动态几何 - 初中数学 - 适中

1 . 已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

(1)若点P为的中点，则点P对应的数是          ．
(2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．
(3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．

2 . 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为______．

   

3 . 如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为__________．

4 . 已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：

(1)运动前线段的长为______；运动1秒后线段的长为______；
(2)运动秒后，点，点运动的距离分别为______和______；
(3)求为何值时，点与点恰好重合；
(4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

5 . 综合实践
初步探究：
如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
               
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为                         ；
解决问题：
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为                        ；
拓展应用：
(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；

6 . 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（       ）秒

A．2.5

B．3

C．3.5

D．4

7 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

8 . 【定义概念】
如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．）

[阅读理解]
（1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”）
[初步应用]
（2）若，射线为的“幸运线”，求的度数；
【解决问题】
（3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值．

9 . 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

(1)当四边形是平行四边形时，求t的值；
(2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
(3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．

10 . 如图1，已知，点轴，垂足为H，将线段平移至线段，点
，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．

(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（           ）、B（           ）、C（            ）；
②直接写出的面积        ．
(2)如图1，若点在线段上，证明：．
(3)如图2，连，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，试求t的值及点P的坐标．

1 . 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．

(1)直接写出：_______，______；（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？
(3)若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？

2 . 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

3 . 如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

(1)________cm．（用t的代数式表示）
(2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，的面积等于？
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)若点P、Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？

5 . Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　　　　　　°；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　　　　　　；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点中的横坐标x与纵坐标y满足，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．

(1)直接写出点A和点E的坐标；
(2)在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标．

7 . 已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．

(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．

8 . 如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后， ______， _______．
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？

9 . 如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

   

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．
(3)在（1）中的面积能否等于？说明理由．

10 . 已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c．
(1)填空： __________，__________，__________．
(2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？
(3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由．

1 . 直线分别与，轴交于、两点，过点的直线交轴负半轴于，且．
(1)求点B的坐标为             ；
(2)求直线的解析式；
(3)动点从出发沿方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设运动秒时，当为何值时为等腰三角形．

2 . 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．

(1)求的长；
(2)若为直角三角形，求t的值．

3 . 如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（       ）

A．	B．
C．	D．

4 . 阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______；
(3)当取最小值时，符合条件的整数x有______；
(4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解．

5 . 如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M．

(1)求证：；
(2)当点P、Q分别在、边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

6 . 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求的值；
(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值．

7 . 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动，
当点与点重合时（如图），求菱形的边长；
若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离．

8 . 如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．

9 . 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数        ．

10 . 如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动．

(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等；
①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？
(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是        cm/s．（请直接写出答案）

1 . 如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．

(1)当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？
(2)当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时，的面积为12？

2 . 如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ）

A．

B．

C．或

D．或

3 . 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为 _____．

4 . 如图1，，，以A点为顶点、为腰在第三象限作等腰，

(1)求C点的坐标；
(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值；
(3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y轴负半轴交于点，与x轴正半轴交于点，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

5 . 以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．

(1)如上图，若直角三角板的一边放在射线上，则_______；
(2)如上图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则_______；
②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；
(3)将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数．

6 . 已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立．

(1)如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由．

7 . 如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为_____cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒

（1）线段______；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．

9 . 在平面直角坐标系中，点A(0，a)、B(b，0)，且满足+(b﹣3)²＝0．

(1)如图1，直接写出点A的坐标为_________，点B的坐标为_________；
(2)如图2，已知坐标轴上有两动点P、Q，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度匀速向左移动，同时点Q从点O出发以每秒2个单位长度的速度匀速向上移动，点C(1，4)在线段AB上．
设运动时间为t（t＞0）秒，则当S_△COQ＝2S_△COP时，求点P的坐标；
(3)如图3，过点A作ADx轴，点E为x轴正半轴上一动点，AF平分∠DAE，AG⊥AF于点A，在点E的运动过程中，直接写出的值．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

1 . 如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　）

   

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．

(1)求、OB的长；
(2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图1，在等腰中，，，点M为中点．点P为边上一动点，点D为边上一动点，连接，以点P为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)当点P与点A重合时，如图2．
①根据题意在图2中完成作图；
②判断与的位置关系并证明．
(2)连接，写出一个的值，使得对于任意的点D总有，并证明．

4 . 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值；
(3)设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

5 . 在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．
（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：
（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．
（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

6 . 如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接．

(1)请直接写出的长．
(2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长．
(3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长．
(4)请直接写出的最大值和最小值．

7 . 如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

   

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

8 . 如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于

(1)如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则　　；
(2)如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即时，求的度数；
(3)当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即，且，其中为正整数）时，则　　．

9 . 如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．

(1)填空：线段的中点          这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

10 . 如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm²，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
（1）a＝          ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm²；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．

1 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为 _____．

2 . 如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动．

(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？
(3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？

3 . 如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒个单位长度．

(1)当时，         ，         ；（请直接写出答案）
(2)当         时，是直角三角形；（请直接写出答案）
(3)求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．

4 . 如图，已知点A （0，8），B （16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．
（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．
（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．
（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

   

5 . 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．

(1)求证：．
(2)写出线段的长（用含t的式子表示）．
(3)连接，当线段经过点C时，求t的值．

6 . 如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

7 . 一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．

   

(1)求点B的坐标和k，b的值；
(2)点Q为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于，请求出点Q的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段AB的长度．对于线段AB和线段AB上的点C，给出如下定义：，此时，我们称是点C相对线段AB的“幸福值”．
例如：数轴上A，B两点表示的数分别为-2，3，点O是原点，此时因为，，且，所以．
如图，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足，

(1)当点C对应的数是1时，求的值；
(2)当时，点C对应的数是______．
(3)点M，N分别从点A、B同时出发，相向运动，点N到达点A时，M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为3个单位长度/s和4个单位长度/s，运动t秒后，是否存在，若存在，求出t的值；不存在，请说明理由．

9 . 如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或于点，交边（或于点，当旋转至处时，的旋转随即停止

(1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，      （填：“≌”或“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的t的值．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，，，，，连接，以为边在轴上方作正方形．

(1)直接写出，两点的坐标；
(2)将正方形向右平移个单位长度，得到正方形．
①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值；
②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形和三角形重叠的区域（不含边界）为，若区域内恰有个整点，直接写出的取值范围．

1 . 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E经过 _______________秒时，与全等．

2 . 如图，已知是边长为6的等边三角形，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交线段，于点，，连接和，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④当时，，其中正确的有（       ）．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

3 . 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝5cm，CD＝4cm．点P从点C出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速移动，点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点N从点D出发以acm/s的速度沿DC向点C匀速移动．点P、M、N同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts．

（1）如图1，①当a为何值时，以P、B、M为顶点的三角形与△PCN全等？并求出相应的t的值；   ②连接AP、BD交于点E．当AP⊥BD时，求出t的值；
（2）如图2，连接AN、MD交于点F．当，时，证明S_△ADF＝S_△CDF．

4 . 若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．
（1）写出 A、C 两点的坐标，A         ，C ____ ；
（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；
（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
   

5 . 某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．

如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm²．
探究二：
如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为　　cm²．

由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'．

1．由旋转得：∠D＝∠　　，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'．
2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
探究四：
以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积．
选择的条件是：　　；　　（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为　　cm²．

6 . 点、在数轴上所对应的数分别是、，其中、满足．
（1）求、的值．
（2）数轴上有一点，使得，求点所对应的数．
（3）点是的中点，为原点，数轴上有一动点，直接写出的最小值是________；的最小值是________；取最小时，点对应的数的取值范围是________．

7 . 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为1秒，当时，求的面积．
(3)在（2）的条件下，当点P，Q运动至四边形为矩形时，求t的值．

8 . 如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为.
【解决问题】
若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题：
(1)；
(2)此时与是否全等，请说明理由；

(3)求证：；
【变式探究】
若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.                                           

9 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．

(1)求该抛物线的解析式：
(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等，求出点D的坐标；
(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交BC于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标．

10 . 如图1，在中，，，厘米，点从点开始沿边向点以每秒2厘米的速度移动，同时点从点开始沿边向点以每秒1厘米的速度移动，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求：

(1)点从点出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？
(2)是否存在以点为圆心、为半径的圆与直线相切，若存在，求出经过几秒相切？若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点是内的一个动点，且满足，求线段的最小值．

1 . 如图，在矩形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．

(1)点B的坐标为_________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为_________；
(2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
(3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间．

2 . 如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标；
(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

3 . 如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

   

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，直线y＝kx﹣1与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于B、C两点，且OC＝2OB．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）若点A是直线y＝kx﹣1上的一个动点（不与点B重合），且点A的横坐标为t，试写出在点A运动过程中，△AOB的面积S与t的函数表达式；
（3）若△AOB的面积为1时，试确定点A的坐标．
   

5 . 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．

6 . 如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______．

7 . 如图1，已知抛物线的顶点坐标为与y轴交于，交直线：于点B，点在y轴上，连接并延长，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接，若，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线上一点，作⊥直线于点Q，若为直角三角形，请求出P点的坐标；

8 . 如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点．

(1)当时，线段的长为________；
(2)当时，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

9 . 已知：如图，线段，点P绕着点O以的速度逆时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线自点B向点A运动，若点P，Q两点能相遇，则点Q运动的速度为_____．

10 . 如图所示，在直角梯形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.

(1)设的面积为S，S＝__（用含t的式子表示S）；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)分别求出当t为何值时，
①；
②．

1 . 如图，在矩形ABCD中，AB=7，AD=5，对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEＦ，（E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（       ）

A．12

B．

C．18

D．

2 . 如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

（1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）．
（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？
（3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长．

3 . 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足．现同时将点A，B分别向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A，B的对应点C，D．连接、．

   

(1)求C，D两点的坐标．
(2)如图2，P是线段上的一个动点，Q是线段的中点，连接，．当点P在线段上移动时(点P不与点A、C重合)，请找出，、之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)在坐标轴上是否存在点M使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

4 . 已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点：
（1）写出点所对应的数；
（2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？
（3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？

5 . 同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝　 　；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并说明理由．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

6 . 如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足，点是数轴原点．
   
（1）点表示的数为_________，点表示的数为________，线段的长为________．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为_________．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？

7 . 如图，已知点A（﹣3，2），点B是x轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为斜边在AB的上方构造等腰直角△ABC，连接DC．
（1）当点B的坐标为（4，0）时，点C的坐标是_______；
（2）当点B在x轴正半轴上运动的时候，点C是否在一直线上运动，如果是，请求出点C所在直线的解析式；如果不是，请说明理由；
（3）在B点的运动过程中，猜想DC与DB有怎样的数量关系，并证明你的结论．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A(﹣1，0)、B(3，0)，且OB＝OC．

   

（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

9 . 在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与x轴交于点A，与直线交于点P．

(1)求出直线的解析式；
(2)当时，直接写出时自变量x的取值范围；
(3)直线绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当是等腰三角形时，请直接写出符合条件的所有点B的坐标．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．

(1)求线段CD的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．

1 . 如图1所示，在边长为6 cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动设点P的运动时间为t（s），t＞0

(1)当t＝       时，△PAC是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，那么当t取何值时，△PAQ是直角三角形？请说明理由；
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E，试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．

2 . 图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，求AD，CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，设运动时间为t，若△CPQ的面积为8时，求t的值．

3 . 如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足，原点记作O．

   

(1)求a和b
(2)数轴有一对动点和分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒．
①经过多少秒后满足在点B左边且？
②另有动点从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：，求符合条件m的取值范围．

4 . (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

5 . 在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（0，﹣）

B．（0，）

C．（0，3）

D．（0，4）

6 . 如图，中，，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知，，动点P、M的速度均是，动点Q、N的速度均是，

(1)_______，_______（用含t的代数式表示）
(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．
(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．

7 . 如图，在正方形内有一点P，若，则的度数为________．

8 . 阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为.
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；

当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边，；
如图3，当点A、B都在原点的左边，；

如图4，当点A、B在原点的两边，．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是________数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
（2）数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是________，若，那么x为________．
（3）当x是________时，代数式．
（4）若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）.

9 . 如图，在长方形中，，，点从点出发，沿折线→→→运动，到点停止；点以每秒的速度运动6秒，之后以每秒的速度运动，设点运动的时间是（秒），点运动的路程为，的面积是．
（1）点共运动______秒；
（2）当时，求的值；
（3）用含的代数式表示；
（4）当的面积是长方形面积的时，直接写出的值

10 . 如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E．

(1)试说明；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论；
(3)若边上存在点O，使四边形是正方形，直接猜想的形状，不用证明你的结论．

1 . 如图，在数轴上，点A、点B所表示的数分别是a和b，a，b满足．点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向数轴负方向运动，到达点B后，立即以相同的速度反向运动；点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向数轴负方向运动，两点同时出发，设运动时间为t秒．

（1）           ，           ；
（2）当时，点P、点Q所表示的数分别为           ，           ；
（3）当点P、点Q与原点的距离之和为22时，求t的值．

2 . 如图，是正方形的外接圆，点是劣弧上的任意一点，连接，作于点，连接则当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的取值范围为________________．

   

3 . 已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图1所示)时，试说明∠BOE＝2∠COF；
(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图2所示)时，(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；
(3)将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180°)得射线OD．设∠AOC＝n°，若∠BOD＝(60－n)°，则∠DOE的度数是       (用含n的式子表示)

4 . 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点运动的时间为（   ）

A．1

B．

C．2或

D．1或

5 . 已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．

(1)若矩形的面积为，求的值；
(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；
(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．

6 . 已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（I）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_______．
（II）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是9？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（III）如果点P以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动时，点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几秒时点P到点M，点N的距离相等？

7 . 如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．

(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．

   

(1)直接写出B，C两点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．

9 . 如图1，已知Rt中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，速度均为，连接，设运动的时间为（单位：）．

（1）当时，_____；

（2）设的面积为（单位：），当为何值时，取得最大值，并求出最大值；
（3）如图2，取点关于的对称点，连接，，得到四边形，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

10 . 已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点，点从点向点运动（到点时停止），点为上一点，且，连接交于点．

（1）求菱形的面积；
（2）如图1，过点作于点，，求的长；
（3）如图2，点是上一点，且，连接、，试判断：在运动过程中，是否存在最小值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

1 . 已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm²)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图1，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒．过点作于点，连接，．
（1）用含的代数式表示下列线段：=       ，=       ，=        ；
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，交于点，设为与的周长差，求与的函数关系式，并求当为何值时，与的周长相等．
（4）是否存在某一时刻t，使得为直角三角形？若存在，请直接写出值；不存在，请说明理由．

3 . 如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

问题1　当时， _____． 
问题2　当时， _____． 
问题3　试判断∶当时，的大小有无变化？请根据如图的情形给出证明．
问题4　当旋转至A，D，E三点共线时，求线段的长．

4 . 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．
（3）当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．

   

5 . 数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点A，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．

   

(1)由题意易知，点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______．
(2)在A，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示．
(3)若，，求和的值．

6 . 在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．点关轴的对称点为点．

（1）求这两个函数的表达式．
（2）直接写出关于的不等式的解．
（3）过点作轴的垂线与直线交于点，经过点的直线与直线交于点，且，直接写出点的横坐标的取值范围．

7 . 探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”
（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）；
深入研究：
如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值．

8 . 已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．

(1)解决问题：①当t＝1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数；
②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．

9 . 如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系．

   

（1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围．

10 . 如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；
（2）设正方形EFGH面积为S₁，正方形EFGH与ABC重叠面积为S₂，当S₁：S₂＝2时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿折线段DM﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．

（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）点在直线上，在坐标轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出的坐标；若不存在请说明理由．

2 . 如图，在中，，，点E是边上一个动点（不与端点重合），交于点D，将沿折叠，点A的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为_____．

   

3 . 已知，如图，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），于点N，连接CM．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 已知在中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
（1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，连结，若，求的面积．
（3）如图3，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动(同时点也停止)，若，设运动时间为t秒，求当运动时间t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．

     

5 . 在中，，，点D，E分别是边的中点，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，连接．

(1)如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
(2)如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长

6 . 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点在数轴上分别对应的数为，则的长度可以表示为．
请你用以上知识解决问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后向右移动个单位长度到达点．
请你在图②的数轴上表示出三点的位置．
若点以每秒个单位长度的速度向左移动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．
①当时，求和的长度；
②试探究：在移动过程中，的值是否随着时间的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

7 . 数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：

(1)如图1，当与相切于点时，求的长；
(2)如图2，当与相切时，
①求的长；
②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______．

8 . 如图，半径为1的经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．

(1)求点A、B的坐标；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图1，矩形中，，，E为上一点，F为延长线上一点，且．点P从A点出发，沿方向以的速度向D运动，连结交于点H．设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图像如图2所示．

   

(1)的长是     ；
(2)当，时，求t的值；
(3)如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当t为何值时，四边形为菱形？

10 . 如图，将一三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线相交于Q．

   

探究：设A、P两点间的距离为x．
(1)当点Q在边上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q在边上时，设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系；
(3)当点P在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

1 . 在△ABC中，AB=AC=10cm．

（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME=     cm．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：
①FD       FE（填“>”、“=”或“＜”）；
②AM       DE （填位置关系）．
（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等?

2 . 已知E、D分别在的边上，C为平面内一点，分别是、的平分线．

(1)如图1，若点C在上，且，求证：；
(2)如图2，若点C在的内部，且，请猜想之间的数量关系，并证明；
(3)若点C在的外部，且，请根据图3、图4分别写出之间的数量关系（不需证明）．

3 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，

（1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 　（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
（1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
（2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
（3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（       ）

A．1

B．

C．2

D．

6 . 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．

7 . 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知，点分别在上运动（不与点O重合）．

(1)如图①，分别是和的平分线，______．
(2)如图②，若是的平分线，BC的反向延长线与的平分线交于点D．
①若，则______；
②随着点的运动，的大小会变吗？请说明理由．
(3)在图②的基础上，若，其余条件不变，随着点的运动（如图③），则______（用含的代数式表示）．

9 . 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是，灯B射出的光束转动的速度是，且a、b满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．

(1)求a、b的值；
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达之前，过C作交于点D，若，求的度数；
(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足+|b-2|=0．

(1)求点A、点C的坐标；
(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从点C出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向上匀速移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t>0）秒,当S_△ODQ＝2S_△ODP，此时是否存在点M（m，6）使得S_△ODM＝3S_△ODQ ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，A(a，b)满足＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．
（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；
（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；
（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．

2 . （1）如图1，，求的度数． （提示：作）．
（2）如图2，，当点在线段上运动时，，求与、之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在射线上运动，请你直接写出与、之间的数量关系．

3 . 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），＝．

（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．

4 . △ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，
①连结NG，求线段NG的长；
②连结ND，求∠DNG的大小．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．

5 . 如图，数轴上的点从左往右依次A，B，C对应的数分别为a，b，c，且|a+3|+|b-6|=0，AB的距离比BC的距离大4，动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度一直向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴一直向左运动，设运动的时间为t秒．

(1)填空：a＝　 ，b＝　 ，点Q在数轴上所表示的数为　 　（用含t的代数式表示）．
(2)当动点P从点A运动到点C过程中，Q点是PC的中点时，则点Q在数轴上所表示的数是多少？
(3)在整个运动过程中，是否存在t使得QB=2PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

6 . 有两个形状、大小完全相同的直角三角板和，其中．将两个直角三角板和如图①放置，点，，在直线上．

（1）三角板位置不动，将三角板绕点顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若，则______°．
②在旋转过程中，与有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．
（2）在图①基础上，三角板和同时绕点顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为10°/秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为1°/秒，当旋转一周再落到上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为秒，则在旋转过程中，当______秒时，有．

7 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．

   

8 . 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．
（1）几秒后△PCQ是等腰三角形？
（2）几秒后P、Q两点相距25cm？
（3）设△CPQ的面积为S₁，△ABC的面积为S₂，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S₁：S₂＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

9 . 已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l₂经过点C与点D（4，0），且与直线l₁在x轴下方相交于点E
（1）请求出直线l₂的函数关系式；
（2）求出△ADE的面积；
（3）在直线l₂上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 在中，，点D､E分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接．
观察猜想

（1）如图①，当时，填空：
①______________；
②直线所夹锐角为____________；
类比探究
（2）如图②，当时，试判断的值及直线所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若，将绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出的值．

1 . 如图，在中，，，，过点C作射线，且，点P从点C出发，沿射线方向匀速运动，速度为，点Q从点A出发，沿边向点B匀速运动，速度为，当点Q停止运动时，点P也停止运动，连接，，设动点的运动时间为t（）（），解答下列问题：

   

(1)用含有t的代数式表示和的长度．
(2)当时，请说明．
(3)等腰直角三角形的高等于斜边的一半，设的面积为，求S与t之间的关系式．

2 . 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A．	B．
C．	D．

3 . 在边长为8的等边三角形中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．

(1)如图1，若，当t取何值时？
(2)若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（在图2中画出示意图）．
(3)如图3，将边长为的等边三角形变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且，，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，直接写出a的值．

4 . 如图，在矩形中，，点P从点B出发沿线段以的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段以的速度向终点A运动（P，Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点立即停止运动）．

（1）设P，Q的运动时间为，的面积为，当点P在边上运动时，求S关于t的函数解析式；
（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．

5 . 下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图①完成这道题的证明．
（1）如图①，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且ED⊥DF．
①直接写出四边形EDFC的面积．
②若∠CDE＝15°，则四边形EDFC的周长为 ．

6 . 已知，点O是数轴的原点，点A、点B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段AB的中点．在上述条件下，解决问题：
（1）如果点A表示的数是4，点B表示的数是6，那么点M表示的数是         ；

（2）如果点A表示的数是－3，点M表示的数是2，那么点B表示的数是         ；

（3）如果点A表示的数是a，点B表示的数是b，那么点M表示的数是         ；(用含a，b的代数式表示) ，所以AM=BM．因此得到关于x的方程：x－a=b－x．你能解出这个方程吗？
（4）如果点A表示的数是－2，点C表示的数是3，点B是线段OC上的一点，点M表示的数为m，则m的取值范围是           ；

（5）如果点E表示的数是1，点F表示的数是x，点A从点E出发，以每分钟1个单位长度的速度向右运动，点B从点F出发，以每分钟3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t (t＞0)．

①当x=5时，如果EM=6，那么t的值是             ；
②当t≤3时，如果EM≤9，求x的取值范围．

7 . 如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．

8 . 如图1，在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， 直线a于点M，直线a于点N，连接、；

(1) 延长交于点E(如图2)．①求证：；②求证：；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．

9 . 如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿方向向点D运动且不与点D重合，动点Q从点A出发，以的速度沿方向向点B运动且不与点B重合，若P，Q两点同时出发，运动时间为．

（1）连接，求当t为何值时，的面积为．
（2）当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5厘米，AD=BC=4厘米． 动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A→B运动，到B点停止运动；同时点Q从C点出发，以2厘米/秒的速度沿C→B→A运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒(t > 0)，当t=____________时，S_△ADP=S_△BQD．

2 . 如图，在数轴上，点和点分别表示和．动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向点运动，当点运动到点后，立即以每秒个单位长度的速度返回，至点A停止运动．设点的运动时间为秒．

(1)当时，点表示的数为______；
(2)求点返回到点A时，的值；
(3)在点的整个运动过程中，求点与点间的距离用含的式子表示；
(4)在点的整个运动过程中，当点与点A间的距离是点与点间的距离的倍时，直接写出的值．

3 . 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）点、在运动过程中是否存在的值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由．

4 . 如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，已知数轴上有三点，，，它们对应的数分别为，，，且点为线段的中点，点对应的数是10，．动点、分别从、同时出发，点的运动速度为8个单位长度/秒，点的运动速度为4个单位长度/秒，设动点、的运动时间是秒．

（1）________，________；
（2）若为原点，向左运动，向右运动，为的中点，为的中点，在、的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由；
（3）若动点、同时出发向左运动，此时动点从点出发向右运动，点的速度为2个单位长度/秒，点为线段的中点，点为线段的中点，当________秒时恰好满足．

6 . 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．

（1）若，判断_______(填“，或”)
（2）当，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当______时，是等腰三角形．(请直接写出答案)

7 . 如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：
（1）当α＝　度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当α＝　度时，能使图3中的AB与AE重合；
（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图12﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．

8 . 已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足．

（1）求a、b、c的值；
（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．
①2秒后，点A、B、C表示的数分别是      ，      ，     ；
②运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）
③在②的基础上，请问：3×BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；
（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）．是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由．

9 . 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG、DE．
（1）猜想AG与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：
（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在正方形OEFG旋转过程中，请直接写出：
①当α＝30°时，∠OAG的度数；
②当△AEG的面积最小时，旋转角α的度数．

10 . 如图，为数轴上两条线段，其中与原点重合，，且．
（1）当为中点时，求线段的长；
（2）线段和以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段的运动速度为每秒5个单位长度，线段运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为秒，请结合运动过程解决以下问题：
①当时，求的值；
②当时，请直接写出的值．

1 . 如图，已知点O在直线AB上，．在中，∠ODE=90°，∠DOE=30°，先将一边OE与OC重合（如图1），然后将绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．

          

（1）当时，则旋转角的大小为________；
（2）当在OC与OB之间时，求的值；
（3）在旋转过程中，若时，请直接写出旋转角的度数．

2 . 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）求出发2秒后，PQ的长；
（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．

3 . 如图1，已知∠AOB=90°，∠COD=60°，射线OC，OB重合．

（1）∠AOD=        ；
（2）如图2，若射线OB以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，同时若射线OC以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OB与OA重合时，两射线都停止运动，设旋转的时间为t秒，
①当∠BOC=90°时，求t的值；
②如图3，当有一条射线恰好是另外两条射线夹角的角平分线时，直接写出∠BOC的度数        （用t的代数式表示），并求t的值．

4 . 如图，等腰三角形中，，，AD为底边BC上的高，动点从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为，运动到点停止，设运动时间为，连接BP．(0≤t≤8)
（1）求AD的长；
（2）设△APB的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得S_△APB:S_△ABC=1:3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使得点P在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

5 . 如图，直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，点的坐标为，点是第二象限内的直线上的一个动点．

（1）求的值．
（2）在点的运动过程中，写出的面积与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）已知，当点运动到什么位置时，直线将四边形分成两部分，面积比为，请直接写出点坐标．

6 . 已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF、AD、ED.
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：；
（2）如图1，当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（3）如图2，当点E在线段AC延长线上时，四边形ADEF还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

7 . 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB=AC．

（1）求点B的坐标；
（2）如图2，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)；
①若△OME的面积为2，求t的值；
②如图3，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．

8 . 已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处．
①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'=______；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；
（2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
（3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．

9 . 如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒．

（1）如果点运动的速度与点运动的速度相等．求证当运动时间秒时，．
（2）如果点运动的速度与点运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使与全等？若存在，求出的值，并求此时点运动的速度；若不存在，请说明理由．

10 . 如图所示，抛物线y₁＝﹣x²与直线y₂＝﹣x﹣交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象回答：
①当x取何值时，y₁的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y₁＜y₂？
（3）求△AOB的面积．
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

1 . 数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度、每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a－3|+（b－4）²=0．
（1）请直接写出a=　　　　，b=　　　；
（2）如图1，若点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动；同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点．若MP=MA，求t的值；
（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t．当以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为94时，求此时点M对应的数．
   

2 . 如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连接交对角线于点O．设点P的运动时间为．

   

(1)求的长；
(2)当四边形是矩形时，直接写出t的值；
(3)当四边形是菱形时，求t的值；
(4)当是等腰三角形时，求t的值．

3 . 将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含30°角的三角板OCD绕点O逆时针旋转180°，在这个过程中，

(1)如图2，当OD平分，求的度数
(2)当OC在直线EF上方，且时，求的度数
(3)若，，请直接写出，满足的数量关系．

4 . 如图①，长方形OABC，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，设点P运动时间为．
（1）B点坐标为          ；
（2）①当t=2时，则BP=         ；当t=4时，BP=         ；
②当时，CP=           ；（用含t的式子表示）
（3）如图②，点p出发3s后，一直线l从y轴位置出发沿x轴正方向运动，且始终与y轴平行，运动速度为每秒2个单位长度．当t为何值时，点到直线的距离为2？

   

5 . 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．

（1）点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿轴向左运动，两点同时出发.分别过点，作轴的垂线，分别交直线，于点，，请你在图1中画出图形，猜想四边形的形状（点，重合时除外），并证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，当点运动______秒时，四边形是正方形（直接写出结论）．

7 . 如图1，数轴上的点A，B．C依次表示数－2，x，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点B，发现点A对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）AC=　　　　个单位长度；由图可知数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　　　　cm；数轴上的点B表示数　　　　；

（2）已知T是数轴上一点（不与点A、点B、点C重合），点T表示的数是t，点P是线段BT的三等分点，且TP=2BP．
①如图3，当－2＜t＜4时，试试猜想线段CT与AP的数量关系，并说明理由；
②若|2BT－3AP|=1，请直接写出所有满足条件的t的值．

8 . 如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），OC＝OA，且a，b满足|a﹣8|＋＝0
（1）求直线AB的表达式；
（2）现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请用含t的式子表示线段ON的长度；
（3）在（2）的条件下，连接BM，当S_△ABM：S_△ACM＝3：7时，求此时P点的坐标．

9 . 如图，已知在数轴上有三个点、、，是原点，满足，，，动点从点出发向右以每秒的速度匀速运动；同时，动点从点出发，在数轴上向左运动．

（1）若点的速度为每秒，求，相遇时，运动的时间．
（2）若的运动速度为每秒时，经过多长时间，两点相距？
（3）当时，点运动的位置恰好是线段的三等分点，求的速度．

10 . 如图，顶点为的抛物线经过原点O，交x轴于点B．

　　

（1）求直线OA的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）P为直线OA上一动点，是否存在以A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　）

A．5.5

B．6

C．7.5

D．8

2 . 如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．

（1）①的长为______；
②的长用含的代数式表示为______；
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．

3 . 如图，已知在中，，，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接．

（1）如图1，当秒时，求的长度；
（2）如图1，点在线段上，当为等腰三角形时，求的值；
（3）如图2，点是边上的一点，．请直接写出在点的运动过程中，当的值是多少时，平分？

4 . 如图，在矩形中，．直线从点出发沿方向匀速运动，速度是，运动过程中始终保持交于，交于点； 同时，点从点出发沿 方向匀速运动，速度是，连接，设运动时间为．

（1）求为何值时，；
（2）设的面积为，求与 之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接，求为何值时是等腰三角形．

5 . 已知：如图1，矩形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm²），y与t的函数关系图象如图2，则下列结论：①a＝7；②b＝10；③当t＝3s时，△PCD为等腰三角形；④当t＝10s时，y＝12cm²．正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6 . 如图，等边三角形的边长为，点自点出发，以的速度向终点运动；点自点出发，以的速度向终点运动．若，两点分别同时从，两点出发，

   

（1）经过多少时间的面积是?
（2）经过多少时间为直角三角形?

7 . 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．

（1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm²？
（2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
（3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

8 . 在中，，，，点是斜边上一点，过点作，垂足为，交边（或边于点，设，当的面积为时，的值为_____．

9 . 如图10，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，且满足.现同时将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点的对应点，连接得．
（1）直接写出点的坐标和四边形的面积；
（2）若在坐标轴上存在点，使_四边形，求出点的坐标；
（3）若点在直线上运动，连接.请画出图形，写出的数量关系并证明．

10 . 如图1，RtABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点．动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象．
（1）CD=      ，S=      cm²；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得BPQ与ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．

   

1 . 如图，是正方形中边上一点，以点为中心把顺时针旋转．

（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后点的对应点记为，点在上，且，连接．
①求证：；
②若正方形的边长为6，，求．

2 . 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒()．过点作于点，连接、．

（1）求、的长；
（2）求证：；
（3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．

3 . 距离是天文学、物理学、数学，甚至哲学中的热门话题．唯有深入了解距离，才能更好地把握宇宙尺度，把握做人做事的分寸．
研究数轴我们发现：若点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则、两点之间的距离．已知如图，点为原点，点、在数轴上对应的数分别为和6．

（1）①，两点之间的距离为          ；
②点是数轴上一点，若点到点的距离为6（即），则点在数轴上对应的数为          ．
（2）数轴上有一动点，当点以每秒1个单位长度的速度从点向左匀速运动时，点也以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，同时点也以每秒6个单位长度的速度向左匀速运动，若它们同时出发，则几秒后点到、两点的距离相等？
（3）定义：数轴上，把表示数2的点称为标准点，记作点，对于两个不同的点和，若点、点到点的距离相等，则称点与点互为标准变换点．
点在点的左边，点与点之间的距离为16个单位长度．对、两点做如下操作：点沿数轴向左移动个单位长度得到，为的标准变换点，点沿数轴向左移动个单位长度得到，为的标准变换点，…，依此顺序不断地重复，得到，，…，．为的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，为的标准变换点，将数轴沿原点对折后的落点记为，…，依次顺序不断地重复，得到，，…，．若无论为何值，与两点间的距离都是12，求出的值．

4 . 如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列），当点A与原点O重合时，得到等腰直角△OBC（此时点P与点C重合）．
（1）BC＝　 　；当OA＝2时，点P的坐标是　 　；
（2）设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．
①点A在移动过程中，△ABP的顶点P在射线OC上吗？请说明理由；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（　 　，　 　）；
（3）分别过点P、A作x轴、y轴的平行线，两条平行线交于点Q，是否存在这样的Q，使得△AQB是等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．

6 . 如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数的图象在第一象限内交于点P，过点P作轴，垂足为B，且的面积为9．

（1）点A的坐标为_______，点C的坐标为________，点P的坐标为_________．
（2）已知点Q在反比例函数的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使得的周长最小，求出点M的坐标．
（3）设点E是反比例函数在第一象限内图象上的一动点，且点E在直线的右侧，过点E作轴，垂足为F，当和相似时，求动点E的坐标．

7 . 如图，在矩形中，，动点P从点D出发，沿射线以每秒1个单位的速度向点A方向运动，连接，把沿翻折，得到．设点P的运动时间为．

(1)若，当P，E，B三点在同一直线上时，求t的值；
(2)若点E到直线的距离等于1，求t的值；
(3)若的最小值为1，直接写出m值．

8 . 如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒．

（1）在运动过程中，当______秒时，；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，已知等腰，，，直线绕点A旋转，得直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，交直线于点F，连接．

（1）如图1，直接写出线段，，之间的数量关系？不用说明理由：
（2）当直线旋转到如图2位置时，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）若，当时，直接写出线段的长？

10 . 操作探究：将两块相同的直角三角板（含有角）如图1摆放在直线上，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．设旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，如图2，当时，试判断和是否相等，并说明理由；
（2）若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．
①在三角板停止运动之前，求和的度数（用含t的代数式表示）；
②定义：能把一个角分成的两部分的直线叫做该角的三分线，当直线为的三分线时，求t的值．

1 . 如图，在长方形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接，，设点运动的时间为秒．

（1）求的长；
（2）若为直角三角形，求的值；
（3）若点在的垂直平分线上，求的长．

2 . 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）AC=　 　cm；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

3 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒．
（1）填空：AB＝　 　；
（2）当t为何值时，CP平分∠ACB；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

4 . 现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．

5 . 在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒/秒，当点运动到点时，停止运动，设点运动时间为秒．

（1）若分别是中点，求证：四边形始终是平行四边形（相遇时除外）．
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值．
（3）若点分别沿折线运动，且与以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．

6 . 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．
（1）如图1，若AD＝2、DE＝2，当时，求AG的长；
（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE之间有何等量关系？并利用图2加以证明．

7 . 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，NH⊥BC于H，求NH的最大值及此时点N的坐标．
（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

8 . 边长为4的正方形ABCD绕顶点A，按顺时针方向旋转至正方形，记旋转角为．

（1）如图1，当时，求弧的长度和线段AC扫过的扇形面积；
（2）如图2，当时，记BC与的交点为E，求线段的长度；
（3）如图3，在旋转过程中，若F为线段的中点，求线段DF长度的取值范围．

9 . 锐角中，BC=6，的面积为12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与公共部分的面积为y（y>0）．
（1）中，边BC上高AD= ；
（2）若PQ恰好落在边BC上时如（图1），求x的值；
（3）当PQ在外部时如（图2），求y关于x的函数关系式（写出x的范围）．

   

10 . 如图，在中，，，，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止．设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．
（1）当t为多少秒时，是直角三角形？
（2）当t为多少秒时，是等腰三角形？

1 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．

（1）求，的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把向上平移个单位长度，始终保持点的对应点在第二象限抛物线上，点，的对应点分别为，，若直线与的边有两个交点，求的取值范围；
（3）如图2，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，动点E从点D出发，以5cm/s的速度沿着射线DA运动，动点F同时从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点F运动到点B时，两点同时停止运动．

（1）设点E运动的时间为ts，当点E在线段AD上时，请用t的代数式表示AE＝         ；
（2）当t＝s时，
①求证：；
②求证：∽；
（3）是否存在某一时刻，使得△AEF与△DEC相似？如果存在，请直接写出此时t的值．