实验操作类 - 初中数学 - 适中

1 . 操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：

(1)如图②，当点在上时，求证：.
(2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.

2 . 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

（1）当时，＝          ．
（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

3 . 综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为                ．

4 . 【综合与探究】
【实践操作】三角尺中的数学
数学实践活动课上，“飞跃”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．
【问题发现】
（1）①填空：如图1，若，则的度数是_______，的度数是_______，的度数是_______．
②如图1，你发现与的大小有何关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，并选择其中一个说明理由．
【类比探究】
（2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否均成立？请说明理由．图1图2

5 . 阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，

   

以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是         ；
②的解集是        .
（2）求绝对值不等式的解集.
（3）直接写出不等式的解集是     ．

6 . 综合与实践
【提出问题】
在综合与实践活动中，同学们发现：可以将一张长方形硬纸片做成一个无盖长方体形盒子．那么，怎样制作的盒子的体积更大?
【实践尝试】
小深同学尝试在长为16，宽为12的长方形硬纸片的四个角处，各剪出一个边长相同的小正方形（如图1，阴影部分为小正方形），再沿虚线折叠、拼接，可得到如图2所示的无盖长方体盒子．
观察图形：
①完成下列表格：

小正方形边长	1	2	3	4	…
无盖长方体盒子底面积	140	96			…

②当小深同学所剪去的小正方形边长为3时，折成的无盖长方体盒子体积为_____；

【方案改进】
小圳同学认为小深同学的方法还可以再优化．利用同样的长方形硬纸片，小圳同学采用如图3剪切方法无损耗无重叠的拼接成如图4的无盖长方体盒子，则无盖长方体盒子的体积为_____．

7 . 操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作轴于点C，点C绕点P逆时针旋转得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．

(1)点经过T变换后得到的点Q的坐标为                    ；若点M经过T变换后得到点，则点M的坐标为                ．
(2)A是函数图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线交y轴于点D，求的面积与的面积之比．

8 . 定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．

(1)在三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，则∠A的取值范围为             ．
(2)如图①，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．求证：四边形ABCD为三等角四边形；
(3)如图②，三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，AD＝，DC＝7，则BC的长度为             ．

9 . 综合与实践
背景阅读   早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

10 . 有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（       ）
①方程的实数解为；
②；
③第2024项；
④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个．

A．4

B．3

C．2

D．1

1 . 如图，在中，，M是AC边上的一点，连接BM，作于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，以为邻边作，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；
（3）如图3，若M是AC的中点，以为邻边作，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．

2 . 喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为．

解决下面的问题：
（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数．

（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR₁折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR₁？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由．
（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR₁在同一条直线上，折痕记为BR₂（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR₂在同一条直线上，折痕记为BR₃；…以此类推．
①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）；
②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）．

3 . 综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，和是两个全等的直角三角形纸片，其中，，．
解决问题
（1）如图①，智慧小组将绕点顺时针旋转，发现当点恰好落在边上时，，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接，当C绕点继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；
探索发现
（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转，当三点共线时，求的长；
（4）在图①的基础上，写出一个边长比为的三角形（可添加字母）．

4 . 综合与实践：教材八年级下册的数学活动—折纸，引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开；连接．

（1）如图①，直线________（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线；请判断图中是什么特殊三角形？答：________；进一步计算出________；
（2）如图②，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形；
（3）如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段的长度有，，，．请直接写出以上个数值中你认为正确的数值．

5 . 将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．

（1）试确定三角板ABC的面积；
（2）求平移前AB边所在直线的解析式；
（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．

6 . 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，为格点，为小正方形边的中点.

（1）的长等于_________；
（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.

7 . 阅读材料
如图1，三角形中，，三角形的面积为10，为底边上一点，，，垂足分别为，．易证．解题过程如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∵．
∴

∴．
结论：过等腰三角形底边上的一点作两腰的高，两条高线之和等于等腰三角形面积的2倍再除以腰长．

类比探究
如图2，在边长为5的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于．

①填空：
对角线的长是_________；菱形的面积是_________．
②探究：
如图2，当点在对角线上运动时，求的值；
③拓展：
当点在对角线和的延长线上时，请直接写出，之间的数量关系．

8 . 综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．

操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是       ，CF=        ；   
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是       ，CF=        ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．

9 . 在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（       ）

A．1种

B．2种

C．3种

D．4种

10 . 如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l₁，l₂，过点（1，0）作x轴的垂线交l₂于点A₁，过点A₁作y轴的垂线交l₂于点A₂，过点A₂作x轴的垂线交l₂于点A₃，过点A₃作y轴的垂线交l₂于点A₄，…依次进行下去，则点A₂₀₁₇的坐标为_________________．

   

1 . 阅读：顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．八（1）班的宣传小组A、B、C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形．
A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形．
B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形．
C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形．（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）
（一）操作与画图．
1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是_______．
2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）．
3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置．

（二）证明与计算
1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形．
2．已知矩形，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱形的面积最大值是________．
（三）拓展与应用
如图，矩形的最大内接菱形的面积是矩形面积的，则________．

2 . 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数__度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度______．

3 . 数学实验室：

制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．
探索研究：
（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；
数学思考：
（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．

4 . 舍利生生塔位于晋祠南端，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开4门8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：

课题	测量舍利生生塔高
测量示意图		说明：某同学在地面上选择点C，使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AHE＝α，沿CB方向前进到点D，测量出C，D之间的距离CD＝xm，在点D使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AFE＝β
测量数据	α的度数	β的度数	CD的长度	该同学眼睛离地面的距离HC
	24°	37°	32m	1.76m
…	…

（1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高AB．（结果精确到1m；参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）

5 . 一副三角板直角顶点重合于点，，，．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若,,则 度；
（3）如图（3），在（1）的条件下，与相交于点，连接，，若，，，求的面积．

6 . 【变式训练】
综合与实践：制作无盖盒子.
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）.

（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
（2）请求出这块矩形纸板的长和宽.
任务二：图2是一个高为的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形中，，，，.

（1）试判断图3中与的数量关系，并加以证明；
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少厘米？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）.

7 . 如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为；再将边斜向下对折，使点落在上，记为，折痕为，，，则矩形纸片的面积为__________.

8 . 综合与实践
问题情境
综合与实践课上，老师让同学们以“折纸”为主题开展数学活动．如图1，有一张长为4，宽为3的矩形纸片（）．
操作发现
（1）快乐小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠，使得点落在点处，得到图2，他们发现，请你证明这个结论；
（2）创新小组将图2中的矩形纸片展开后继续折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕为，得到图3，则折痕__________；
实践探究
（3）前进小组在创新小组的操作基础上，将图3中的纸片展开，再将矩形纸片沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，然后将纸片展平．如图4所示，折痕交于点，交于点，试判断的形状并证明你的结论．

9 . 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝||的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：
（1）请直接写出表中m，n的值，并在图中补全该函数图象；

x	⋯	﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1		3	4	5	6	7	⋯
y＝||	⋯				m		0	2	6	6	n		3		⋯

（2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

10 . 折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形和；
第三步，如图3，折出矩形的对角线，并把折到图中所示的处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点折出，得矩形.则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 【变式训练】
如图1，矩形纸片的边长分别为，点、分别为边、上两点（点、除外），连结.

（1）如图2，分别沿、将两侧纸片折叠，使点、分别落在上的、处，直接写出与的位置关系；
（2）如图3，当时，仍按问题（1）中的方式折叠，请求出四边形与四边形的周长（用含的代数式表示），并判断四边形与四边形周长之间的数量关系；
（3）如图4，若对角线与交于点，分别沿、将两侧纸片折叠，折叠后，点、恰好都落在点处，并且得到的四边形是菱形，请你探索、之间的数量关系；
（4）在问题（3）情况下，当时，求菱形的面积.

2 . 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．

已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线，使直线直线．
作法：如图，

①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．

3 . 操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：
（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：
（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．
①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；
③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q₁为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q₁的落点为Q₂这样为一次变换： Q₃为Q₂的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q₃的落点为Q₄这样为二次变换： Q₅为Q₄的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q₅，Q₆，Q₇．．．．Q_n，若P与Q_n．两点间的距离是4，直接写出n的值．

   

4 . 如图（1），有、、三种不同型号的卡片若干张，其中型是边长为的正方形，型是长为、宽为的长方形，型是边长为的正方形．

（1）若用型卡片张，型卡片张，型卡片张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为_______，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：_________；
（2）若要拼一个长为，宽为的长方形，设需要类卡片张，类卡片张，类卡片张，则_______；
（3）现有型卡片张，型卡片张，型卡片张，从这张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．

5 . 【变式训练】
（1）阅读材料：
如图1，把5个边长为1的小正方形纸板组成的十字形剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形.小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为______，故沿虚线剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图.

（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板，沿中位线剪掉，请把纸板剩下的部分剪成3块，使剪成的3块能够拼成一个新的正三角形.

①拼成的正三角形边长为______；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图.
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中，延长、分别与、交于点、，点、分别为、的中点，在线段和处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度，（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

6 . （1）如图1，矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成．请你剪两刀后拼成一个与矩形ABCD面积相等的正方形．
（2）如图2，矩形EFGH的长FG为6，宽EF为4，用剪刀剪两次，然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形，画出裁剪线及拼接后的图形，简要说明裁剪线是如何确定的．如果你没有想到好方法，不用急，请沉着应对．细读下列数学事实或许对你解决有帮助．
（3）如图3，在⊙O中，MN为直径，PQ⊥MN，垂足为点Q，交⊙O于点P，连结PM、PN．易证明PQ²＝MQ•NQ．此结论可直接运用．

7 . 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的各个顶点均在格点处，且是由以网格中的某个格点为旋转中心，逆时针旋转得到的，点的对应点分别为点，，，则在旋转过程中，点经过的路径长为_______．
   

8 . 已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．
（1）图形①中∠B=　，图形②中∠E=　；
（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片 张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）

9 . 菱形ABCD中，AB=8,∠B=120°，沿过菱形不同的顶点裁剪两次，再将所裁下的图形拼接，若恰好能无缝，无重叠的拼接成一个矩形，则所得矩形的对角线长为_____．

10 . 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部可分以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，且所拼成图形的顶点均落在格点上，请在下面的菱形斜网格中画出示意图（每部分图注明①、②）．

1 . 操作示例
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，沿虚线BD、EG剪开后，可以按图1所示的移动方式拼接为四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；
②S_{正方形ABCD}＋S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}．
实践与探究
(1)对于边长分别为a，b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N．
①证明：四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法(类比图1，用数字表示对应的图形)；

(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．