角平分线模型 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点．

(1)过点作于点，求证：；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

   

3 . 如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（     ）

A．

B．

C．

D．4

4 . 如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．

5 . 如图，在五边形中，，平分，．

   

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

6 . 如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：．

7 . 如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.

8 . 如图，平分，于点，．求证：．

9 . 阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．

(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．

10 . 在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．

1 . 如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线；
②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．
根据以上作图，若，则点到直线的距离为（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．

   

(1)求的度数；
(2)求证：．

3 . 在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长．

4 . 阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

   

该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

   

平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

   

5 . （1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．

7 . 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号）

8 . 已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．

9 . 如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．

   

10 . 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=______．

1 . 如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分．

(1)求证：是等腰三角形．
(2)求证：垂直平分．

2 . 已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，

(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．

3 . 如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）

   

4 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．

5 . 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．

6 . 如图，△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F，连接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．

（1）求证：AB＝ED；
（2）求证：FC平分∠BFE．

7 . 如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E,
①若点在点的右侧，如图2，求证：；
②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．

   

8 . 已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．

9 . 如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．

10 . 如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．

1 . 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．

   

2 . 已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．

3 . 如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.

4 . 如图，在中，，平分，交于，于，求证：.

5 . 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º

6 . 如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．

7 . 如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.

8 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.

9 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．

10 . 如图所示，中，为的中点交的平分线于于，求证：．

1 . 如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC
（1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为      ．
（2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长．
（3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB．

2 . 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数．

3 . 如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：．

4 . 如图，在中，，平分交于，求证：.

5 . 已知：如图，在中，，平分，于，是的中点，求证：.

6 . 如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.