开放探究 - 初中数学 - 适中

1 . 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

2 . 综合实践
初步探究：
如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
               
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为                         ；
解决问题：
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为                        ；
拓展应用：
(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；

3 . 如图，已知，点E在直线之间．

(1)求证：；
(2)若平分，将线段沿平移至．
①如图2，若平分，求的度数；
②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．

4 . 【问题背景】
如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________．
【探索延伸】
如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

5 . 【问题背景】
在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______．
【探索延伸】
（2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．

．

6 . 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（       ）秒

A．2.5

B．3

C．3.5

D．4

7 . 在四边形中，点C是边的中点．

(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．

8 . 如图，已知直线l₁//l₂，l₃、和l₁、l₂分别交于点A、B、C、D，点P在直线l₃或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

   

9 . 阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．

探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）

10 . 直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合．

(1)如图1，平分，平分，若，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点D．
①若，则　　　　度（直接写出结果，不需说理）；
②点A、B在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．
(3)如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．

1 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：       公式②：
公式③：       公式④：
图1对应公式__________，图2对应公式__________，图3对应公式__________，图4对应公式__________；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)将棱长为的正方体去掉一个边长为1的小正方体，然后将剩下的图形拆开成一个正方体和若干个长方体，如图6的提示，将进行因式分解，并写出相应的过程．

2 . 综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．

   

问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究
（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；
（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．

3 . 如图所示，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．

4 . 如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究与之间的关系；
(3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．

5 . 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

	…	－5	－4	－3	－2	－1	0	1	2	3	4	5	…
	…					－3	0	3					…

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(       )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(       )
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(       )
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

6 . 如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．

（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；
（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．
①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．

7 . 【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　．

8 . 能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点．
【探究】求证：四边形是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．

【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，，如图③若，则四边形的面积为______．

9 . 同学们都知道|5-(-3)|表示5与-3之差的绝对值，也可以理解为5与-3俩数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）|8+5|表示数轴上8与数      两点之间的距离；
（2）|x+5|+|x-3|表示数轴上数x与数      的距离和数x与数     距离之和；
（3）满足|x+5|+|x-3|=8的所有符合条件的整数x的值是               ；
（4）由以上探索猜想：对于任何有理数x，|x-5|+|x-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

10 . 如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B．

(1)求点 A，B的坐标；
(2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积；
(3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__                _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___             ．
【探究2】
观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股___             _；弦___             _；
（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___          ；弦__            _；
（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
_；
请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_               ；和弦的长_                _．

2 . 已知ABCD，点E在AB与CD之间．

(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．

3 . 如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．

【问题发现】如图1所示，与的数量关系为________；
【类比探究】如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
【拓展延伸】若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________

4 . 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

   

（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是　 　．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是　 　．请证明你的结论．
实际应用
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是　 　海里（直接写出答案）．

5 . 如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：

(1)如图2，与分别为的两个外角，则______；（横线上填>、<或=）
(2)初步应用：如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则______；
(3)解决问题：如图4，在中，分别平分外角与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案；
(4)如图5，在四边形中，分别平分外角，请利用上面的结论探究与的数量关系．

6 . 阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记，若为整数，则称m为“五行数”．例如：，则，是整数，所以214是“五行数”；，则不是整数，所以113不是“五行数”．
（1）判断315______（填“是”或者“不是”）“五行数”；计算______；
（2）s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求所有符合条件的s的值．

7 . 小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．

8 . 如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）

①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOD=                ；
③如图2，∠BOD=                ；
④如图3，∠BOD=                ．

9 . 【概念认识】如图①，在中，若，则叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”

(1)【问题解决】如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则___________．

(2)如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数．

(3)【延伸推广】在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，并且，直接写出的度数．（用含、的代数式表示）

10 . 已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：

即如下规律：
   
       
… …；
（1）按上述分裂要求，       ，可分裂的最大奇数为        
（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：             ；
（3）用上面的规律求：

1 . 在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．
（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；

（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．

2 . 【问题背景】
如图①所示的受水型“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，实践小组根据其原理做出了如图②所示的简易计时器．

【实验操作】
实践小组设计了如下实验：先在甲容器里装满水，开始放水后每隔观察一次乙容器中的水面高度，获得的数据如下表所示：

放水时长	0	10	20	30	40
乙容器水面高度	3	5	7	9	11

【探究发现】
（1）观察乙容器水面高度值的变化规律可知，每隔水面高度变化量_____定值；（填“是”或“不是”）
（2）请利用表格中的数据，求乙容器水面高度h与放水时长t之间的关系式；
【解决问题】
（3）求放水1h后乙容器的水面高度（此时水还未溢出）；
（4）若乙容器的容器高度为，且从上午8：00开始放水（此时乙容器中的水面高度为），则乙容器几点可以接满水？

3 . 已知关于、的二元一次方程组给出下列结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解、均为整数)，其中正确的是　　

A．①②③

B．①③

C．②③

D．①②

4 . 定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”．
例如：不等式组：是：的“子集”．
(1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或；
(2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______；
(3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值．

5 . 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，证明：△ACE≌△DCB；
（2）①如图1，若，则=________；
②如图2，若，则______；（用含的式子表示）
（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3，试探究与的数量关系，并予以证明．

6 . (1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

7 .

(1)感知：如图1，如图1，四边形、均为正方形，试猜想线段和的数量关系为__________．
(2)探究：如图2，四边形、均为菱形，且，求证：．
(3)应用：如图3，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在的延长线上，若，，的面积为8，则菱形的面积为__________．

8 . 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

9 . 已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为　 　；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系　 　．

10 . 【感知】如图①，在四边形AEFC中，EB、FD分别是边AE、CF的延长线，我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角，若∠A＋∠C＝260°，则∠BEF＋∠DFE＝　 　度．
【探究】如图②，在四边形AECF中，EB、FD分别是边AE、AF的延长线，我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角，试探究∠A、∠C与∠BEC、∠DFC之间的数量关系．
【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系：　 　．
【应用】如图③，FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线，若∠A＋∠C＝210°，求∠M的度数．

1 . 在中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE
（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①说明：；
②线段CE、CD、BC的数量关系为______．
（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

2 . 【材料阅读】
我们曾解决过课本中的这样一道题目：
如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……
提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；
提炼2：△ECD≌△FAD；
提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．
【问题解决】
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．
可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　．
（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．
（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．
          

3 . 某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：

x（米）	0	0.4	0.8	1	2	3.2	4
y（米）	2	2.16	2.24	2.25	2	1.04	0

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；
(3)当球拍触球时，球离地面的高度为米．
①求此时发球机与球的水平距离；
②现将发球机向下平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多少米？

4 . 【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的，连接．若，，，求的长和正方形的边长．

　　　　 　　　

【变式猜想】（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由．
【拓展应用】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，请求出的长度．

5 . 青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地．已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米)，公路的运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出铁路运费124800元，公路运费19500元．

（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表

	原料x吨	产品y吨	合计（元）
铁路运费			124800
公路运费			19500

根据上表列方程组求原料和产品的重量．
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?

6 . （1）如图1，已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）探究：如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E₁，∠ABE₁与∠CDE₁的角平分线交于点E₂，∠ABE₂与∠CDE₂的角平分线交于点E₃，…以此类推，请直接写出∠E_n的度数．
（3）变式：如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，请直接写出∠P与∠E的数量关系．

   

7 . 在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

   

8 . 在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（-2，0），C（a，-a），△ABC的面积小于10，则a的取值范围是__________________．

9 . 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段．

10 . 综合与探究
已知直角三角板和直角三角板，，将两块直角三角板直角顶点重合，直角三角板不动，然后将直角三角板绕点O按顺时针方向转动任意一个角度．（为小于的角）
          
（1）如图1，若，则______，_______；如图2，若，则_______，求________；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）设，请说明不论取何值，的值不变．（请结合图1或图2中的一个说明理由）

1 . 结合图形，解答下列各题
(1)操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；要求用两种不同的分割方法

   

(2)分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图

   

(3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明

2 . 已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．

（1）如图1，若∠ADB'＝125°，求∠CEB'的度数；
（2）如图2．试探究∠ADB'与∠CEB'的数量关系，并说明理由；
（3）连接CB'，当CB'∥AB时，直接写出∠CB'E与∠ADB'的数量关系为__________________．

3 . 如图，点，，在线段上．

（1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路．
（2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？

4 . 如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点．

（1）求出的长度；
（2）求的面积；
（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 如图①是一个长为2m．宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．

   

（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________？
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．（不用化简）
方法1：___________；方法2：___________．
（3）由问题（2）你能写出三个代数式：，，mn之间的一个等量关系．
答：______________．
（4）根据（3）题中的等量关系和完全平方公式，解决如下问题：
①已知：m+n＝5，mn＝－3，求：（m﹣n）²的值；
②已知m－n＝5，，求mn的值．

6 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．

（1）问题探究：
①如图1，点C在线段上，，点M、N分别是线段、的中点．求线段的长；
②善于思考的小聪发现：只要点C在线段上，任意改变点C的位置，其他条件不变，的长就是．小聪理由如下：因为M、N分别是线段、的中点，所以，所以．老师肯定了小聪的方法．
（2）继续探究：
①如图2，是直角，射线在内部，且是的平分线，是的平分线，则_______．（直接写出结果）
②如图2，是直角，射线在内部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？如果不变，求出的度数；如果改变，请说明理由．（类比小聪的方法）
（3）深入探究：
如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线、．若，则______．（直接写出结果）

7 . 如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图②）．

（1）图②中的阴影部分的面积为　 　；
（2）观察图②请你写出 （a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是　 　．
（3）根据（2）中的结论，若，则（p+q）²＝　 　．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　 　．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2a+b）（a+2b）＝2a²+5ab+2b²．

8 . 已知直线．
（1）如下图，点在直线的左侧，请写出，，之间的数量关系，并说明理由：

（2）如下图，当点在线段上时，分别平分，，此时的度数为_________°

（3）如下图，当点在直线的左侧时，分别平分，，请直接写出和的数量关系              ；

（4）如下图，当点在直线的右侧时，分别平分，，请直接写出和的数量关系              ；

9 . 已知AB//CD，点E是平行线之间一点．
【测量发现】连结EA，EC，分别作∠EAB与ECD的角平分线交于点F，通过测量我们发现∠AEC=2∠AFC．
【探索新知】如图，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，试探索∠AFC与∠AEC之间的关系，请说明理由．
   
【合理猜想】若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，请猜想∠AFC与∠AEC之间的关系，不必说明理由．

10 . 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）探究的度数；
（3）探究EF、DF、CF之间的关系．

1 . 如图1，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠EAF＝90°，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）如图2，延长DF交AB于点G，交BE于点H，连结AH．
①求∠EHA的度数；
②过点D作DM⊥HA交HA的延长线于点M，请你写出线段AM与BH之间的数量关系，并证明你的结论．

2 . 如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；
（3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值．

3 . 【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图1，在中，．设的外角、的平分线交于点，求的度数；

（1）请你先完成这个问题的解答．
【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：
（2）如图2，在中，，若，，且射线与射线相交于点，则_______；
（3）如图3，在中，.若，，且与相交于点，若要使射线、能相交，则的取值范围是什么？请说明理由；
（4）如图3，在中，.若，，请直接写出使射线、能相交的的取值范围是______（其中，请用含、的代数式表示）．

4 . （1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为　 　°；
②线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AE＝30，DE＝14，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

5 . 【问题背景】在一条直线上有n个点（n≥2），每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？（请在答题卡上按照序号顺序解决问题）
【探究】当仅有2个点时，有=1条线段；
当有3个点时，有=3条线段；
当有4个点时，有=6条线段；
①当有5个点时，有　　　条线段；
……
②当有n个点时，从这些点中任意取一点，如图，以这个点为端点和其余各点能组成（n－1）条线段，这样总共有n（n－1）条线段．在这些线段中每条线段都重复了两次，如：线段A₁A₂和A₂A₁是同一条线段，所以，一条直线上有n个点，一共有S_n=　　　条线段．

【应用】
③在一条直线上有10个点，直线外一点分别与这10个点连接成线段，一共可以组成　　　个三角形．
④平面上有50个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出　　　条不同的直线．
【拓展】平面上有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？
当有3个点时，可作1个三角形；
⑤当有4个点时，可作　　　个三角形；
⑥当有5个点时，可作　　　个三角形；
……
⑦当有n个点时，可连成　　　个三角形．

6 . 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，延长与外角的平分线交于点．

（1）若，求和的度数；
（2）若，请直接写出和的度数（用含的代数式表示）；
（3）若高和的角平分线交于点，在（2）的条件下求的度数（用含的代数式表示）．

7 . 综合与实践
将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．

特例研究
（1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；
（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
探究发现
（3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；
知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值．

8 . 如图，直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，点的坐标为，点是第二象限内的直线上的一个动点．

（1）求的值．
（2）在点的运动过程中，写出的面积与的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）已知，当点运动到什么位置时，直线将四边形分成两部分，面积比为，请直接写出点坐标．

9 . 综合与实践
问题情境
从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在中，，，为边上的中线，为上一点，将以点为旋转中心，逆时针旋转90°得到，的延长线交线段于点．探究线段，，之间的数量关系．

数学思考
（1）请你在图1中证明；
特例探究
（2）如图2，当垂直于时，求证：；
类比再探
（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

10 . 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近，两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
超市：所有商品均打九折（按标价的90%销售）；
超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出，与之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

1 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式及的值；
（2）轴上的点使+的值最小，则______；
（3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了______个单位；
（4）点在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．

2 . [经典问题回顾]
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明；

小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证；
思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证；
思路三：如图（3），连接AC，作EG//AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证．
[进一步探究]
小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．
四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分线CF于点F．
（1）如图（4），若点E在边BC延长线上，β＝90°，线段AE与线段EF存在怎样的数量关系？并加以证明；
（2）如图（5），若点E在边BC上，AE＝EF，求β的度数．

3 . 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：_______；方法2：________；
（2）观察图2，请你写出代数式：之间的等量关系________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知，求的值；
③已知(a-2019)²+(a-2021)²=8，则求(a-2020)²的值．

4 . 如图1，平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（2，1），OA⊥OB，OA＝OB，BC∥x轴，交y轴于点D，∠BCA＝135°．
（1）求点B的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）点P（0，m）在线段OD上，过点P作轴平行线（如图2），被四边形AOBC的边截得线段的长度为d，求d关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

5 . 如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．
(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是             ；
(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；
(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点 P（2，）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．

6 . 在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．

已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠　　
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠　　＝∠　　（等式性质）
∴EF∥　　
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．

7 . “勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC中，∠ACB＝90°，分别以ABC的三条边为边向外作正方形．连接EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠AMP＝30°，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，射线AB和射线CB相交于点B，，且，点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使，连接CE，BE．

(1)如图1，当点D在线段CB上，时，在AD上截取，连接BF，证明：，请求的度数，探求线段AE，BE，CE之间的数量关系．
(2)如图2，当点D在线段CB上，时，请写出的度数，探求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点D在线段CB上，时，请直接写出线段AE，BE，CE之间的数量关系．

9 . 已知：三角形中，，，为的中点，
（1）若点，分别是，的中点，判断的形状并说明理由；

（2）如图，，分别是，上的点，且，试说明是直角三角形；

（3）若，分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，（1）（2）中的结论是否成立？直接写出结论．

10 . 中，，，过点作直线，使，点在直线上（不与点重合），作射线，将射线绕点顺时针旋转后交直线于点．

（1）如图1，点在射线上，，求证：；
（2）如图2，点在射线上，，线段，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（3）若，，，请直接写出线段的长．

1 . 【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：CN∥AB．

【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论CN∥AB还成立吗？请说明理由．

2 . 已知：正方形ABCD
（1）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF，过点E作EG//BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．
（1）求证：
①；
②求证：四边形BRGF是平行四边形．

（2）如图，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，分类说明满足PE+PF=9的点P的位置情况．

3 . （1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①；再次折叠该三角形纸片，使点和点重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为（如图③；再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为（如图④；再展平纸片（如图⑤．求图⑤中∠α的大小．

4 . （1）问题发现:如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为　 　；②∠AMB的度数为　 　；
（2）类比探究 :如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．
（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

   

5 . （1）猜想发现
如图1，已知△ABC，分别以AB和AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接DE．设△ABC的面积是S₁，△ADE的面积是S₂，猜想S₁和S₂的数量关系为　 　．
（2）猜想论证
如图2，已知△ABC，分别过点A作线段AD和AE，满足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，连接DE．设△ABC的面积是S₁，△ADE的面积是S₂，（1）中S₁和S₂的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展探究
如图3，点D是锐角∠ABC角平分线上的一点，满足BD＝CD，点E在BC上，且DE⊥DC．请问在射线BA上是否存在点F，使得S_△BDE＝S_△CDF，如果存在，请确定点F的位置并证明；如果不存在，请说明理由．

6 . （1）如图1，△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．
（2）如图2、3，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图2，若α+β＞180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
②如图3，若α+β＜180°，直接写出∠P的度数．（用α，β的代数式表示）

7 . 问题探究题
问题背景：如图1，在中，、、三边的长分别为，，，求的面积．

（1）问题解决：小明在计算这个三角形面积的时候，采用了传统的三角形面积计算公式的方法计算，即求出三角形的一条高.如图2，他过点作于点，为了求出高的长，他设，则，根据勾股定理，可列方程：_______________________，该方程解得__________，再根据勾股定理求出高的长，从而计算的面积（注：此小问不用计算的长和的面积）；
（2）思维拓展：小辉同学在思考这个问题时，觉得小明的方法在计算上比较复杂，他先建立了一个正方形网格（每个正方形网格的边长是1），再在网格中画出了格点（即的三个顶点都在正方形的网格线的交点处），如图3，这样就不用求的高，直接借助网格就能计算的面积为__________（直接写出的面积即可）；

（3）方法应用：我们将小辉的方法称为“构图法”，若的三边长分别为，，（），请在图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积；
（4）探索创新：若中有两边长为，，且的面积为2，请在图5和备用图的正方形网格中画出所有可能情况（全等三角形视为同一种情况），则的第三边长为______________（直接写出所有可能的情况）．

8 . 【综合与实践】
活动主题：在研究性学习课上，老师让同学们以“折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．
动手操作：如图1，在直角三角形纸片中，．将三角形纸片进行以下操作：
第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；
第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点旋转得到，点的对应点分别是点，连接

数学思考：
的长为
在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
问题解决：
在绕点旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当三点共线时，求的长；

②如图3，当时，的长为         ；

③当绕点旋转到点落在线段上时，试在图4中作出此时的，连接并直接写出的长         ．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）

9 . 已知△ABC为等边三角形．

   

（1）如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：CE∥AB．
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，以AD为边作等边三角形ADE，求证：无论点D的位置如何变化，△ADE的内角平分线的交点P始终在∠B的角平分线上．
（3）如图3，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F试判断线段BF，AF，DF之间存在何种数量关系，并证明你的结论．

10 . 综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（        ）；（请填写全等判定的方法）

（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．
（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；

1 . 【问题情景】 通过作平行线来实现问题转化是我们常用到的方法．
如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我们可以过点D作BE的平行线（如图2），也可过点E作CD的平行线解决问题．
【问题解决】（1）请回答：BC+DE的值为　　．
【类比探究】（2）如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，参考上述思考问题的方法，求∠AGF的度数．

                    

【迁移应用】（3）如图4，已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AED=           度，若CD=，求AB的长．

   

2 . 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则图②中的a的值为______．

   

3 . 已知如图，在等腰直角中，，H是线段的中点，F是射线上一点．
（1）如图1，当F在线段上时，求证：．
（2）如图2，当F在的延长线上时，E是上一点，连接，若，求线段之间的数量关系．
（3）在（2）的条件下，点G在上，连接，若，求的长．

   

4 . 如图，PQ⊥MN，垂足为O，点A、B分别在射线OM、OP上，直线BF平分∠PBA，且与∠BAO的平分线交于点C．

（1）若∠BAO=45°，求∠ACB的度数；
（2）若点A、B分别在射线OM、OP上移动，试探索∠ACB的大小是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请求出变化的范围．

5 . 阅读：若等边三角形的边长为a，则此三角形的面积．

(1)运用：现将边长分别为，，，的等边三角形的面积分别记作，，，，计算         ，         ；
(2)推导：边长为的等边三角形的面积记作，边长为的等边三角形的面积记作，其中n是正整数，通过计算，可以得出：         （用含n的代数式表示）；
(3)拓展：在（2）的条件下，若，求n的值．

6 . 如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB∶PC=1∶．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明．

7 . 如图1，是等腰直角三角形，，，点P在的边上沿路径移动，过点P作于点D，设，的面积为（当点P与点B或点C重合时，y的值为0）．
琪琪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是琪琪的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是______________________；
（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm	0		1		2		3		4
y/	0		m		2			n	0

请直接写出         ，             ；
（3）在图2所示的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图像；并结合画出的函数图像，解决问题：当的面积为1时，请直接写出的长度（数值保留一位小数）．

（4）根据上述探究过程，试写出的面积为y与的长度x cm之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

8 . 如图（1） 将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α．
（1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC的平行时，求旋转角α的值；
（3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系．
（温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A＋∠B＋∠C＝180°）

9 . 如图一，现有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．

   

如图二，小明利用上述三种纸片各若干张，拼出了一个长为，宽为的长方形，并用这个长方形解释了等式是成立的．
（1）若取图一中的纸片若干张(三种都要取到)拼成一个长方形(所取纸片用完无剩余)，使它的长和宽分别为，请你通过计算说明需要类卡片多少张；
（2）若取类纸片张，类纸片张，类纸片张，能拼成一个长方形吗(所取纸片用完无剩余)？请你在图三中画出示意图并在下面直接写出能用该长方形来解释成立的等式；

　   

（3）如图四，大正方形的边长为，小正方形的边长为，用四个完全相同的长方形的长和宽为别为．请你通过观察或计算，判断下列个式子是否成立，将其中成立的式子的都填写在横线上：     (直接填写序号)．
①；
②；
③；
④．

10 . 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状（按角分类），并说明理由；
(3)求的度数；
(4)探究：当       时，是等腰三角形（不必说明理由）．

1 . 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价180元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子
方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款
某校计划添置100张课桌和把椅子，
(1)若，请计算哪种方案划算;
(2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来
(3)若，乔亚萍认为用方案一购买省钱，小兰认为用方案二购买省钱，如果两种方案可以同时使用，你能帮助学校设计一种比乔亚萍和小兰的方案都更省钱的方案吗?若能，请你写出方案，若不能，请说明理由．

2 . 如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．

（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．

3 . （1）【问题情境】如图1，，，．求的度数．

小明想到了以下方法（不完整），请完成填写理由或数学式：如图1，过点P作，
∴．（           ）
又，（已知）
∴．（           ）
∵，（已知）
∴，（           ）
∴．（           ）
∵，∴．
∴．
即．
（2）【问题迁移】如图2，，点P在AB，CD外，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有的式子表示的度数．

4 . 已知点为线段上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE， 直线AE与BD交于点F．
（1）如图， 若， 则          ．
（2）如图， 若， 则          (用含的代数式表示)；
（3）将图中的点顺时针旋转， 探究与的数量关系，画出图形并证明你的结论．

5 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明．

（1）如图1，AC与BD交于点O，AB∥CD ，AB=CD，求证：OA=OC．
（2）如图2，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线经过点A，BD⊥直线，CE⊥直线，垂足分别为点D、E．求证：BD＝AE．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图1或图2的基本图形来解决问题：如图3，把一块含45°的直角三角板ABC（即是等腰直角三角形，，）绕点逆时针旋转后成为，已知点B、C的对应点分别是点D、E．连结，并作射线交于点，试探究在旋转过程中，DF与BF的大小关系如何，并证明．

6 . 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是__________．
（2）下表列出了与的几组对应值，请写出，的值：________，________．

	…								1	2	3	4	…
	…								2				…

（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．

   

（4）结合函数的图象，请完成：
①当时，________；
②写出该函数的一条性质______________________________；
③若方程有两个相等的实数根，则的值是____________．

7 . （1）如图（1），已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD.请你完成图形，并证明：BE=CD;

（2）如图（2），已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE、CD,BE和CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量河两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=1千米，AC=AE.求BE的长.

8 . 综合实践
数学课上，各小组进行了特殊四边形的探究活动，如图所示，在中，分别以，，为边在的同侧作等边三角形，等边三角形，等边三角形．

（1）奋进小组发现：四边形是平行四边形，请你完成证明；
（2）当四边形是矩形时，求的度数；
（3）当四边形是菱形时，若，请直接写出与之间的数量关系．

9 . 定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”，如图1，在四边形中，，四边形即为“等邻对角四边形”．

概念理解
（1）①如图2，在等边中，，点D，E分别在上，，当的长为_______时，四边形为“等邻对角四边形”．
②如图3，在中，点E，D在上，点F在上，，四边形为“等邻对角四边形”，若，则的度数为___________．
性质探究
（2）根据图1及其条件，探究与的数量关系．
问题解决
（3）如图4，在“等邻对角四边形”中，与的延长线相交于点E．若，求的长，并指出的度数是否可以等于90°，不必说明理由．

10 . 综合与实践
操作发现：
已知点P为正方形ABCD的边AD或CD上的一个动点（点A，D，C除外），作射线BP，作AE⊥BP于点E，CF⊥BP于点F．
（1）如图1，当点P在CD上（点C，D除外）运动时，直接写出线段AE，CF，EF间的数量关系．
（2）如图2，当点P在AD上（点A，D除外）运动时，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
拓广探索：
（3）如图3，若点P为矩形ABCD的边CD上（点C，D除外）一点，其它条件不变，已知AB＝6，BC＝8，BP＝，求AE的长．

1 . 如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．

（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系．
答：与的数量关系和位置关系分别是_________、_________．
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，，连结，．请你观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系．
答：与的数量关系和位置关系分别是_________、_________．
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，，连结、．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

2 . 在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点，分别在等边的，边上，且，，交于点.求证：.

同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题，请你给出答案并说明理由.
（1）若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
（2）若将题中的点，分别移动到，的延长线上，是否仍能得到？

3 . 数学课上老师让同学利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，将点放在直线上，点位于直线的同侧，过点作于点．
初步探究
（1）在图1的直线上取点，使得得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
变式拓展：
（2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，小颖在图1的基础上．将三角形纸片的顶点放在直线上，点与重合，过点作于点．
请从下面两题中任选一题作答，我选择_________题
．如图3，当点与点在直线的异侧时，探究此时线段之间的数量关系，并说明理由．
．如图4，当点与点在直线的同侧，且点在线段的中点时，探究此时线段之间的数量关系，并说明理由．

4 . 问题的提出：
如果点是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点到△ABC的三顶点的距离之和的值为最小？
（1）问题的转化：
把绕点逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：．

（2）问题的解决：
当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，求的度数．
问题的延伸：
（3）如图2所示，在钝角中，，，，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

5 . 探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A(1，3)、B(2，5)、C(4，9)，有，，发现，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点坐标，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的k，叫做这条直线的斜率．
（1）请你应用以上规律直接写出过S(﹣3，﹣3)、T(7，2)两点的直线ST的斜率＝　 　．
探究活动二：
（2）数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D(2，2)，E(1，4)，F(4，3)．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用：
（3）如图3，平面直角坐标系中有两点，M(2，3)，N(5，6)，请结合探究活动二的结论，求出过点N且垂直于直线MN的直线的解析式．

6 . 如图（1），有、、三种不同型号的卡片若干张，其中型是边长为的正方形，型是长为、宽为的长方形，型是边长为的正方形．

（1）若用型卡片张，型卡片张，型卡片张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为_______，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：_________；
（2）若要拼一个长为，宽为的长方形，设需要类卡片张，类卡片张，类卡片张，则_______；
（3）现有型卡片张，型卡片张，型卡片张，从这张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．

7 . 解答下列各题：
（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．
（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．

8 . 为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据：
随机抽取甲乙两所学校的 20 名学生的数学成绩进行分析：

甲	91	89	77	86	71	31	97	93	72	91
	81	92	85	85	95	88	88	90	44	91
乙	84	93	66	69	76	87	77	82	85	88
	90	88	67	88	91	96	68	97	59	88

整理、描述数据 ：
按如下数据段整理、描述这两组数据

分析数据 ：
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：

a经统计，表格中m的值是 ___________ ．
得出结论：
b若甲学校有 400 名初二学生，估计这次考试成绩 80 分以上人数为____________ ．
c可以推断出 _______学校学生的数学水平较高，理由为：①__________________；②_________________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

9 . 综合与探究：三角形旋转中的数学问题．

实验与操作： Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°． 将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点）． 设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D．
猜想与证明：
（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：
①此时，旋转角α的度数为              °；
②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD＝C′D；
（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD，直接写出线段AD与C之间的位置关系（不必证明）．
   

10 . 今年年初，我国爆发新冠肺炎疫情，某省邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救援物资 200吨和 300 吨的消息后，决定调运物资支援．已知 C 市有救援物资 240 吨，D 市有救援物资 260 吨，现将这些救援物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从D 市运往往 A、B 两市的费用分别为每吨 15 元和 30 元，设从 C 市运往 A 市的救援物资为 x 吨．
（1）       请填写下表；

	A	B	合计（吨）
C	x	_____	240
D	_____	_____	260
总计（吨）	200	300	500

（2）设 C、D 两市的总运费为 W 元，则 W 与 x 之间的函数关系式为_________，其中自变量 x的取值范围是________；
（3）经过抢修，从 C 市到 B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 n 元（n＞10），其余路线运费不变，若 C、D 两市的总运费的最小值不小于 7920 元，则 n 的取值范围是______________．

1 . 如图1，两个完全相同的矩形ABCD，BEGF按如图方式放置，AB=BE，AD=BF，将矩形BEGF绕点B按顺时针旋转，旋转角为．
操作猜想：
（1）将四边形BEGF绕点B按顺时针方向旋转，当转到如图2所示的位置，点F恰好落在线段AD上，FG与CD交于点M，请直接写出DM和GM的数量关系为：________________；
继续探究
（2）如图3，矩形BEGF绕点B继续按照顺时方向旋转，FG与CD交于点M，试判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由
（3）如图4，若，在矩形BEFG绕点B继续按顺时针方向旋转的过程中，GF的延长线与DC的延长线交于点M，试判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由

2 . 基础探究：如图①，在正方形中，点为上一点，交于，垂足为点．求证：．
应用拓展：如图②，在正方形中，点为上一点，分别交、于、，垂足为点．若正方形的边长为12，，则四边形的面积为______．

3 . 正方形，点为射线上一点，连接，过点作，交直线于点，交直线于点．

（1）如图1，点在边上，求证：；
（2）过点作的平行线，交直线于点，交直线于点，请你用等式表示线段，，之间的数量关系：       ．

4 . 当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a²+3ab+2b²．
（1）由图2，可得等式：　      　．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a²+b²+c²的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a²+5ab+2b²＝（2a+b）（a+2b）

5 . 问题：探究函数y=﹣2的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数y=﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数y=|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；
（2）如表是y与x的几组对应值．

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	1	0	﹣1	﹣2	﹣1	0	m	…

m=_______；
②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n=_______；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；
根据函数图象可得：
该函数的最小值为_______；
已知直线与函数y=﹣2的图象交于C、D两点，当y₁≥y时x的取值范围是_______．

6 . 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

7 . 如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转60°，得到射线，射线与直线相交于点．
（1）如图①，点与点重合时，点分别在线段上，求证：．

（2）如图②，当点在的延长线上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出三条线段之间的数量关系，并说明理由．

（3）点在线段上，若，，当时，请求出的长．

8 . 平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“迷你三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“迷你三点矩形”．
如图2，已知M(4，1)，N(-2，3)，点P(m，n)．
（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“迷你三点矩形”的周长为         ，面积为         ；
②若m＝1，点M，N，P的“迷你三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝-2x＋4上．当点M，N，P的“迷你三点矩形”为正方形时，直接写出点P的坐标．

9 . 定义：如图1，在四边形中，把对角线沿翻折后得到，把另一条对角线绕点逆时针旋转90°后得到，连接，则称四边形为原四边形的“翻转四边形”．

特例感知：（1）若四边形为正方形，如图2，延长至点，延长至点，使，连接．
①四边形是否是正方形的“翻转四边形”？答：______（填“是”或“不是”）．
②若，则________．
（2）若四边形为矩形，且，四边形为矩形的“翻转四边形”，如图3，求的长．
（3）类比探究：（3）在四边形中，，如图4，四边形为四边形的“翻转四边形”，且，求证：．

10 . 【变式训练】
在中，，，取一块含角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边边的中点处（如图1），绕点顺时针方向旋转，使角的两边与的两边、分别相交于点、（如图2）.设，.

（1）探究：在图2中，线段与之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.
（2）若将直角三角尺角的顶点放在斜边边的中点处（如图3），绕点顺时针方向旋转，其他条件不变.
①试写出与的函数解析式，以及的取值范围；
②将三角尺绕点旋转（如图4）的过程中，是否能成为等腰三角形？若能，直接写出为等腰三角形时的值；若不能，请说明理由.

1 . （1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求证：；
（2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数；
（3）联系拓广；如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，若，，求的长．
   

2 . 学校组织义捐义卖活动，小明的小组准备自制贺年卡进行义卖．活动当天，为了方便，小组准备了一些零钱备用，按照定价售出一些贺年卡后，又降价出售，小组所拥有的所有钱数（元）与售出卡片（张）之间的关系如图所示．
（1）求降价前与之间的函数关系式．
（2）如果按照定价打八折后，将剩余的卡片全部卖出，这时，小组一共有元钱（含备用领钱），求该小组一共准备了多少张卡片？

3 . 情景观察
已知一系列的二次函数．
形成概念
具备以上正整数系数形式的二次函数称为“生长二次函数”．
（1）某数学小组探究“生长二次函数”时发现以下结论：
①图象都开口向上；②对称轴都是直线；③图象都经过原点和；④当时，随着x的增大而增大．
其中正确结论的序号是__________．
（2）过点的直线轴，若直线l与“生长二次函数”图象中的两条相邻抛物线分别相交于点M，N．
①写出线段的长与m之间的关系式，并判断当时此关系式是否具备（1）中“生长二次函数”的性质；
②求出当时线段的最大长度．

4 . 等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

5 . 【问题探究】在等边三角形中，于，．
（1）如图①，点为的中点，则点到的距离为          ；
（2）如图②，点为上一动点，求的最小值．
【问题解决】如图③，两地相距，是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点到的距离为．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，中转站应修在使          （千米）处．

   

6 . 如图，已知，点在边的上方，把绕点逆时针方向旋转得，绕点顺时针方向旋转得，连结、.

（1）写出图中所有的等边三角形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由；
（3）当满足什么条件时，以、、、为顶点的四边形不存在？请说明理由.

7 . 阅读下列材料：
数学课上，老师出示了这样一个问题
如图1，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90・点D、E在AB上，且AD＝BE，DG⊥CE，垂足为G，DG的延长线与BC相交于点F，探究线段AD、BD、DF之间的数量关系，并证明某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠BCE与∠BDF存在某种数量关系”
小强：“通过观察和度量，发现图1中有一条线段与CE相等”
小伟：“通过构造三角形，证明三角形全等，进面可以得到线段AD、BD、DF之间的数量关系”…
老师：保留原条件，再过点D作DH⊥BC．垂足为H，DH与CE相交于点M（如图2）．如果给出的值，那么可以求出的值．
（1）在图1中找出与线段CE相等的线段，并证明；
（2）探究线段AD、BD、DF之间的数量关系，并证明；
（3）若＝n，求的值（用含n的代数式表示）．

8 . 探究:如图，在中，延长至点延长至点使，连结，求证：．

应用:如图在菱形中，延长至点延长至点使连结，延长交于点求的度数．

9 . （1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

10 . 问题探究
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接．
①请探究与之间的位置关系；
②若，则线段的长为_________．

   

拓展延伸
（2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接．当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．

1 . 在等腰中，，点分别在上，．

（1）如图1，___________．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转至，求与的数量关系．
（3）①如图3，将绕点逆时针旋转，使点落到边上的点处，得到，若于点，求的长．
②在①的条件下，延长交于点，试探究是否经过的内心，并说明理由．