补全图形法 - 初中数学 - 困难

1 . （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．

2 . 如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．

(1)如图1，过点作交边于点，当点在边上时，求出与的大小关系并证明；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点F作，垂足为点G，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
(3)如图3，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值．

3 . 在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，

(1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离；
(2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：；
(3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积．

4 . 【初步感知】
（1）如图1，和均为等边三角形，绕点C逆时针旋转，连接、相交于点F．求证：
【深入探究】
（2）如图2，连接，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，以为边在外部作，且，，连接，过点A作于H，若，，求．

5 . 如图，是等边的高，点E、F分别为线段，上的动点，且，若，则的最小值为______．

6 . 在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．

7 . 如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．

   

(1)【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明；
(2)【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　            　；
(3)【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　                  　．