垂美四边形 - 初中数学 - 困难

1 . 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．

(1)在①平行四边形②矩形③菱形中，是垂等四边形的是______．（填序号）
(2)如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使、是对角线，点D在格点上．
(3)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形．
(4)如图3，已知，，，，以为腰且在的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积．

2 . 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

   

3 . 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）                        
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
(3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求长．

4 . 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长．

5 . 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB²+CD²＝AD²+BC²；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．

6 . 问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”．

概念理解：
（1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长．
性质探究：
（2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程．
问题解决：
（3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长．

7 . 阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB²，CD²，AD²，BC²之间的关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．

8 . 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________；
（2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且．
①求证：；
②若，求n的值；

9 . 阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD²+BC²=AB²+CD²
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形
∴AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD²+BC²=AE²+DE²+BE²+CE²，
AB²+CD²=AE²+BE²+CE²+DE²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²．
拓展探究：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．

10 . 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是      .
(2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程．
(3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长.

1 . 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形中，若，，试判断四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：；请你证明这个结论．
（3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．若，，求的长．