等腰旋转 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．

（1）求证：；
（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．

2 . 如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．

3 . 如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．

4 . 如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．

(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．

5 . 如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；
（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．

6 . 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

7 . 定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，求的长．
(2)如图2，在等腰直角中， ，点为边上两点，满足，求证：点是线段的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．

8 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．

(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长．

9 . 【问题探究】

(1)如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使，，，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，，，，求BD的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，当在线段AC的左侧时，求BD的长．

10 . 如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．

1 . 在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．

（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；
②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．

2 . 如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

3 . 【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；

【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；
【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．

4 . 如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF＝BE，CE，BF交于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．下列结论：①BF⊥CE；②BM＝CN；③∠FHO＝45°；④CH﹣BH＝OH，正确的个数（　）

A．1

B．2

C．3

D．4

5 . 在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合），
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．
（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．

   

6 . 如图，折线AB﹣BC中，AB＝3，BC＝5，将折线AB﹣BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD﹣DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC＝_________________．

7 . 如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：．

8 . （1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．
             

9 . 如图（a），（b），（c）所示，点E、D分别是正、正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且，DB交AE于点P．
   
（1）在图（a）中，求的度数．
（2）在图（b）中，的度数为________，图（c）中，的度数为________．
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

10 . 如图所示，等腰直角三角形、，，，，和交于点，问线段和之间有什么关系，并证明.

1 . 如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．

2 . 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30 ，DM=10．
（1）在旋转过程中，当A，D，M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为____；
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由外的点D₁转到其内的点D₂处，连结D₁D₂，如图2，此时∠AD₂C=135°，CD₂=60，BD₂的长为_____．

3 . 在四边形中，．
（1）如图，若，，，求的长；

（2）如图，若，连接，求证：平分；

（3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长度为________．

4 . 已知如图，射线在的内部，．点分别在射线上，且．连结．
（1）如图1，若，延长到点，使，连接．求证：①≌．
②．

（2）如图2，若，其它条件不变，问题（1）中的线段之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．

5 . 如图，在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，CD=BC．
（1）求∠B+∠D的度数．
（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE²=CE²+BE²，求点E运动路径的长度．

6 . （1）如图1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．

7 . 问题发现
（1）如图1，和均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：．
拓展探究
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点D在边BC上，连接CE
ⅰ）求的度数；
ⅱ）请判断线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，求出线段AC的长度．

8 . 如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角形．
(3)在（2）条件下，已知AD=1，CE=，求AN的长．

9 . 已知：如图所示，中，是的中点，分别是上的动点，且．试问：四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出此值；若不为定值，请说明理由．

10 . 已知在中，，点D是BC上的任意一点，探究与的关系，并证明你的结论.

1 . 如图所示，等腰直角中，，点在上，且，，．将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求的长．

2 . 如图所示，两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角，有以下四个结论：
①当时，与的交点恰好为的中点；
②当时，恰好经过点；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得；
④在旋转过程中，始终存在，
其中结论正确的序号是______.

3 . 情境·观察：
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角=        ° ，与BC相等的线段是          .

问题·探究：
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

                            
关系·拓展：
如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数.

4 . 已知与中，，，与的交点为，连接.
   
（1）如图①，若，请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，当点在线段的延长线上，若，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点在线段的延长线上时，若，且，，请直接写出线段的长.