旋转法 - 初中数学 - 适中

难度：适中 | 第1-2页 | 共 19 道题
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题目 1
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来源：2018·河南濮阳·一模
题干
1 . 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
题目 2
第 1 页
来源：25-26九年级上·江西宜春·阶段检测
题干
2 . 【发现问题】

（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程．
【类比延伸】
（2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系．
题目 3
第 1 页
来源：20-21八年级下·全国·课后作业
题干
3 . 如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．

题目 4
第 1 页
来源：24-25九年级上·天津和平·期末
题干
4 . 已知半圆O的直径长为4，点A为中点，P为上任意一点，与相交于点D．

（1）_______（度）；
（2）的最小值为_______．
题目 5
第 1 页
来源：24-25八年级下·重庆·期中
题干
5 . 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点．

(1)如图1．当时，若，求的长；
(2)如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：．
(3)如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值．
题目 6
第 1 页
来源：23-24九年级上·浙江温州·期末
题干
6 . 如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则______．
题目 7
第 1 页
来源：22-23八年级上·福建泉州·阶段检测
题干

7 . 如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　）

A．B．C．D．
题目 8
第 1 页
来源：20-21八年级下·重庆沙坪坝·开学考试
题干
8 . 如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（       ）

A．点O与的距离为4B．
C．S四边形AOBO′D．
题目 9
第 1 页
来源：2021九年级·全国·专题练习
题干
9 . 如图，是等腰直角三角形，，求证：．

题目 10
第 1 页
来源：2024·河南驻马店·二模
题干
10 . 【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：
图示思路

   

将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．

   

题目 11
第 2 页
来源：24-25八年级下·湖北宜昌·期末
题干
1 . 【问题背景】点分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系．

（1）小云同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述线段，，的数量关系为___________（直接写出结果）；
【变式迁移】
（2）如图2，在菱形中，，点，分别在，上，且，，若．
①求的长；
②求的长；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，．直接写出的长．
题目 12
第 2 页
来源：24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测
题干
2 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

        

原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，
证明：．
(1)思路梳理
∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合．
∵，∴，点F、D、G共线，
证明得．
请按此思路证明原题中．
(2)类比引申
如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由．
题目 13
第 2 页
来源：2022·上海·模拟预测
题干
3 . 如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .

题目 14
第 2 页
来源：2016·山西·中考真题
题干
4 . 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
题目 15
第 2 页
来源：18-19八年级下·湖北武汉·期中
题干
5 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b2-4b+4=0．
(1)求证：∠ABC=90°；
(2)∠ABO的平分线交x轴于点D，求D点的坐标．
(3)如图，在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°，求证：BM2+AN2=MN2．

题目 16
第 2 页
来源：20-21八年级·湖南长沙·开学考试
题干
6 . 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，则Rt△ADC的周长为（　　）
A．5B．7C．9D．12
题目 17
第 2 页
来源：2021九年级·全国·专题练习
题干
7 . 在等腰中，，P为BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，以点P为旋转中心顺时针旋转线段PA，旋转角与相等，得到线段PD．连接DB．
（1）当时，请你在图1中补全图形，并直接写出的度数；
（2）如图2，若，求的度数（用含的代数式表示）．

题目 18
第 2 页
来源：13-14八年级下·江苏扬州·期末
题干
8 . 如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．

（1）写出图中一对全等三角形：____________________．
（2）求证：△BEF是等边三角形；
（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为 （直接写出答案）；
（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N,且∠CBF＝15º，试说明：
题目 19
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来源：25-26九年级上·全国·期中
题干
9 . 在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，．
(1)如图，当时，求点 M 的坐标          ．(直接写出答案)

(2)如图，当时，求证∶，且；