旋转法 - 初中数学 - 困难

1 . 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

       

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

   

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）

2 . 已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC

(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.

(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH=              .

3 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
   

4 . 等边中，点分别是边上的点（不与端点重合），连接相交于点，且．

(1)如图，求的度数；
(2)如图，点分别是线段上的动点，连接相交于点，平分，平分，求证：；
(3)将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上存在一点，当的值最小时，连接交于点，求的值．

5 . 如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰．

(1)求证：；
(2)如图，点是的中点，连接．求证：；

(3)如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值．

6 . 已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，.

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由.

7 . 如图，ABCD为矩形，AB＝，AD＝4，EF为ABCD内两点，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．

8 . 【操作与思考】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明；
【尝试与应用】
（2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证；
【拓展与创新】
（3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长．

9 . 如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（     ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

10 . （1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

1 . （1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）

2 . 如图，在中，是的直径，，过的中点E作的垂线交于点C和D，P是上一动点．连接．

   

(1)求的长度；
(2)延长到点F，连接，使得．求证：是的切线；
(3)猜想间的数量关系，并证明．

3 . 如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点．

(1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：；
(2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．

4 . 如图，在中，，对角线．点在边上，点在边上，且，连结交于点，以为底边作等腰直角三角形，使点在直线的同侧．

(1)求证：．
(2)求五边形面积的最小值．
(3)连结，直接写出的最小值．
(4)连结，当点在内部，且点到的某条边的距离等于的最小值时，直接写出的长．

5 . 点为等边所在平面内一点，连接，，，且．

(1)如图，点P在外部，若，，则的长为     （直接写出结果）；
(2)点在内部，连接．
①如图2，若，求的值；
②如图3，D为边中点，连接，求的度数．

6 . 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S_△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

7 . 如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

8 . 如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图1，在正方形中，点是上的一点，以为腰作等腰直角且，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)如图2，连接，点是中点，用等式表示与的数量关系，并证明．

10 . 如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H．

(1)求证∶
(2)连接，，求证：
(3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由．

1 . （1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则①              ；②线段，之间的数量关系              ；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度；
（3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．

2 . 综合与实践
【问题情境】
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，连接，，，为的中点，连接．

【数学思考】
（1）线段与的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出的长．

3 . 如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（       ）

A．一直增大

B．始终不变

C．先减小后增大

D．先增大后减小

4 . 已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．

   

(1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？

5 . 如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是__________．

6 . 如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，在四边形 中，，点 在四边形 的内部，且 ，，已知 ，则 的长为______．

   

8 . 已知，在△ABC中，AB=AC，
（1）如图1，若，且点D在CA的延长线上时，求证：；
（2）如图2，若，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由
（3）如图3，若BD=5，求CD的长．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．

（1）直接写出的度数．
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标．
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作，且，连接AF交BC于点P，求的值．

10 . 如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______．

1 . 问题提出
（1）如图①，点，分别在正方形的边，上，，珠琳把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现，，之间的数量关系是_____；
问题探究
（2）如图②，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，当时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
问题解决
（3）如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路，上分别有景点E，F，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长

2 . 如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是______．

3 . 如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则_________．

4 . 在Rt中，，，点为中点，点为线段上一动点．

(1)求的长；
(2)如图1，，点为射线上一动点，求的最大值；
(3)如图2，点在线段上，且，的长为有理数，求证：为无理数．

5 . （1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，
（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．

6 . 【模型建立】（1）如图，四边形是正方形，当点在边上，在边上，时，用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由；
【模型应用】（2）如图2，当点在的延长线上，在的延长线上时，其他条件与（）相同．用等式写出，与之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】（3）如图，在中，，，点，均在边上，且．若，，求的长．

7 . 如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）

A．2

B．7

C．16

D．17

8 . 在正方形中，点、分别是射线和射线上的点，且，与交于点．

   

(1)如图1，求证；
(2)如图2，点是射线上一点，且，连接，．求证：；
(3)在（2）的条件下，若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积．

9 . 问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度．

类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程．

迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案）

10 . 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝．求DM的长；
（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G．猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值．

1 . 如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为______________．

2 . Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．

3 . 如图，四边形是正方形，，分别在线段，上，，与对角线相交于点，过点作，，垂足分别为点和点，连接，．

(1)若正方形边长为6，，则四边形的面积为__________；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，有，，是否存在常数，使得等式成立？若存在，请直接写出一个的值，并证明；若不存在，请说明理由．

4 . 如图所示，等腰直角中，．

(1)如图1，若是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连，求证：；
(2)若是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，连结BD，猜想：线段和满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明；
(3)如图，若是斜边的中点，为下方一点，且，，，则___________．

5 . 如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图1．当点F与点O重合时，直接写出的值为 　 　；
（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，，且，试探究CG与DF的数量关系，说明理由，并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；
（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．

6 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长．

7 . 如图，E点在正方形的边的延长线上，交于F点，点在的延长线上，且，的延长线交于H点．过点G作，交，，于M，O，N三点．

(1)求证：；
(2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)求证：B，O，D三点共线．

8 . （1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；
（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；
（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．

9 . “半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：EF=BE+DF
(1)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B +∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.
(2)实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离？
              
拓展提高
（3）如图4，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF=1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间（与0、F不重合），且∠GPE=45°，设AG=m，求m的取值范围．

10 . 如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，．

(1)操作发现：
如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：．
(2)深入探究：
如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由．
(3)拓展探究：
在（2）的条件下，若，，求的长度．