开放探究 - 初中数学 - 困难

1 . 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

2 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

3 . （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．

①的度数为______；
②线段、之间的数量关系为______．
（2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．

4 . 阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

   

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

   

5 . （1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．．
．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：         ．
（2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系．
（3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数．

6 . 已知，为两直线间的一点．

(1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数；
(2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？
(3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？

7 . 问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，．

(1)①判断与的数量关系：_____；
②推断：_____（填数值）；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

8 . 已知，点为直线上一点，，是的平分线．

（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，是的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）

9 . 在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．

（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）

10 . 综合与实践

【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F．
【问题解决】（1）当，
①如图2，当点与点D重合时，求的长；
②如图3，若，求的长；
【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行；
【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系．

1 . 综合与探究
问题情境：

如图1，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到．
尝试初探：
（1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图2，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由，
通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题．
迁移应用：
（2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值．

2 . 综合与探究
问题情境
如图1，在正方形中， ，点E为线段 上的一个动点，连接 ，以 为边，在 右上方作正方形，连接 ．

(1)猜想与 的数量关系，并说明理由．
猜想证明
(2)如图2，在图1的基础上连接 ， 交于点H，连接 ．猜想的形状，并说明理由．
拓展延伸
(3)若点E为射线 上的一个动点，连接 与射线 交于点H，连接，其他条件不变．当点H落在的平分线上时，请直接写出的值．

3 . “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题：
(1)问题一：．则A=______，B=______；
(2)计算：；
(3)问题二：已知，则P=_____，Q=______；
(4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．

4 . 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系       ；
②如图3，当时，则长为          ．
【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

5 . 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．

6 . 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________．

7 . 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

8 . （1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．

9 . 操作探究题
(1)已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？

探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

10 . 等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO；
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标；
（3）如图3，点C（0，3），Q，A两点均在轴上，且S_△CQA＝18．分别以AC，CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

   

1 . 【问题提出】
（1）如图①，已知与直线相离，过作于点，，的半径为，则圆上一点到直线的距离的最小值是______；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，，，请你过点画出将四边形面积等分的线段，并求出的长．
【问题解决】
（3）如图③所示，是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图，，，，，点为的中点，所对的圆心角为．管理人员想在上确定一点，在四边形区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过点修建一条小路，把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．

2 . 【发现问题】
(1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是                      ．
(2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是             ．
【探究拓展】
(3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系．

3 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

   

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．

4 . 如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点0，且，，求的度数．

       

5 . 如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　      　，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为　      　．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝　 　．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

6 . △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．

7 . 如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．

(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明；
(3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

8 . 【经典再现】
人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．
求证：．（提示：取的中点，连接．）
（1）请你写出证明过程；
【类比探究】
（2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
【综合应用】
（3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长．

9 . （1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　；
（2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　．

10 . 结合图形，解决问题

(1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：．
【深度探究】
(2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点．
①如图2，若，，，求的值；
②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）．

1 . 正方形和等腰共顶点D，，将绕点D逆时针旋转一周．

(1)如图1，当点F与点C重合时，若，求的长；
(2)如图2，M为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）条件下，连接并延长交于点Q，若，在旋转过程中，的最小值为           ．

2 . 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．
（1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长．

3 . 如图1，在中，，平分，，延长使得，连接．

(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：为等腰直角三角形；
②试探究：的数量关系，并证明．

4 . 【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为　 　，AC长等于　 　；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点　 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系：　 　．

   

5 . 如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________．

6 . 已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为_______．

7 . 问题提出
（1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点，连接，，则______．（填写“＞”“＜”或“＝”）
问题探究
（2）如图②，四边形中，，，，，，在边上，是否存在一点，使得的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一长为2米的移动耙从地面上的点处沿方向飞行，在距点水平方向60米的处上方，建有一射击台点（设计台的大小忽略不计），米，当最大时更容易击中靶子，请求出此时的长及的值．

8 . 问题情境
如图1，四边形是菱形，过点作于点，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．
猜想证明
（1）如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
深入探究
（2）当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点，直线与线段交于点．若，求四边形的面积．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．

(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．

1 . 等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．

   

(1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______；
(2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．

2 . 【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a₁x  c₁a₂x  c₂  a₁a₂x² a₁c₂x  a₂c₁x  c₁c₂ a₁a x²a₁c₂ a₂c₁ x  c₁c₂．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a₁， a₂， c₁， c₂如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax₂+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a₁x  c₁a₂ x  c₂ ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a₂ ， c₂位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x  2)(x  3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：=          ．

【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）=          ；
（2）=          ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式=          ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．

3 . 如图1，在内部作射线，，在左侧，且．

(1)图1中，若，平分，平分，则______°；
(2)如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．

4 . 【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，
求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，，若，，，求的长．

       

5 . 如图，E是直线AB，CD内部一点， CD，连接EA，ED．

(1)猜想．
①若∠EAB＝30°，∠EDC＝40°，则∠AED＝______；
②若∠EAB＝20°，∠EDC＝60°，则∠AED＝______；
③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并说明理由；
(2)应用．
如图，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域内的点，直接写出∠PEB，∠PFC，∠EPF之间的数量关系．

6 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

   

（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．

   

7 . 如图，在平面直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．

   

(1)求A,B两点的坐标：
(2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值：
(3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化?请说明理由．

8 . 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______．
（2）数轴上表示和－2的两点之间的距离表示为______；
（3）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在-2与3之间移动时，的值总是一个固定的值为：______．
②请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由．

   

9 . 新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”．

【初步感知】
(1)如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是        ，三条线段的数量关系为_____．
【实践解决】
(2)如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积．
小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积．
【拓展应用】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

10 . 【问题解决】
（1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角；
【拓展延伸】
（2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：；
【操作探究】
（3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系．

1 . 综合与实践
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．

特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______．
类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．

（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

3 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

   

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

4 . 【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN∥BC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使∠BDP＝∠BAC，试说明：DB＝DP．
小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．

【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程．
②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．
【拓展】如图3，过点A的直线MN∥BC， AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．

5 . 【问题情境】
如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
【问题解决】
小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是　 　（填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为　 　．

6 . 已知，且满足，过A作轴，垂足为B．

(1)求A点坐标．
(2)如图1，分别以为边作等边和，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2，过A作轴，垂足为E，点分别为线段上的两个动点（不与端点重合），满足，设，试探究的值是否为定值？如果是，求此定值；如果不是，请说明理由．

7 . 如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

9 . 在▱中，，平分，交对角线于点G，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得线段．
（1）如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点B作于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）当时，连接，若，请直接写出与面积的比值．

10 . 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（）	面数（）	棱数（）
四面体		4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12

你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．

1 . 思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米．

思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC²的值．

2 . 已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β
（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

3 . 在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．
下列说法正确的是（       ）

A．甲、乙、丙都对

B．只有乙对

C．只有甲不对

D．甲、乙、丙都不对

4 . 在中，．

（1）如图1、求证：：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积

5 . 综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α=       时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

6 . 问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断 BM、MN、ND之间的数量关系．
（1）研究发现

如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为　 （直接写出结果，不用证明）
（2）类比引申
如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF＝5，DF＝4．求BE的长．
（3）拓展提升
如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．

7 . 如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（﹣3，0），D为x轴上的一个动点且不与B，O重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，使得AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交y轴于点M．
（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，
①若D点的坐标为（﹣5，0），求点E的坐标．
②求证：M为BE的中点．
③探究：若在点D运动的过程中，的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）请直接写出三条线段AO，DO，AM之间的数量关系（不需要说明理由）．

   

8 . 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a²+b²＝c²；
（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；
（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．

9 . 在中，是的中点，以为腰向外作等腰直角，即 ，连接，交于点，连接．
如图1，若，求的度数．

   

在的条件下，写出与三条线段之间的等量关系，并说明理由．
若是钝角时，交延长线于，连接如图2所示：

   

①探究图2中的形状，并说明理由．
②若，求的面积．

10 . 问题探究：如图1，在中，点是的中点，交于点交于，连接．

（1）与之间的关系为：___；（填“”、“”或“”)
（2）若，探索线段之间的等量关系，并加以证明．
（3）问题解决:如图2．在四边形中， 以为顶点作的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明．

1 . 如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．

（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．

2 . 如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).   

（1）图2中的阴影部分面积为：     ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）²、 (a-b)²、 ab之间的等量关系是     ；
（3）利用(2）中的结论，若x+y=5 ，xy=，求(x-y)²的值      ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 　 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正 方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S₁，当BC=2时，△BEG的面积记为S₂，......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为S_n，则S_2020-S₂₀₁₉的值为 　．

3 . 如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B、C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为　 　，此时AE与BF的数量关系是　 　；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．

4 . 对于平面直角坐标系xOy中的图形W₁和图形W₂．给出如下定义：在图形W₁上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W₂上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W₁和图形W₂满足限距关系
(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范围是_____；
②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；
   
(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

5 . 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．
例如：①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：或；
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
(1)若是完全平方式，请写出所有满足条件的不同单项式n：__________________
(2)求代数式最小值；
(3)写出代数式的两种不同形式的配方；
(4)已知，求的值．

6 . 如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．
(1)已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；
(2)求证： FH平分∠GFD．
(3)在(1)的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行?

                          

7 . 已知，点为平面内一点，于．

（1）如图1，过点作于点，与有何数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）问的条件下，点，在上，连接，，，若平分，平分，，，求的度数．

8 . 若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC＝∠BOC时，我们称OC是【OA，OB】的“和谐线”，但OC不是【OB，OA】的“和谐线”．
（1）如图①，已知OM⊥ON，射线OG是ON的反向延长线，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线　 　是【OM，ON】的“和谐线”；
（2）如图②，若∠AOB=60°，OC是【OA，OB】的“和谐线”，则∠BOC=　 　°．
（3）如图③，若∠AOB=60°，射线OP，OQ同时从OB开始，分别以每秒10°和每秒6°的速度按逆时针方向绕点O旋转．求射线OP成为两条射线OA和OQ的“和谐线”时，射线OP旋转的时间t的值．（0＜t＜18）

9 . 阅读下列材料：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，由2，3互质，可知：为3的倍数，将，代入得．所以的一组正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解_______；
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有（       ）个．
A.5       B.6       C.7       D.8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．

10 . （1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．
（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论                      ．
（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为              ．

1 . 如图1，在中，平分，平分．
(1)若，则的度数为______；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若，求的度数(用含的代数式表示)；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变，求出的度数(用含的代数式表示)，若改变，请说明理由：
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系(用含的代数式表示)．

2 . 【阅读材料】
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．

3 . 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交于点，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是平行四边形；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；
（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．

4 . 问题提出
（1）如图①，在中，，，，则的面积为________．
问题探究
（2）如图②，已知矩形，，，点是矩形内一点，的面积为矩形面积的，且，求满足条件的点到点的距离．
问题解决
（3）陕西省汉中市留坝县地处秦岭南麓腹地，凭借着森林覆盖率高、平均气温低等特点，吸引着众多游客前来度假避暑．如图③，某开发商计划修建一个四边形度假山庄，根据设计要求：，，，，为了丰富游客的游玩体验，要求度假山庄的面积尽可能的大，请问是否存在符合设计要求的最大面积的度假山庄？若存在，求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．

5 . （1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________；

   

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上）过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；

   

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为．根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

6 . 如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：

（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）

7 . 学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．
（1）请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；
（2）如图④，等边△ABC边长AB＝4，点O为它的外心，点M、N分别为边AB、BC上的动点（不与端点重合），且∠MON＝120°，若四边形BMON的面积为s，它的周长记为l，求最小值；
（3）如图⑤，等边△ABC的边长AB＝4，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，请用含x的代数式表示△BDQ的面积S_△BDQ．

8 . 【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．
（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是         ；
【拓展延伸】
（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】

（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）

9 . 请按照研究问题的步骤依次完成任务．
【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
   
【简单应用】
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为 ；
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为      （用x、y表示∠P） ；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论 ．

10 . 问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板中，，长方形中，．
问题初探：

（1）如图（1），若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作，则有，从而得，从而可以求得的度数．
由分析得，请你直接写出：的度数为____________，的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系，并说明理由．

1 . 综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．
如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：
①CD＝ ；
②△A′BC的面积为 ；
拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．
（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为 ．
②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 ．

2 . 【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

3 . 综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值　 　．

4 . 问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③

5 . 问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD．AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

6 . 在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．

(1)求圆心C的坐标与抛物线的解析式；
(2)判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；
(3)若点M，N是直线y轴上的两个动点（点M在点N的上方），且MN＝1，请直接写出的四边形EAMN周长的最小值．

7 . 如图①，在中，为边上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．
【观察猜想】
（1）①的数量关系是___________
②的数量关系是______________
【类比探究】
（2）将图①中绕点逆时针旋转，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展迁移】
（3）将绕点旋转任意角度，若，请直接写出点在同一直线上时的长．

8 . 【教材呈现】
（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）
①求证：AE²＝DE•BE；
②求BE•CD的值；
【拓展探究】
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值．

9 . 如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB.
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝∠AOC，∠PCE＝∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．

   

10 . 如图l，在正方形ABCD中，AB=8，点E在AC上，且，过点作于点，交于点，连接，．

【问题发现】
（1）线段与的数量关系是________，直线与所夹锐角的度数是___________；
【拓展探究】
（2）当绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点到直线的距离为2时，请直接写出的长．

1 . 点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点（不与点B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接 DF交CG于点H．

(1)发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是______

(2)探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

(3)拓展
在（2）的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD＝3，AB＝4，请直接写出线段EF的值

2 . 【认识新知】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
【性质探究】（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，．
若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，则________；________；
求证：；
【解决问题】（3）如图3，中，，且，且，连结CE、BG、则________．
   

3 . 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．

(1)如图1，⊙O中的弦P₁P₂、P₃P₄是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P₁，P₂，P₃，P₄中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
(2)若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为_____；
(3)如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是_____；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
〖初步探究〗
（1）点B的坐标为      ；
（2）点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第二象限时，连接BP，求证：；
〖深入探究〗
（3）当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；
〖拓展应用〗
（4）点C在y轴上移动过程中，当OP=OB时，点C的坐标为      ．

5 . 已知，二次函数y＝﹣x²＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax²＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．
（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T₁（，1），T₂（﹣1，），T₃（，﹣1），T₄（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点　 　；
（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）直线y＝x＋3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t＋b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．

7 . 学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：

（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．

8 . 成都市的水费实行下表的收费方式：

每月用水量	单价
不超出（包括）	2元/
超出但不超出（包括）的部分	3元/
超出的部分	4元/

（1）周老师家九月份用了的水，应付多少水费？
（2）如果李老师家九月份的用水量为，那么应付的水费为多少元？
（3）如果曹老师家九月和十月一共用了的水，且已知九月比十月少，设九月用水量为，那么曹老师这两个月一共要交多少钱的水费？（可用含的代数式表示）

9 . 如图ABCD，点A，E，C不在同一条直线上．

（1）如图1，求证：∠E＋∠C﹣∠A＝180°；
（2）如图2，直线FA，CP交于点P，且∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCP．
①探究∠E与∠APC的数量关系；
②如图3，延长CE交直线PF于点Q，若AEPC，∠BAQ＝α（0°＜α＜45°），直接写出∠PQC的度数（用含α的式子表示）．

10 . 如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM 平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM =∠FME ．

（1）若2∠AEF = ∠MFE，求∠AEF的度数．
（2）如图2，点G是射线 MD 上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN ⊥EM 于点N，设∠EHN =α，∠EGF = β．
①当点G在点F的右侧时，若β= 50°，求α的度数；
②当点G 在运动过程中，α 和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

1 . 已知点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；再将线段终点逆时针旋转，得到线段；连接，取中点，连接，．
（1）当．

①如图1，点为中点时，补全图形，直接写出线段与的位置关系______．数量关系______．
②如图2，当点不为中点时，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．
（2）如图3，当，点为中点时，直接写出线段，，的数量关系______．

2 . 知识储备
如图①，点E、F分别是y＝3和y＝﹣1上的动点，则EF的最小值是　 ；
方法储备
直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了《坐标与位置）后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的一种证明方法．如图②，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，DE称为△ABC的中位线，则DE∥BC且DE＝BC．该数学小组建立如图③的直角坐标系，设点A（a，b），点C （0，c）（c＞0）．请你利用该数学学习小组的思路证明DE∥BC且DE＝BC．（提示：中点坐标公式，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B中点坐标为（，）．

综合应用
结合上述知识和方法解决问题，如图④，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，延长AC至点 D．DE⊥AD，连接EC并延长交AB边于点F．若2CD+DE＝6，则EF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知：和同一平面内的点．
（1）如图1，点在边上，过作交于，交于．根据题意，在图1中补全图形，请写出与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点在的延长线上，，．请判断与的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，点是外部的一个动点．过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系，并在图3中补全图形．

4 . 如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．

   

（1）点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）直接写出点的坐标______，并求出直线的函数关系式；
（3）若点是图1中直线上的一点，连接OP，得到图当点在第二象限，且到轴，轴的距离相等时，求出的面积；
（4）若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点，当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标．

5 . 在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，BP平分∠ABO．
（1）如图1，点T在BA延长线上，若AP平分∠TAO，求∠P的度数；
（2）如图2，点C为x轴正半轴上一点，∠ABC＝2∠ACB，且P在AC的垂直平分线上．
①求证：APBC；
②D是AB上一点，E是x轴正半轴上一点，连接AE交DP于H．当∠DHE与∠ABE满足什么数量关系时，DP＝AE．给出结论并说明理由．

6 . 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一动点，连接CD，并将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE、DE，点F为DE中点，连接BF．
（1）求证：△ACD△BCE；
（2）如图2所示，在点D的运动过程中，当时（n＞1），分别延长AC、BF相交于G：
①当时，求CG与AB的数量关系；
②当＝n时（n＞1），＝　 　．
（3）当点D运动时，在线段CD上存在一点M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，则BE＝　 　．

7 . 在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”
（1）已知点，
①在点，，中，点关于点的“折转点”是______；
②点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；
（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围．

8 . 在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点的方法画函数图象．已知函数，探究函数的表达式、图象和性质、解决问题的过程如下：
（1）下表是与的几组值，则函数表达式中的_______，表格中的______

						0	1	2	3	4	5	6	…
				8	6	3		4		3		0	…

（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象：
（3）观察函数的图象，请描述该函数（当时）的一条性质：____________．
（4）若直线（为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为_________．

9 . 如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），连接BF．
（1）如图1，当点E与点D重合时，BF的长为　 　；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE＝1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N．）
（3）当点E在直线AD上时，若AE＝4，请直接写出BF的长．

10 . 问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　．
(2)自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

1 . 如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．
（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：
（3）当a=8时，
①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；
②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．

2 . 钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）²＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k＝．


（1）若点A（1，1），B（2，3），则△OAB投影比k的值为　 ；
（2）若点M（﹣2，0），点N（2，1）且△MNP投影比k＝，则点P的坐标可能是　 （填写序号）；
①（﹣1，3）；②（2，﹣2）；③（3，3）；④（0，2）．
（3）已知点C（4，0），在函数y＝2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k＝3，求点D的坐标．

4 . （1）填空

①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______．
（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数；
②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系．

5 . 【问题探究】
（1）如图1，在等边中，，点D是线段BC上的一点，，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．求的长；
【拓展应用】
（2）如图2是一圆形景观区示意图，的半径为800米，计划搭建一个三角形舞台，点A、B在上，点C在内，，，点O为景区中心，按照设计要求，现要沿修建笔直的步行景观道，修建步行景观道的成本为200元，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，即的值最小，试求修建步行景观道的最小成本．

6 . 几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，以面积早就成为人们认识图形性质与几何证明的有效工具，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
（1）方法1：如图①，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．请直接写出S_{四边形ABCD}和之间的关系：_______________．

方法2：如图②，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）请直接写出S_{四边形ABCD}与之间的关系：_____________．
方法3：如图③，取四边形四边的中点，，，，连接，交于点．先将四边形绕点旋转得到四边形，易得点，，在同一直线上；再将四边形绕点旋转得到四边形，易得点，，在同一直线上；最后将四边形沿方向平移，使点与点重合，得到四边形；
（4）由旋转、平移可得_________，_________，所以，所以点，，在同一直线上，同理，点，，也在同一点线上，所以我们拼接成的图形是一个四边形．
（5）求证：四边形是平行四边形．

（注意：请考生在下面2题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）
（6）应用1：如图④，在四边形中，对角线与交于点，，，，则S_{四边形ABCD}=            ．

（7）应用2：如图⑤，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，连接，交于点，，，，则S_{四边形ABCD}=___________

7 . 【实践发现】
对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连结，如图①．

(1)折痕______（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线；请判断图中是什么特殊三角形？答：_______；进一步计算出______；
(2)继续折叠纸片，使点A落在边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，如图②，则______；
【拓展延伸】
(3)如图，折叠矩形纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展平，连结交于点O，连结．
求证：四边形是菱形；
【解决问题】
(4)如图④，矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段的长度有1，4，7，11．请写出以上4个数值中你认为正确的数值为______．

8 . 综合与探究：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．

（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B=20º， ∠C=70º，则∠CAD=_______º， ∠DAE=_____º；
②若∠B=40º，∠C=80ºº，则∠DAE=_____º；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？

9 . （1）[问题发现]
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为 　 　；
（2）[拓展研究]
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；
（3）[问题发现]
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

10 . 在梯形中，．过点D作交边于点E，过点A作交边于点F，交射线于点P．

（1）如图，当点F与点E重合时，求边的长；
（2）如图，当点P在梯形内部时，设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结，当时，求边的长．

1 . 【实践探究】
如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，你能说明这是为什么吗？
【拓展提升】
如图②，在四边形中，，，连接．若，求四边线的面积．

2 . 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫微黄金矩形．它给我们以协调谓匀称的美．
如希腊的巴特农神庙等．下面我们折叠出一个矩形：
第一步，在一张宽为2的矩形纸片一端，用下图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如下图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到下图中所示的处．

第四步，展平纸片，按照所得的点D处折出，得到矩形．
(1)证明矩形（下图）是黄金矩形．

(2)定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．证明：直线是矩形的黄金分割线；
(3)下图中，以C为原点，、所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直接写出中经过点C的“黄金分割线”的解析式．（不要求写过程）

3 . （1）问题提出
如图，在等腰中，，，，则的外接圆半径是______ ．

   

（2）问题探究
如图，在中，，的面积是，求长的最小值．

   

（3）问题解决
西安国际港务区铁一中陆港中学学生在数学探究课实践课中，一个小组的活动过程是把一副三角板如图摆放，画出几何图形，，，作交于点、是和上的动点，连接、分别交于点、且，为了探究图形的一般性，线段长度可以任意赋值，若，则阴影部分的面积有没有最大值？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，请说明理由．

   

4 . 如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

                       

5 . 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE=PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系．
（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．
②图2，试用等式来表示PB、BC、CE之间的数量关系，并证明．

6 . 在中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连结NB．
【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．
【探究】（1）如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连结MC，【感知】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
【拓展】（2）如图③，在中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连结DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连结EQ，则EQ的最小值为 ．

7 . 如图①，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段与的数量关系是_____________，用含的代数式表示的度数是________________________；
（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图②的位置，连接，，，当时，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内任意旋转，若，，，请直接写出线段的最大值和最小值．

8 . 问题情境：
如图，在平面直角坐标系中有三点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），小明在学习中发现，当x₁=x₂，AB∥y轴，线段AB的长度为|y₁﹣y₂|；当y₁=y₃，AC∥x轴，线段AC的长度为|x₁﹣x₃|．
初步应用
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥　　　　轴（填“x”或“y”）；
（2）若点C（1，﹣2），CD∥y轴，且点D在x轴上，则CD=　　　　；
（3）若点E（﹣3，2），点F（t，﹣4），且EF∥y轴，t=　　　　；
拓展探索：
已知P（3，﹣3），PQ∥y轴．
（1）若三角形OPQ的面积为3，求满足条件的点Q的坐标．
（2）若PQ=a，将点Q向右平移b个单位长度到达点M，已知点M在第一象限角平分线上，请直接写出a，b之间满足的关系．

   

9 . 如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过，，三点的交直线于点，连结，，，设．

（1）当时，求的长．
（2）在点的整个运动过程中．
①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围；
②当矩形恰好有个顶点落在上时，求的值．
（3）若点，关于点成中心对称，连结，．当是等腰三角形时，求出所有符合条件的的值．（直接写出答案即可）

10 . 在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．
已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝　 　°，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变　 　（填“大”或“小”）．
（2）合作交流
当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．
（3）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．

1 . （1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上）
（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数．
①图中框出的这16个数的和是__________；
②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

2 . 如图，在四边形中，已知，，且．

   

(1)填空：_____，______，_______；
(2)点为射线上一任意一点，连接，作的平分线，交射线于点，作的平分线，交直线于点，请探究射线与之间的位置关系，并加以证明；
(3)连接，若恰好平分，则在（2）问的条件下，是否存在角度，使得当时，有（其中为不超过10的正整数）？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

　　　　　　

【探究1】：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90º+∠A，（请补齐空白处）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180º－∠A）=90º－∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+∠A．
【探究2】：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
【应用】：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则∠E=_______；
【拓展】：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO=______．

4 . 如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0°<α<90°)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．

   

（1）①依题意补全图形；
②求∠BPC的度数；
（2）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明；
（3）若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数．

5 . 数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题．

方法探究：
(1)如图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来．
图中①：______；
图中②：______；
图中③：______．
综合运用：
(2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：______．
类比迁移：
(3)若，求的值．

6 . 如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为．
（1）求点坐标；
（2）若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式；
（3）点是直线与直线l的交点，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．

7 . 如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．
（1）观察猜想
在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是________，∠MAE=________；
（2）探究证明
将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展应用
若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=CD时，请直接写出α的值．

8 . 如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，对称轴与轴相交于点．

（1）直接写出的值__________；
（2）点在射线上，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，求点的坐标；
（3）点在线段下方的抛物线上，当为锐角三角形时，求点横坐标的取值范围．

10 . （1）认识模型：
如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于．若．则______．
（2）应用模型：
①已知直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线垂直于，且，求点的坐标；
②如图3，矩形，为坐标原点，的坐标为（5，4），，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标．

1 . 问题：如图1，在中，，点是射线上任意一点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________

当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明
当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．

2 . 问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

             

问题解决：
如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，直线y＝kx+b与x轴和y轴交于A、B两点，AB＝4，∠BAO＝45°．

（1）如图1，求直线AB的解析式．
（2）如图1，直线y＝2x﹣2交x轴于点E．且P为该直线在直线AB上方一动点，当△PAB的面积等于10时，将线段PE沿着x轴平移得到线段P₁E₁，连接OP₁．求OP₁+P₁E₁+的最小值．
（3）如图2，在（2）问的条件下，若直线y＝2x﹣2与y轴的交点是C，连接CE₁，得到△OCE₁，将△OCE₁绕着原点O逆时针旋转α°（0＜α＜180），旋转过程中直线OC与直线AB交于点M，直线CE₁与直线AB交于点N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出α的值．

4 . 已知为正整数．
（1）证明：不能表示为两个以上连续整数的乘积；
（2）若能表示为两个连续整数的乘积，求的最大值．

5 . 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．

6 . 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：
（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
类比探究：
（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由．
灵活运用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．

7 . 综合与实践
问题情境
在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，
MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．

       

观察发现
（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是      ；
（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；
实践探究
（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：
在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是      ；
在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是      ；

   

提出问题
（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.

8 . 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形
（1）概念理解
①根据上述定义举一个等补四边形的例子：
②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形
（2）性质探究：
③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD　 　∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；
④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：　 　
（3）问题解决
在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．

9 . 已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以
AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
⑴如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是_____．

   

1 . 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．
【操作感知】
（1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；
【初步探究】
（2）求证：CD²+CE²＝4r²；
（3）当r＝8时，则CD²+CE²+FG²的最大值为　 　；
【深入研究】
（4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD²+CE²+FG²都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为　 　．

2 . 【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连结AC交DE于点H，求的值．

3 . 已知，如图1，直线l₂⊥l₁，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C不与点A重合，点D在直线1₁上，点A的右侧，过D作l₃⊥l₁，点E在直线l₃上，点D的下方．
（1）l₂与l₃的位置关系是　 　；
（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝　 　°，∠ADC＝　 　°；
（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；
（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．

4 . [探索规律]
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、 BC、 AC上，且DF//BC，EF//AB．设△ADF的边DF上的高为h₁，△EFC的边CE上的高为h₂．

(1)若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则=______；
(2)某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S₁、 S₂、S， EC的长为a，则S₂=______ (用含a和h₂的式子表示)；S₁=_____ (用含a、h₁和h₂的式子表示)；S=______(用含a、h₁的式子表示)；从而得出S=2．
[解决问题]
(3)如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG．若△ADE、△DBF．△EGC的面积分别为2、3、 5，求△ABC的面积．

5 . 教材呈现：如图是华师版九年级上册第64页的课后习题．

如图，在中，点是边的四等分点，，，，．求四边形的周长．

（1）请完成该题目（补充说明：题目中的点是边靠近点的四等分点）．
（2）小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出的问题．

①小明提出的问题是：如图①，在中，点是边靠近点的四等分点，，．当四边形为菱形时，求与的数量关系？
②小静提出的问题是：如图②，在中，点是边靠近点的四等分点，，，，．则四边形面积的最大值是___________．

6 . 如图，在中，，，

（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．
（i）若，求证：垂直平分；
（ii）若,求证：．
（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
（3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）

7 . 如图1，在菱形ABCD中，，点E，F分别是AC，AB上的点，且，猜想：

　　

①的值是_______；
②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是_______．
（2）类比探究：如图2，将绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸：
在绕点A旋转的过程中，当三点共线时，请直接写出CF的长．

8 . 综合与实践．折纸是我们在研究轴对称问题时最常见的活动．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图1

（1）折痕直线BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；
拓展延伸：
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图2，则∠GBN＝　 　°；
解决问题：
（3）如图3，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．

9 . 已知O为坐标原点，抛物线y＝x²﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），有点C(﹣2，6)．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）若点D(1，﹣3)，点E在线段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延长ED交y轴于点F，求△EFO的面积．
（3）若M在直线AC上，点Q在抛物线上，是否存在点M和点N，使以Q，M，N，A为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出M点的坐标．若不存在，请说明理由．

10 . 问题：如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B．C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接EC．

          

（1）求证：；
（2）探索：如图2，在与中，，，，将绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论；
（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，，若，，求AD的长．

1 . 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）．

2 . 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】
(1)直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：        ；
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

3 . 如图，正方形和正方形有公共顶点．
（1）如图1，连接和，直接写出和的关系 ；
（2）如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，连接，请直接写出的取值范围： ．

4 . 已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.
(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；
(2)如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
(3)如图③，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)．

5 . 已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB．

   

（1）问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为　 ，BD，AB，CB之间的数量关系为　 　；
（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明．
（3）解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= 　 ．

6 . 如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=_____；当n=12时，p=_____．（参考数据：，）

7 . 综合与探究
（1）发现
如图1，是等边三角形，点在边上（不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、．

填空：
①的度数是______．
②线段、、之间的数量关系是________．
（2）探究
如图2，是等腰直角三角形，，，点在边上（不与、重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、．腾飞学习小组类比问题（1）猜出，请你帮助他们说明理由．

（3）应用
如图3，在中，，，，，请直接写出的长．

8 . 几何探究题

（1）发现：在平面内，若，，其中．
当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为 ；
当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为 ．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．
①证明：；
②若，，则线段BE长度的最大值为 ．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线AB外一动点，且，，．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

9 . 已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现
如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是_____，数量关系为_______；
（2）拓展探究
如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
（3）解决问题
如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．

10 . 综合与实践
在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α=∠ABC，得到PE，连接CE．

（1）如图1，当BA=BC，且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是         ，BC与CE的位置关系是           
（2）如图2，当BA=BC，且∠ABC=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）在（2）的条件下，若AB=8，AP=，请直接写出CE的长．

1 . 已知抛物线的顶点为点．
（1）求证：不论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线的对称轴为直线，求的值和点坐标；
（3）如图，直线与（2）中的抛物线并于两点，并与它的对称轴交于点，直线交直线于点，交抛物线于点．求当为何值时，以为顶点的四边形为平行四边形．
   

2 . 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)求出表中a，b的值，其中a＝______，b＝______．

x	…	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	…
y=	…			a		-3	0	3		b			…

(2)根据表中的数据，在图中补全该函数图象；
(3)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√” ，错误的在答题卡上相应的括号内打“× ”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．
(4)已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）

3 . 问题探究
（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC＝90°的所有点P；
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝9，BC＝10，在矩形ABCD内画出使∠BPC＝60°的所有点P，并求出△APD面积的最小值；
（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝km，BC＝6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积．若不存在，说明理由．
   

4 . 定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为1，0的点有          个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为p，q，且BOD  150，请写出p、q的关系式并证明；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为，且DOB  30，求OM的长．

   

5 . 已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：=；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

6 . 已知：点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt，．交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）初步发现：如图1，若，．求证：．
（2）深入探究：如图2，若，．DH与HF是否仍然相等？若相等，进行证明；若不相等，写出新的数量关系并证明；
（3）拓广延伸：在（2）的条件上，，，且射线FC过边AD的三等分点，直接写出线段EF的长．

7 . 综合与探究

如图1，在四边形中，，，.
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，把四边形沿（在边上，在边上）折叠（折叠前后对应角相等），使点分别落在处，交于点.若，请求出的度数；
（3）在（2）的条件下，试探究与之间有何数量关系？并说明理由.

8 . 定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A₁A₂…A_n的边得A₁′，A₂′，…，A_n′，若多边形A₁′A₂′…A_n′与多边形A₁A₂…An相似，则多边形A₁′A₂′…A_n′就是A₁A₂…A_n的螺旋相似图形．
（1）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．
（2）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由．
（3）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）

9 . 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．
(1)概念理解：
如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件________；

(2)概念延伸：
下列说法正确的是________．(填入相应的序号)
①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；
②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；
③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；
④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；
(3)问题探究：
如图，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结，，要使平移后的四边形是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段的长)？

10 . （1）观察图形：如图1，中，，，，，垂足分别为、，与交于点．

①线段与线段的数量关系是______；
②写出图1中所有的全等三角形______；
（2）问题探究：如图2，中，，，平分，，垂足为，与交于点．试探究和的数量关系，并证明．
（3）拓展延伸：
如图3，中，，，点在上，，，垂足为，与交于点．若，，求的长．

1 . 如图，四边形是菱形，点在边上，点在菱形外部，且满足，，连接，，取的中点，连接，．

(1)探究与位置关系．
(2)若，探究线段、与的数量关系，并说明理由．
(3)若，在的延长线上时，其余条件不变，，，请求出的长度．

2 . 如图所示的是与菱形有关的三个图形．

（1）感知：如图1，是菱形的对角线，，、分别是边、上的中点，连接、、．若，则的长为__________．
（2）探究：如图2，在菱形中，．是边上的点，连接，作，边交边于点，连接．若，求的长．
（3）应用：在菱形中，．是边延长线上的点，连接，作，边交边的延长线于点，连接．当，时，在图3中，将图形补充完整并求的周长．

3 . 如图，在菱形中，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且连接．
（1）发现问题
如图①，若是线段的中点.连接其他条件不变，填空：线段与的数量关系是      ；

                    

（2）探究问题   
如图②，若是线段上任意一点，连接其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么?请证明你的猜想；
（3）解决问题
如图③，若是线段延长线上任意一点，其他条件不变，且，请直接写出的长度．

4 . （1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．
（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．
（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

5 . 如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．

（1）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，使落在上．在旋转的过程中，假如第秒时，、、三条射线构成的角中有两个角相等，求此时的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点顺时针旋转（如图2），使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由．