开放探究 - 初中数学 - 容易

1 . 问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．

（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________；
（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积．

2 . 如图，以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，连结．

（1）比较与的大小，并说明理由．
（2）当时，若，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答

3 . （1）如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________
（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________
（4）如图④，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________

4 . 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．
（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；
（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）
（3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长．
②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．
      

5 . 如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.

（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；
（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？
（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.