角平分线模型 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ）

   

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

2 . 已知：是的角平分线，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．

3 . 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
   

4 . 如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），过点作，交延长线于点E．以，为边作．

(1)求证：；
(2)记的面积为，的面积为，若平分，用等式表示与的数量关系，并说明理由；
(3)延长交于点，连接，，若，求证：．

5 . 如图，四边形内接于，对角线平分，于点E，的延长线交于点F，连接和，

(1)如图1，若点O在线段上，的弦为的直径，，求劣弧的长．
(2)如图2，过点C作于点H，，探究：当时，与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，，，，求的长．

6 . 如图，在中，，E，F分别是，上的点，的外接圆与相切于点D，且．

(1)求证∶；
(2)若，的半径为5，求线段的长．

7 . 如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有______．

   

8 . 如图，在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一点，点P为线段延长线上一点．

(1)如图1，，，求C点坐标；
(2)如图2，若，，求的面积；
(3)如图3，当点在线段的延长线上，连接，将点C沿y轴翻折得到点D，过点D作，垂足为点E，，的延长线交于点F，取线段的中点，连接，当时，求的长．

9 . 在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．

10 . 【特例感知】
（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．
【类比迁移】（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．

1 . 如图，在中，，、是的高，与交于点，下列结论：；；；若于点，则．其中正确的是____（填序号）．

2 . 如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 _______

3 . 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（       ）

A．4

B．3

C．2

D．1

4 . 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．

【操作判断】
（1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得
①=______；
②求的长；
【探究提炼】
（2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数．
【理解应用】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．

5 . （1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．

爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化；
小航：如图b，也是考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．
通过他们的思路点拨，你认为：　　（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为　　．
（2）【类比探究】
①如图2，矩形，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为　　；＝　　；
②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为8的菱形，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由；
③如图4，在②的条件下，当点O在对角线上运动，顶点O与B点的距离为7，且旋转至时，的长度为　　．
（3）【拓展延伸】
如图5，是钝角，平分，点C是上一点，那么的长为　　．

6 . 如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．

（1）求证；
（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．

7 . 如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．

8 . 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．

9 . 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．
（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；
（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．

10 . 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.

          

1 . 四边形中，，连接．
（1）如图1，若平分，求证：．
（2）如图2，若，，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度．

2 . 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分．
（3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．

3 . 在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．
   
（1）如图1，若+（a-2）²=0，求△ABO的面积；
（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．

4 . 如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（       ）

   

A．

B．

C．

D．4

5 . 如图，BP平分∠ABC，，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①；②；③；④，_____.

6 . 如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S_{四边形BCDG}=；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．
其中正确的结论个数为（ ）
   

A．4

B．3

C．2

D．1

7 . 如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点．

（1）若AB是⊙O的切线，求∠BMC；
（2）在（1）的条件下，若E，F分别是AB，AC上的两个动点，且EDF120，⊙O的半径为2，试问BECF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

8 . 阅读与理解：折纸是我国传统的民间艺术，不仅可以得到许多美丽的图形，还能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图1），怎样证明呢? 分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以．

(1)【感悟与应用】如图（2），在正方形中，是对角线，平分，则=______；
(2)如图（3），平分，，，，，求的长．
(3)【拓展提高】如图（4），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长．