
(2)如图，点是线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．

9 . 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．
①求证：AD＝BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．

1 . 如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE²+CF²＝2OP•OB．
正确的结论有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

2 . 将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是       ；

   

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．

3 . 如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是______．
（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

4 . 如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．

（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．

5 . 在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.

（1）如图，当 在线段上时，求证：.
（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.

6 . 如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积__________．

7 . （1）如图①，中，，，为边上的一点，将绕点逆时针旋转90°至，作平分交于点，易证明：．若，则以、、为边的三角形的形状是______；
（2）如图②，四边形中，，，若四边形的面积是32，，求的长度；
（3）是以为底的等腰直角三角形，点是所在平面内一点，且满足，，，请画草图并求的度数．

8 . 观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；
（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．

9 . 和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由.

10 . 在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．
（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；
（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

1 . 如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．
（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；
（2）求∠EOF的度数；
（3）若OE=OF，求的值．

2 . 在ABC和CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，点D在边AC上，点E在边BC上，如图1将CDE绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．

（1）连接AD，BE．求证：AD＝BE，AD⊥BE；
（2）当旋转至图2位置时，点A，D，E在一条直线上，连接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，则BD=          ；
（3）当α＝90°时，如图3，连接AD，BE，延长AD交BE于点F，连接CF，若DF＝1．EF＝．则CF＝          ．

3 . 如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．
（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；
（2）求证：BM＝DM+DC；
（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．

4 . 已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为______．

5 . 如图①，在▱ABCD中，AD=BD=2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．
（1）求证：BF=AE；
（2）若BF所在的直线交AC于点M，求OM的长度；
（3）如图②，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．

   

6 . 如图所示，在中，，于点D，BE平分，且于点E与CD相交于点F，于点H，交BE于点G，下列结论：①；②；③④；其中正确的是___________．
   

7 . 直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是　 　，AP与EC的数量关系是　 　．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．

8 . 点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰，连接BD．在外侧，以BD为斜边作等腰，连接EC．
（1）如图1，当∠DBA30时：
①求证：ACBD；
②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；
（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明EC=EB．

   

9 . 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，△CDE为等边三角形，CD＝2，连接AD，M为AD中点．
（1）如图1，当B，C，E三点共线时，请画出△EDM关于点M的中心对称图形，并证明BM⊥ME；
（2）如图2，当A，C，E三点共线时，求BM的长；
（3）如图3，取BE中点N，连MN，将△CDE绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段MN的取值范围是 ．

10 . 如图，在四边形中，，对角线平分，求证：.

1 . （2017观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

2 . 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．

   
（1）当点E与点C重合时．   
①如图1，若AD＝BD，求BF的长．
②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．
（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．

3 . 已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①；②S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：2；③；④OG•BD=AE²+CF²；⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，．

4 . 已知四边形的四个顶点都在上，对角线和交于点．

（1）若和的度数之比为，求的度数；
（2）若，，，点为劣弧的中点，求弦的长．

5 . 正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图1，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE．
①求证：ADF≌ABE；
②求证：DE﹣BE＝AE．
（2）如图2，若点E在上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．

6 . 如图，在线段AB上任取一点M（）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC.连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.

   

7 . 如图，已知等腰直角中，，点为斜边的中点，、分别为、上一点，且，点为的内角平分线的交点，求证：.

8 . 已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把三角板EGF绕点O旋转.
（1）如图，EG交CA于K，FG交CB于H，求证：①OK=OH，②AK+BH=AC；
（2）若EG交CA的延长线于K，FG交BC的延长线于H，（1）中的结论是否成立？请画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

9 . 定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．

（1）已知点、是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在中，，点、在斜边上，，求证：点、是线段的勾股分割点（提示：把绕点逆时针旋转）；
（3）在（2）的问题中，，，求的长．

10 . （1）问题发现与探究：如图（1），△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连接BD，则①线段AE、BD之间的大小关系是____，∠ADB=_____°，并说明理由．②求证：AD=2CM+BD．
（2）问题拓展与应用：如图（2），等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC=45°，连结BD，BD=1，AC=，请在图（2）中画出图形并求出点C到该直线的距离．

1 . 在中，，，点D、E分别在、边上，连接、、，，点M、N分别是、的中点，连接．
（1）如图①
①求证：；
②延长交于点F，则=_______________，__________；
（2）将绕点C顺时针转到图②的位置，求证：的结果不发生变化；
（3）若，将图①中的绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，请直接写出的长度．
   

2 . 已知等腰直角中，，点为斜边的中点，.
（1）如图，点在边上，与的延长线交于点，探索、、的数量关系并证明你的结论.

（2）如图，点在边上，与交于点，探索、、的数量关系并证明你的结论.