新定义问题 - 初中数学 - 容易
难度：容易 | 第1-42页 | 共 417 道题
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题目 1
第 1 页
来源：2021·湖北十堰·中考真题
题干
1 . 对于任意实数
a、
b，定义一种运算：
，若
，则
x的值为
________．
题目 2
第 1 页
来源：2022·贵州安顺·中考真题
题干
2 . 定义新运算
，对于任意实数a，b满足
，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如
，若
（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
| A．有一个实根 | B．有两个不相等的实数根 |
| C．有两个相等的实数根 | D．没有实数根 |
题目 3
第 1 页
来源：18-19七年级下·河南郑州·开学考试
题干
3 . 观察下列两个等式：
，给出定义如下：我们称使等式
成立的一对有理数
为“共生有理数对”，记为
，如：数对
，都是“共生有理数对”．
(1)数对
中是“共生有理数对”的是______．
(2)若
是“共生有理数对”，则
______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
(3)若
是“共生有理数对”，求
的值．
题目 4
第 1 页
来源：2021·浙江湖州·一模
题干
题目 5
第 1 页
来源：2020·山东枣庄·中考真题
题干
5 . 对于实数
、
，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是实数运算．例如：
．则方程
的解是（
）
题目 6
第 1 页
来源：20-21八年级上·广东潮州·期末
题干
6 . 式子
称为二阶行列式，规定它的运算法则为
，则二阶行列式
____________________．
题目 7
第 1 页
来源：19-20七年级下·河南洛阳·期中
题干
7 . 我们规定，若关于
的一元一次方程
的解为
，则称该方程为“差解方程”，例如：
的解为2，且
，则该方程
是差解方程．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断
是否是差解方程；
(2)若关于
的一元一次方程
是差解方程，求
的值．
题目 8
第 1 页
来源：2019·甘肃·中考真题
题干
8 . 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值
称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰
中，
，则它的特征值
__________．
题目 9
第 1 页
来源：23-24七年级上·重庆九龙坡·期末
题干
9 . 对两个有理数
，定义新运算：
．若
，则
的值为
______．
题目 10
第 1 页
来源：16-17七年级下·四川自贡·期末
题干
10 . 阅读理解：我们把
称作二阶行列式，规定它的运算法则为
，例如
若
，则（
）
题目 11
第 2 页
来源：20-21七年级上·湖南衡阳·阶段检测
题干
1 . 规定图形
表示运算
，图形
表示运算
，则
+
___________．
题目 12
第 2 页
来源：20-21七年级上·山东济南·期中
题干
2 . 对于任意有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+（a﹣b），例如3⊕2＝3×2+（3﹣2）＝7，则（﹣5）⊕4＝_____．
题目 13
第 2 页
来源：20-21七年级上·吉林·阶段检测
题干
3 . 对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（
）
题目 14
第 2 页
来源：20-21七年级下·江苏盐城·阶段检测
题干
4 . 对于任意的有理数
，我们规定：
，根据这一规定，解答以下问题：若
同时满足
，求
的值．
题目 15
第 2 页
来源：21-22八年级上·安徽合肥·期中
题干
5 . 【阅读理解】在平面直角坐标系中，对于任意两点
，若点
满足
，
，那么称点
T是点
A 和
B的衍生点.例如：
， 则点
是点
M 和
N 的衍生点.
(1)【初步应用】已知点
， 点
， 点
是点
D 和
E 的衍生点，
①若点
， 则点
T的坐标为
；
②请直接写出点
T的坐标(用
m 表示)；
(2)【综合拓展】在(1)的条件下，若直线
交
x轴于点
H， 当
时， 求点
E的坐标．
题目 16
第 2 页
来源：20-21七年级下·福建龙岩·期末
题干
6 . 定义：对于实数
，符号
表示不大于
的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果
，则
的取值范围是（
）
题目 17
第 2 页
来源：16-17九年级上·安徽芜湖·期中
题干
7 . 定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程
的两根，则b★b-a★a的值为（
）
题目 18
第 2 页
来源：21-22八年级下·河北石家庄·阶段检测
题干
8 . 已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形
，对角线
交于点
O．
(1)若
，
，
，则
；
(2)若
，
，则
；
(3)若
，
，
，
，则
m，
n，
c，
d之间的数量关系是
．
题目 19
第 2 页
来源：2021·山西吕梁·二模
题干
9 . 已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式
Cnm=
（
n＞
m），则
C125 =（
）
题目 20
第 2 页
来源：2021·湖南娄底·中考真题
题干
10 . 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作
．已知
，则
与
的大小关系是
________．
题目 21
第 3 页
来源：24-25七年级下·广东佛山·期中
题干
1 . 将4个数
、
、
、
排成两行两列，两边各加一条竖直线记成
，定义
，若
，则
______．
题目 22
第 3 页
来源：19-20八年级上·河南信阳·期中
题干
2 . 当三角形中一个内角
是另一个内角
的
时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角
称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为
，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为
______．
题目 23
第 3 页
来源：21-22七年级上·广西南宁·期末
题干
3 . 规定一种新运算：
，如
．则
的值是（
）．
A． | B． | C．6 | D．8 |
题目 24
第 3 页
来源：21-22七年级上·北京海淀·期末
题干
4 . 定义一种新运算“
”，其规则为
．例如
，
．
(1)计算
值为
；
(2)已知
，求
的值；
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即
，
，那么“
”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
题目 25
第 3 页
来源：19-20七年级下·北京·期中
题干
5 . 对任意两个实数
、
定义两种运算：
，
，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：
，
，
，那么
等于（
）
A． | B．3 | C．6 | D． |
题目 26
第 3 页
来源：14-15九年级上·福建莆田·期末
题干
6 . 将4个数
a，
b，
c，
d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成
，定义：
，上述记号叫做2阶行列式．若
，则
x＝
_____．
题目 27
第 3 页
来源：21-22七年级上·内蒙古包头·期末
题干
7 . 对于两个不相等的有理数
，
，我们规定符号
表示
，
两数中较大的数，例如
，
按照这个规定，那么方程
的解为（
）
题目 28
第 3 页
来源：16-17七年级上·浙江嘉兴·阶段检测
题干
8 . 对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，
，如：
，求
的值．
题目 29
第 3 页
来源：20-21七年级下·江苏镇江·期中
题干
题目 30
第 3 页
来源：17-18七年级上·江苏扬州·阶段检测
题干
10 . 定义一种新运算“
”：
，比如：
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
题目 31
第 4 页
来源：20-21七年级上·辽宁抚顺·期末
题干
1 . 定义一种新运算“
”，规定
，若
，则
x的值为
_______．
题目 32
第 4 页
来源：17-18九年级上·江苏无锡·阶段检测
题干
2 . 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______．
题目 33
第 4 页
来源：20-21九年级上·山东临沂·期末
题干
3 . 在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为
※
=
，根据这个法则，若
※
，则
________（写成一般式）．
题目 34
第 4 页
来源：20-21七年级下·广东深圳·期末
题干
4 . 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么：（1+2i）（1﹣2i）＝___．
题目 35
第 4 页
来源：20-21七年级上·重庆梁平·期末
题干
题目 36
第 4 页
来源：18-19七年级上·北京昌平·期末
题干
6 . 在学习完“有理数”后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算
“⊕”，规则如下：
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)试用学习有理数的运算律经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程（利用举例法）．
题目 37
第 4 页
来源：18-19八年级下·山东潍坊·期末
题干
7 . 对于实数
x，我们规定
表示不大于
x的最大整数，例如
，若
，则
x的取值可以是（
）
题目 38
第 4 页
来源：15-16八年级上·福建泉州·阶段检测
题干
8 . 定义运算a
b＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2
(－2)＝6； ②a
b＝b
a；③若a＋b＝0，则(a
a)＋(b
b)＝2ab； ④若a
b＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是
_________(填上你认为所有正确结论的序号)．
题目 39
第 4 页
来源：14-15七年级上·江苏无锡·期中
题干
9 .
a为有理数，定义运算符号▽：当
a＞－2时，▽
a＝－
a；当
a＜－2时，▽
a＝
a；当
a＝－2时，▽
a＝ 0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（ ）
A． | B．7 | C． | D．1 |
题目 40
第 4 页
题干
10 . 我们知道，同底数幂的乘法法则为
（其中
a≠0，
m、
n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数
m、
n的一种新运算：
h（
m＋
n）＝
h（
m）•
h（
n）；比如
h（2）＝3，则
h（4）＝
h（2＋2）＝3×3＝9，若
h（2）＝
k（
k≠0），那么
h（2
n）•
h（2020）的结果是（
）
| A．2k＋2021 | B． | C． | D．2022k |
题目 41
第 5 页
来源：18-19七年级上·湖南长沙·期中
题干
1 . 对于有理数
、
定义一种新运算，规定
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
题目 42
第 5 页
来源：21-22七年级上·湖南长沙·期中
题干
2 . 定义新运算：
，
（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如:
，
．
若
，则称有理数
为“隔一数对”．
例如:
，
，
，所以2，3就是一对“隔一数对”．
（1）下列各组数是“隔一数对”的是
（请填序号）
①
；
②
；
③
．
（2）计算：
（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算：
．
题目 43
第 5 页
来源：19-20七年级上·河北张家口·期末
题干
3 . 现定义某种运算“
”，对任意两个有理数
、
，有
，如
，计算：
______．
题目 44
第 5 页
来源：20-21七年级下·山东烟台·期末
题干
4 . 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3a+2b．如2※4＝3×2+2×4=14．则不等式x※3≤0的解集为___________．
题目 45
第 5 页
来源：15-16七年级上·山西阳泉·期末
题干
5 . 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝___．
题目 46
第 5 页
来源：2021·重庆九龙坡·模拟预测
题干
6 . 定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2＋5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
题目 47
第 5 页
来源：21-22七年级上·四川·期末
题干
7 . 对于任意有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+（a﹣b），则（﹣4）⊕7＝_____．
题目 48
第 5 页
来源：21-22八年级上·北京·期中
题干
题目 49
第 5 页
来源：21-22七年级上·四川成都·期末
题干
9 . 一般情况下
不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
m＝
n＝0．我们称使得
成立的一对数
m，
n为“神奇数对”，记为（
m，
n）．若（8，
n）是“神奇数对”，且关于
x的方程3
x﹣6＝
n与2
x﹣1＝3
k的解相等，则
k的值为
_____．
题目 50
第 5 页
来源：20-21九年级上·安徽安庆·期末
题干
10 . 若两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线
y＝
x2﹣2
x+3与直线
y＝
x﹣2的“和谐值”为（ ）
| A．3 | B．2 | C． | D． |
题目 51
第 6 页
来源：21-22六年级下·山东济宁·期末
题干
1 . 我们把
称作二阶行列式，规定它的运算法则为
＝
ad﹣
bc，如果有
＝3，那么
x的值为（ ）
题目 52
第 6 页
来源：15-16七年级上·山东德州·阶段检测
题干
2 . 现规定一种新运算“*”：
a*
b=
ab,如3*2=3
2=9，则
（
）
题目 53
第 6 页
来源：12-13七年级下·北京·期末
题干
3 . 现在规定两种新的运算“*”和“▲”：
，
．如
，
，则
_____．
题目 54
第 6 页
来源：20-21七年级上·广东深圳·阶段检测
题干
4 . 若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则
的值为（
）
A． | B．99 | C．9900 | D．2 |
题目 55
第 6 页
来源：20-21九年级上·西藏林芝·期中
题干
5 . 如图，在平面直角坐标系中，方程
表示圆心是
，半径是
的圆，其中
，
．
(1)请写出方程
表示的圆的半径和圆心的坐标；
(2)判断原点
和第（1）问中圆的位置关系．
题目 56
第 6 页
来源：20-21八年级下·湖北武汉·期末
题干
6 . 已知
a，
b，
c分别是
Rt△
ABC的三条边长，
c为斜边长，∠
C＝90°，我们把关于
x的形如
y＝
的一次函数称为“勾股一次函数”．若点
P（﹣1，
）在“勾股一次函数”的图象上，且
Rt△
ABC的面积是
，则
c的值是（ ）
| A．6 | B．12 | C．2 | D．3 |
题目 57
第 6 页
来源：19-20七年级下·湖北武汉·期中
题干
7 . 若定义：
f(
a,
b)＝(-
a,
b)，
g(
m,
n)＝(
m,-
n)，例如
f(1,2)＝(-1,2)，
g(-4,-5)＝(-4,5)，则
g(
f(3,-4))的值为（
）
| A．(3,-4) | B．(-3,4) | C．(3,4) | D．(-3,-4) |
题目 58
第 6 页
来源：20-21八年级下·黑龙江哈尔滨·期末
题干
8 . 定义运算：
．例如：
．则方程
的根的情况为（
）．
| A．有两个不相等的实数根 | B．有两个相等的实数根 |
| C．无实数根 | D．只有一个实数根 |
题目 59
第 6 页
来源：20-21七年级下·山东青岛·期中
题干
9 . 若规定运算符号“▲”满足下列各式：
▲
▲
▲
▲
▲
…
根据以上规律，求解下列各题：
（1）
▲
；
（2）若
，求
▲
的值．
题目 60
第 6 页
来源：19-20七年级上·湖南岳阳·期中
题干
10 . 如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，16）＝ ，（2，16）＝ ．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
题目 61
第 7 页
来源：20-21八年级下·北京海淀·期末
题干
1 . 对于任意的有理数
a，
b，如果满足
，那么我们称这一对数
a，
b为“相随数对”，记为（
a，
b）．若（
m，
n）是“相随数对”，则3
m+2[3
m+（2
n﹣1）]＝
___．
题目 62
第 7 页
来源：17-18七年级下·江苏南通·阶段检测
题干
2 . 对于实数
x，我们规定
表示不大于
x的最大整数，如
，
，
．现对16进行如下操作：16第一次
第二次
第三次
，这样对16只需进行3次操作后变为1．类似的，对121只需进行（
）次操作后变为1．
题目 63
第 7 页
来源：21-22七年级上·全国·课后作业
题干
3 . 若规定：
，则（1）
_______；（2）
_______．
题目 64
第 7 页
来源：19-20七年级下·北京·期末
题干
4 . 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b=2a+3b．如：1⊕5=2×1+3×5=17．则不等式x⊕4>0的解集为__________．
题目 65
第 7 页
来源：23-24七年级上·四川乐山·阶段检测
题干
5 . 小成在电脑上设计了一个有理数的运算程序，输入
a，加*键，再输入
b，就可以得到运算
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
题目 66
第 7 页
来源：19-20八年级上·上海浦东新·期末
题干
6 . 阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定
（填“是”或“不是”）奇异三角形；
②若某三角形的三边长分别为1，
，2，则该三角形
（填“是”或“不是”）奇异三角形；
(2)探究：在
中，两边长分别是
a，
c，且
，
，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
题目 67
第 7 页
来源：18-19七年级下·湖北武汉·期末
题干
7 . 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知某加密规则为：明文
，
，
，
对应密文
，
，
，
．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，解密得到的明文是（
）
| A．6，4，1，7 | B．1，6，4，7 | C．4，6，1，7 | D．7，6，1，4 |
题目 68
第 7 页
来源：20-21七年级下·河北邢台·期末
题干
8 . 对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝___．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．
题目 69
第 7 页
来源：21-22七年级下·贵州六盘水·期末
题干
9 . 对于任意的有理数
，
，
，
定义新运算：
．例如：
．
(1)计算：
__________
(2)若
，求
的值．
题目 70
第 7 页
来源：18-19九年级上·全国·单元测试
题干
10 . 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3．若x※4＝0，则x＝___．
题目 71
第 8 页
来源：20-21七年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测
题干
1 . 用符号※定义一种新运算
※
，若3※
，则
x的值为
________．
题目 72
第 8 页
来源：17-18七年级上·全国·课后作业
题干
2 . 大家都知道，六点五十五分可以说成七点差五分、有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成
，
；270写成
，
；7683写成
，
．按这个方法请计算
（
）
题目 73
第 8 页
来源：17-18七年级下·全国·单元测试
题干
3 . 在平面直角坐标系
xOy中，对于点
P（
x，
y），我们把点
P′（﹣
y+1，
x+1）叫做点
P的伴随点．已知点
A1的伴随点为
A2，点
A2的伴随点为
A3，点
A3的伴随点为
A4…，这样依次得到点
A1，
A2，
A3，…，
An，若点
A1的坐标为（3，1），则点
A2019的坐标为（ ）
| A．（0，﹣2） | B．（0，4） | C．（3，1） | D．（﹣3，1） |
题目 74
第 8 页
来源：2021·广东深圳·二模
题干
4 . 定义：x*y＝x－my，如2*3＝2－3m，已知1*2≤5，则m的取值范围是____________
题目 75
第 8 页
来源：22-23七年级上·重庆·期末
题干
5 . 对于实数
，
，定义一种新运算“
”为：
，这里等式右边是通常的实数运算．例如：
，则方程
的解是
______．
题目 76
第 8 页
来源：18-19七年级下·浙江杭州·期中
题干
6 . 对于x，y我们定义一种新运算“※”：x※y=ax+by，其中a，b为常数．等式的右边是通常的加法和乘法运算．已知：5※2=7，3※（-4）=12，则4※3=________
题目 77
第 8 页
来源：2020·山东日照·一模
题干
7 . 阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形
是矩形
的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为
，
时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为
的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
题目 78
第 8 页
来源：20-21七年级下·安徽安庆·期末
题干
8 . 定义
＝
ad﹣
bc，例如：
＝1×4﹣（﹣3）×2＝10，若
≤7，则非负整数
x的个数为（ ）
题目 79
第 8 页
来源：24-25七年级下·山东聊城·期末
题干
9 . 对于有理数，规定新运算：
，其中
是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若
，则
___________．
题目 80
第 8 页
来源：14-15七年级上·山东青岛·课后作业
题干
10 . 若规定一种运算：
，则
___________.
题目 81
第 9 页
来源：20-21七年级上·湖南永州·期末
题干
1 . 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则
的值等于（
）
| A．2021 | B．2020 | C．2021！ | D．2020！ |
题目 82
第 9 页
来源：21-22七年级上·辽宁沈阳·期中
题干
2 . 定义“*”运算：当
a，
b同号时，
a*
b＝＋（
a2＋
b2）；当
a，
b异号时，
a*
b＝﹣（
a2﹣
b2）．
（1）求4*1的值．
（2）求
*[（﹣2）*3]的值．
题目 83
第 9 页
来源：2021·广东佛山·二模
题干
3 . 定义新运算“
”：对于任意实数
、
，都有
，例
．若
，则
的值为
___________．
题目 84
第 9 页
来源：20-21七年级下·安徽蚌埠·期末
题干
4 . 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝3
2﹣1
2，16＝5
2﹣3
2，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（ ）
题目 85
第 9 页
来源：20-21七年级下·福建宁德·期末
题干
5 . 在
中，若最大内角是最小内角的
n倍（
n为大于1的整数），则称
为
n倍角三角形，例如，在
中，
，
，
，则称
为6倍角三角形．
(1)在
中，
，
，则
为______倍角三角形；
(2)若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；
(3)如图，点
E在
DF上，
BE交
AD于点
C，
，
，
，
．找出图中所有的
n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．（直接写出结果）
题目 86
第 9 页
来源：21-22八年级上·北京顺义·期末
题干
6 . 对于任意的正数
，
，定义运算“*”如下：
，计算
的结果为
___________．
题目 87
第 9 页
来源：19-20七年级上·河北张家口·期末
题干
7 . 定义新运算“※”，其运算规则为
，如
，则方程
的解为
_____．
题目 88
第 9 页
题干
8 . 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如
＝1+
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像
……这样的分式是假分式；像
，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
（1）分式
是
分式（填“真”或“假”）；
（2）将分式
化成整式与真分式的和的形式；
（3）如果分式
的值为整数，求
x的整数值．
题目 89
第 9 页
来源：20-21七年级下·河南周口·期中
题干
9 . 对于任意一点
，定义变换
：
．例如
．据此得
的结果是（
）
题目 90
第 9 页
来源：2021·河北唐山·一模
题干
10 . 对于实数
、
，定义关于“
”的一种运算：
．例如
．
（1）求
的值；
（2）若
，
，求
和
的值．
题目 91
第 10 页
来源：20-21七年级上·重庆铜梁·期末
题干
1 . 定义有理数a，b之间的一新运算：若
，则
，例如
．
（1）求
的值；
（2）如果
，求x的值．
题目 92
第 10 页
来源：20-21八年级上·四川乐山·期末
题干
2 . 定义：用符号
表示一个实数
的整数部分，例如：
，
，
．按此定义，计算
________．
题目 93
第 10 页
来源：19-20八年级上·四川成都·期末
题干
3 . 对于整数a，b，c，d，符号
表示运算ad-bc，已知1＜
＜3，则bd的值是
______．
题目 94
第 10 页
来源：20-21七年级上·重庆万州·期末
题干
4 . 定义“*”是一种运算符号，规定
，则
的值为
____．
题目 95
第 10 页
来源：19-20七年级上·江苏泰州·期末
题干
5 . 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab
2+2ab+a．如：1*3=1×3
2+2×1×3+1=16．
（1）求（-4）*2的值；
（2）若（
）*（-3）=a-1，求a的值．
题目 96
第 10 页
来源：2021·湖北荆门·模拟预测
题干
6 . 如图，已知抛物线
y1＝﹣
x2+4
x和直线
y2＝2
x．我们约定：当
x任取一值时，
x对应的函数值分别为
y1、
y2，若
y1≠
y2，取
y1、
y2中的较小值记为
M；若
y1＝
y2，记
M＝
y1＝
y2．则①当
x＞4时，
M＜0；②当
x＜2时，
随着
增大而增大；③使得
M大于4的
x值不存在；④若
M＝2，则
，其中正确的有
______（填写序号）
题目 97
第 10 页
来源：2021·河南开封·一模
题干
7 . 定义运算：
．例如：
．则方程
的根的情况为（
）
| A．无实数根 | B．只有一个实数根 | C．有两个相等的实数根 | D．有两个不相等的实数根 |
题目 98
第 10 页
来源：20-21八年级下·内蒙古通辽·期末
题干
8 . 对于任意不相等的两个实数
，
，新定义一种运算“※”如下：
※
，则2※
______．
题目 99
第 10 页
来源：19-20七年级下·四川成都·期中
题干
9 . 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值
称为这个等腰三角形的“特征值”﹒若等腰
中，
，则它的特征值
_________________．
题目 100
第 10 页
来源：14-15七年级下·吉林通化·期末
题干
10 . 对于
x，
y定义一种新运算“
”，
，其中
a，
b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知
，
，则
的值为
______．
题目 101
第 11 页
来源：20-21八年级上·北京·阶段检测
题干
1 . 若约定
，如
，则
等于
___________．
题目 102
第 11 页
来源：21-22七年级下·江苏盐城·期中
题干
2 . 规定
，例如：
，若
，则
x的值为
______．
题目 103
第 11 页
来源：19-20七年级下·湖北随州·期末
题干
3 . 对于实数
，
定义运算“
”：
．例如
，因为
，所以
．若
，
满足方程组
，则
______．
题目 104
第 11 页
来源：20-21七年级上·安徽亳州·阶段检测
题干
4 . 若规定这样一种新运算法则：
，如
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值．
题目 105
第 11 页
来源：20-21八年级下·湖北武汉·期中
题干
5 . 对于任意的正数
a、
b定义运算“
★”为：
a★b＝
，则（3
★2）×（8
★12）的运算结果为
___．
题目 106
第 11 页
来源：20-21八年级下·湖南长沙·期末
题干
6 . 定义一种新运算
，例如
，若
，则
______．
题目 107
第 11 页
来源：20-21七年级上·湖南长沙·期末
题干
7 . 对于任意有理数
a，定义运算▽：当
时，▽
；当
时，▽
．则
____．
题目 108
第 11 页
题干
8 . 定义运算“※”：
，若
的值为整数，则整数
x的值为
_______．
题目 109
第 11 页
来源：20-21七年级上·天津和平·期中
题干
9 . 用“※”定义新运算：对于有理数
都有：
，那么当
为有理数时，
________________(用含
的式子表示)
题目 110
第 11 页
来源：20-21八年级下·广东深圳·期末
题干
10 . 定义新运算：
，例如
，则方程
的解为
______．
题目 111
第 12 页
来源：21-22七年级上·四川成都·阶段检测
题干
1 . 定义新运算：a☆b＝10a×10b．
（1）试求：12☆3和4☆8的值；
（2）判断（a☆b）☆c是否与a☆（b☆c）相等？验证你的结论．
题目 112
第 12 页
来源：21-22八年级上·四川巴中·期末
题干
2 . 阅读理解：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a、b为实数，且b≠0）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝2×3+2i﹣3i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i．
根据以上信息，计算（3+i）（1﹣3i）＝_____．
题目 113
第 12 页
来源：20-21七年级上·福建泉州·期末
题干
3 . 现定义某种新运算：对任意两个有理数a，b，有a※b＝a×|b|，如：2※3＝2×|3|＝6，4※（a＋1）=4×|a＋1|，若x<0化简:1※（－x）=__________．
题目 114
第 12 页
来源：20-21七年级上·安徽合肥·期末
题干
4 . 若定义新运算
，则
的值为
____．
题目 115
第 12 页
来源：21-22九年级上·江苏扬州·期末
题干
5 . 定义一种新的运算方式：
（其中
且
n是整数），例如
，
．
(1)若
，求
n的值；
(2)记
，当
时，求
n的取值范围．
题目 116
第 12 页
来源：2019·重庆九龙坡·模拟预测
题干
6 . 阅读以下材料：
材料一：如果两个两位数
和
将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数
，
，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”．
例如：
，所以，46和96是一对“有缘数对”，
材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．
例如：计算
，令：
，
原式
解决如下问题：
（1）①请任写一对“有缘数对”____________和____________．
②并探究“有缘数对”
和
，
，
，
，
之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．
（2）若两个两位数
与
是一对“有缘数对，请求出这两个两位数．
题目 117
第 12 页
来源：16-17七年级上·湖南娄底·期中
题干
7 . 规定一种新运算：
a＃
b ＝
，求2＃（﹣3）的值．
题目 118
第 12 页
来源：2021·河北石家庄·二模
题干
8 . 定义运算“*”：对于任意有理数
a和
b，规定
，如
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
a的值．
题目 119
第 12 页
来源：2021·河南洛阳·三模
题干
9 . 定义
，例如
，若方程
的一个根是
，则此方程的另一个根是（
）
题目 120
第 12 页
来源：21-22七年级上·广东深圳·期中
题干
10 . 在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．则当x＝2时，（1⊕x）﹣（3⊕x）的值为 ___．
题目 121
第 13 页
来源：18-19七年级上·浙江宁波·期末
题干
1 . “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在
世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算
，将乘数
计 入上行，乘数
计入右行，然后以乘数
的每位数字乘以乘数
的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得
．如图
，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则
的值为
____________．
题目 122
第 13 页
来源：22-23七年级下·湖南衡阳·期末
题干
2 . 定义一种新运算，观察下列各式：
；
；
；
；……
(1)请你想一想：用代数式表示
的结果为
；
(2)若
，请计算
的值．
题目 123
第 13 页
来源：19-20七年级下·内蒙古乌兰察布·期末
题干
3 . 定义新运算“⊗”：
x⊗
y
，求2⊗6
___．
题目 124
第 13 页
来源：20-21七年级下·宁夏吴忠·期末
题干
4 . 定义一种新的运算：
，例如：
，那么若
，那么
_________．
题目 125
第 13 页
来源：20-21八年级上·吉林长春·期中
题干
5 . 若规定，
f（
x）表示最接近
x的整数（
x≠
n+0.5，
n整数）例如：
f（0.7）＝1，
f（2.3）＝2，
f（5）＝5，则
f（1）+
f（
）+
f（
）+…+
f（
）的值（ ）
题目 126
第 13 页
来源：19-20七年级上·全国·课后作业
题干
6 . 若
表示运算x+z-（y+w），则
的运算结果是（ ）
题目 127
第 13 页
来源：19-20七年级下·湖北十堰·期末
题干
7 . 在实数范围内定义一种新运算“
”，其运算规则为：
．如：
，则不等式
的解集为
_____．
题目 128
第 13 页
来源：20-21九年级上·四川成都·期末
题干
8 . 对于三个数
，用
表示这三个数的中位数，用
表示这三个数中最大数，例如：
，
，
，解决问题：
____．如果
，则
的取值范围为
____．
题目 129
第 13 页
来源：20-21七年级下·浙江湖州·期末
题干
9 . 定义运算“*”，规定
，其中
，
为常数，且
，
，则
______．
题目 130
第 13 页
来源：18-19八年级上·贵州贵阳·阶段检测
题干
10 . 若规定一种新运算为a★b＝
(b－a)，例如：3★5＝
×(5－3)＝2
，则
★
＝
________．
题目 131
第 14 页
题干
1 . 用“
”定义新运算：对于任意实数
a，
b，都有
．那么
____．
题目 132
第 14 页
来源：23-24九年级上·山东枣庄·阶段检测
题干
2 . 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为
，根据这个规则，求
(1)
的值；
(2)
中
x的值．
题目 133
第 14 页
来源：20-21七年级上·重庆·期中
题干
3 . 用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16，则(-2)☆3的值为_______．
题目 134
第 14 页
来源：19-20八年级下·四川成都·期中
题干
4 . 对于两个不相等的实数
、
，我们规定符号
表示
、
中的较小的值，如
，按照这个规定，方程
的解为（
）．
题目 135
第 14 页
来源：20-21七年级上·浙江嘉兴·期末
题干
5 . 定义一种新运算：
，则
_______．
题目 136
第 14 页
来源：17-18七年级上·湖北孝感·阶段检测
题干
6 . 对
a，
b定义运算“
”如下：
已知
，则实数
x等于
______．
题目 137
第 14 页
来源：21-22七年级上·北京门头沟·期末
题干
7 . 规定：符号“&”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则（﹣4◎3）×（2&﹣5）的结果为__．
题目 138
第 14 页
来源：20-21七年级上·河南郑州·期中
题干
8 . 已知
a为有理数，定义运算符号为※：当
时，
；当
时，
．则
等于（）
| A． | B．5 | C． | D．10 |
题目 139
第 14 页
来源：21-22七年级上·北京·期中
题干
9 . 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定：(a，b)♦(c，d)＝bc﹣ad．例如：(1，2)♦(3，4)＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对(2，﹣3)♦(3，2)＝ ；
（2）若有理数对(﹣3，2x﹣1)♦(1，x+1)＝7，则x＝ ．
题目 140
第 14 页
来源：19-20七年级上·山东潍坊·期末
题干
题目 141
第 15 页
来源：20-21八年级下·北京延庆·期中
题干
1 . 如图，在平面直角坐标系
xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数
的图象与直线
及
轴围成三角形
．（1）当正比例函数
的图象过点（1，1）；
①
的值为___________；
②此时围成的三角形内的“整点坐标”有_________个；写出“整点坐标”_______________________；
（2）若在
轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求
的取值范围．
题目 142
第 15 页
来源：20-21七年级上·云南昆明·期中
题干
2 . 对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}=4．按照这个规定，那么方程max{x，-x}=3x-2的解为（
）
题目 143
第 15 页
来源：20-21七年级下·江苏扬州·期中
题干
3 . 任何一个正整数
n都可以进行这样的分解：
（
s、
t是正整数，且
s≤
t），如果
在
n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称
是
n的最佳分解，并规定：
F(
n)＝
．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有
F(18)＝
＝
．给出下列关于
F(
n)的说法：①
F(2)＝
；②
F(48)＝
；③
F(
n2+
n)＝
；④若
n非0整数，则
F(
n2)＝1，其中正确说法的是
______（将正确答案的序号填写在横线上）．
题目 144
第 15 页
来源：15-16七年级上·辽宁丹东·期中
题干
4 . 定义运算“※”的运算法则为：x※y=xy+6，则﹣2※3=_____．
题目 145
第 15 页
来源：19-20七年级上·广东深圳·期中
题干
5 . 如果对于任何非零有理数a，b定义一种新的运算“★”如下：a★b＝
，则﹣4★2的值为
_____．
题目 146
第 15 页
来源：2013·新疆乌鲁木齐·中考真题
题干
6 . 对平面上任意一点（
a，
b），定义
f，
g两种变换：
f（
a，
b）=（
a，﹣
b）．如
f（1，2）=（1，﹣2）；
g（
a，
b）=（
b，
a）．如
g（1，2）=（2，1）．据此得
g（
f（5，﹣9））=
| A．（5，﹣9） | B．（﹣9，﹣5） | C．（5，9） | D．（9，5） |
题目 147
第 15 页
来源：13-14九年级·浙江温州·周测
题干
7 . 对于非零的两个实数a 、b，规定
，若
，则x的值为（
）
题目 148
第 15 页
来源：2021·浙江金华·一模
题干
8 . 用“
”定义新运算：对于任意实数
a，
b都有
，如果
，那么
_______．
题目 149
第 15 页
来源：20-21七年级上·湖北武汉·期末
题干
9 . 有
个自然数
满足条件
（
，并且
）若
，则
_____________．
题目 150
第 15 页
来源：2020·河北唐山·一模
题干
10 . 在实数范围定义一种新运算
（加减乘除是普通的运算），例如：
，计算
_______，若
，则
_______．
题目 151
第 16 页
来源：19-20七年级上·全国·课后作业
题干
1 . （规律探究题）对于有理数a、b，定义运算：a
b= a×b+a+b+1，请根据定义计算（-3）
4的值．
题目 152
第 16 页
来源：19-20七年级上·河南三门峡·期中
题干
2 . 在学习完有理数后，小原对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算定义了 一种新运算“
”，规则如下：
ab=
ab+2
a，请你帮助小原计算-3
(-4
)的值为
______．
题目 153
第 16 页
来源：17-18七年级下·江苏无锡·阶段检测
题干
3 . 我们规定这样一种运算：如果a
bN
a
0，N
0
，那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：b
logaN，例如：因为2
38，所以log
28
3，那么log
381的值为（
）
题目 154
第 16 页
来源：20-21七年级下·安徽滁州·期末
题干
4 . 规定
的运算法则是
，例如
．
（1）计算
；
（2）若
，求
x的取值范围．
题目 155
第 16 页
来源：21-22九年级上·江苏泰州·期中
题干
5 . 对于实数
a，
b，定义运算“*”：
，例如4*2，因为4>2，所以4*2=4
2－4×2=8． 若
a，
b是一元二次方程
x2-2
x-3=0的两个根，则
a*
b=
________．
题目 156
第 16 页
来源：2014·湖南常德·中考真题
题干
6 . 阅读理解：
如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
| A．（60°，4） | B．（45°，4） | C．（60°，2） | D．（50°，2） |
题目 157
第 16 页
来源：18-19七年级上·江苏苏州·阶段检测
题干
7 . 对于有理数
，定义运算
．
（1）计算
的值；
（2）填空：
______________
（填“>”或“=”或“<”）
题目 158
第 16 页
来源：2021·河南驻马店·二模
题干
8 . 对于函数
，规定
，例如，若
，则有
．已知函数
，那么方程
的解的情况是（
）
| A．有一个实数根 | B．没有实数根 |
| C．有两个不相等的实数根 | D．有两个相等的实数根 |
题目 159
第 16 页
来源：20-21七年级上·广西桂林·阶段检测
题干
9 . 我们规定“※”是一种新定义运算符号，即
※
B
，例如：1※2
，计算
※[4※
]=
______．
题目 160
第 16 页
来源：20-21七年级上·重庆·期中
题干
10 . 定义一种新运算“*”：
，如
，则
_________．
题目 161
第 17 页
来源：19-20七年级上·河北保定·期中
题干
1 . 新定义一种运算：
，例如：
，则
______．
题目 162
第 17 页
来源：21-22七年级上·山东菏泽·期末
题干
2 . 根据需要，我们重新定义一种新的运算：当
时，
；当
时，
．例如：
，那么：
_________．
题目 163
第 17 页
来源：19-20七年级下·安徽合肥·开学考试
题干
3 . 运算符号⊗的含义是a⊗b＝
，则（1＋x）⊗（1﹣2x）＝5时x的值为
__．
题目 164
第 17 页
来源：20-21七年级上·吉林长春·阶段检测
题干
4 . 阅读短文，完成问题：
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；
；
；
；
；
．
下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（
）
| A．两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 |
| B．0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身 |
C． |
| D．加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用 |
题目 165
第 17 页
来源：24-25七年级下·甘肃兰州·期中
题干
5 . 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号
来表示．例如：
，当
时，多项式的值用
来表示．例如
时，多项式
的值记为
．
（1）已知
，求
值；
（2）已知
，当
，求
的值；
（3）已知
（
为常数），若对于任意有理数k，总有
，求
的值．
题目 166
第 17 页
来源：20-21九年级下·河南郑州·阶段检测
题干
6 . 在实数范围内，对于任意实数
，
规定一种新运算：
．例如：
．若
，则
________．
题目 167
第 17 页
来源：21-22七年级上·四川达州·期中
题干
7 . 我们平常的数都是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数码(也叫数字)：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用二进制只要两个数码0和1．如二进制数101=1×22+0×21+1=5，故二进制的101等于十进制的数5，10111=1×24+0×23+1×22+1×2+1=23，故二进制的1011等于十进制的数23，那么二进制的101011等于十进制的数_____．
题目 168
第 17 页
来源：14-15九年级上·浙江宁波·期中
题干
8 . 设
表示大于x的最小整数，如
，
，则下列结论中正确的有（
）
①
；
②
的最小值是0；
③
的最大值是0；
④存在实数x，使
成立
题目 169
第 17 页
来源：2021·广东清远·一模
题干
9 . 对于任意实数
a，
b，定义关于“
”的一种运算如下：
．例如：
（1）若
，且
，求
x，
y的值；
（2）在（1）的条件下，求以
x，
y为边长的等腰三角形的面积．
题目 170
第 17 页
来源：20-21九年级上·江苏镇江·阶段检测
题干
10 . 在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则为：a*b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求5*2值；
（2）求（x-2）*6=0中x的值．
题目 171
第 18 页
来源：20-21七年级上·吉林延边·期末
题干
1 . 如果定义新运算“*”，满足
，那么
_______．
题目 172
第 18 页
来源：20-21七年级上·江苏南京·期中
题干
2 . 定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：
①1⊙3＝1×3－（－1）－（－3）＝7，
②（－1）⊙（－2）＝（－1）×（－2）－1－2＝－1，
③0⊙（－2）＝0×（－2）－0－2＝－2，
④4⊙（－3）＝4×（－3）－（－4）－3＝－11，
……
（1）计算（－5）⊙3的值；
（2）有理数的加法和乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？请说明理由．
题目 173
第 18 页
来源：2025八年级上·全国·专题练习
题干
3 . 对于实数
a、
b，定义一种新运算“Θ”为：
aΘ
b＝
，例如：1Θ2＝
，则
xΘ（﹣2）＝
﹣1的解是（ ）
题目 174
第 18 页
来源：20-21七年级上·山东枣庄·期末
题干
4 . 如果
xn＝
y，那么我们记为：（
x，
y）＝
n．例如3
2＝9，则（3，9）＝2．
(1)根据上述规定，填空：（2，8）＝_______，（2，
）＝_______；
(2)若（4，
a）＝2，（
b，8）＝3，求（
b，
a）的值．
题目 175
第 18 页
题干
5 . 定义运算a
⨂b
，则（﹣2）
⨂4＝（ ）
题目 176
第 18 页
来源：19-20七年级下·广东河源·阶段检测
题干
6 . 用“
”定义新运算：对于任意实数
a，
b，都有
例如，
，那么
______ ．
题目 177
第 18 页
来源：18-19八年级下·山东潍坊·期中
题干
7 . 阅读下列材料，然后解答问题:
在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如:
，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:
；
以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．
请参照以上方法化简:
（1）
（2）
（3）
题目 178
第 18 页
来源：21-22七年级上·广东广州·期中
题干
8 . 对于有理数
a，
b，定义一种新运算，规定
a※
b＝﹣
a2﹣
b，则（﹣2）※（﹣3）＝（ ）
题目 179
第 18 页
题干
9 . 对于两个不相等的实数
a､
b，我们规定符号
表示
a､
b中较大的数，如：
．按照这个规定，方程
的解为（ ）
题目 180
第 18 页
来源：20-21七年级上·甘肃白银·期中
题干
10 . 规定⊗是一种新运算规则：a⊗b＝a2﹣b2，例如：2⊗3＝22﹣32＝4﹣9＝﹣5，则5⊗[1⊗（﹣2）]＝__________．
题目 181
第 19 页
来源：20-21七年级上·四川达州·期末
题干
1 . 阅读理解题，阅读下列材料：若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．
（1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”；
（2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”．
题目 182
第 19 页
来源：19-20七年级上·湖北十堰·期末
题干
题目 183
第 19 页
来源：20-21九年级上·江苏苏州·期中
题干
3 . 定义运算：
．若
a，
b是方程
的两根，则
的值是（
）
| A．0 | B． | C．2 | D．2m |
题目 184
第 19 页
来源：18-19七年级上·江苏无锡·阶段检测
题干
4 . 如果规定符号“*”的意义是
，则
的值等于
______．
题目 185
第 19 页
来源：19-20八年级上·浙江宁波·期末
题干
5 . 对于实数
，
，定义运算“
”如下：
．若
，则
_____．
题目 186
第 19 页
来源：2021·广西百色·一模
题干
6 . 对于实数
a、
b定义新运算“
”如下：
，如
，
，若一元二次方程
的两根为
(
),则
的 结果是（
）
题目 187
第 19 页
题干
7 . 定义运算：
．若
是方程
的两根，则
的值为（ ）
| A．0 | B．1 | C．2 | D．与有关 |
题目 188
第 19 页
来源：2021·四川达州·一模
题干
8 . 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数
n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取
n＝12，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（
）
题目 189
第 19 页
来源：2021·山西阳泉·一模
题干
9 . 定义：如图，点
C、点
D把线段
分割成
、
和
，若以
、
、
为边的三角形是一个直角三角形，则称点
C、点
D是线段
的勾股分割点．已知点
M、点
N是线段
的勾股分割点，
，
，则
____
题目 190
第 19 页
来源：21-22七年级上·贵州铜仁·期末
题干
10 . 定义符号“*”表示的运算法则为
，若
，则
x=
______________．
题目 191
第 20 页
来源：18-19七年级上·广西南宁·期中
题干
题目 192
第 20 页
来源：20-21九年级上·江苏南通·期中
题干
2 . 在平面直角坐标系xOy中，对于点
和
，给出如下定义：
如果
那么称点Q为点P的“倍高点”．
例如：点
的“倍高点”为点
，点
的“倍高点”为点
．
（1）点
的“倍高点”为______；如点
，
的“倍高点”中有一个在函数
的图象上，那么这个点是______（填“点A”或“点B”）．
（2）如果点
是二次函数
图象上点M的“倍高点”，那么点M的坐标为______；如果点
是二次函数
图象上点N的“倍高点”，求m的值．
（3）如果点P在函数
的图象上，其“倍高点”Q的纵坐标
的取值范围是
，那么实数a的取值范围是______．
题目 193
第 20 页
来源：20-21七年级上·河南驻马店·期中
题干
3 . 中考新趋势·新定义 若
，
是有理数，定义一种运算“
”：
．
(1)计算
的值；
(2)计算
的值；
(3)定义的新运算“
”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
题目 194
第 20 页
来源：20-21七年级上·江苏扬州·阶段检测
题干
4 . 规定符号（
a，
b）表示
a、
b 两个数中较小的一个，规定符号[
a，
b]表示两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．
（1） 计算：（－2，3）＋[
，（2，
）]；
（2） 若（
m，
m-2）+3[-
m，-
m-1]=-5，求
m 的值．
题目 195
第 20 页
来源：18-19八年级下·河北石家庄·阶段检测
题干
5 . 规定运算：
，
，其中
，
是实数，则
的值是（
）
题目 196
第 20 页
来源：21-22七年级上·云南昭通·期中
题干
6 . 定义新运算：a*b=b²-|a|，例如：（-1）*2=22-|-1|=4-1=3．请计算下列式子的值：
（1）（-4）*5
（2）（-3）*[4*（-2）]
题目 197
第 20 页
来源：20-21八年级上·福建厦门·期中
题干
7 . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（
，
，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（
）
题目 198
第 20 页
来源：20-21七年级上·四川达州·期末
题干
题目 199
第 20 页
来源：20-21七年级下·重庆梁平·期末
题干
9 . 对于任意不相等的两个正实数
，
，定义运算△如下：
，如
，那么
的立方根是
______．
题目 200
第 20 页
来源：20-21八年级下·湖北十堰·期中
题干
10 . 规定
为不大于
的最大整数，如
．若
，则
的取值范围为
__________．
题目 201
第 21 页
来源：20-21七年级上·辽宁大连·期末
题干
1 .
a，
b，
c，
d为有理数，现规定一种运算：
，那么当
时
x的值是
________．
题目 202
第 21 页
来源：19-20七年级下·浙江台州·期中
题干
2 . 定义一种新的运算“※”，规定：
※
，其中
、
为常数，已知2※
，3※
，则
※
(
)．
题目 203
第 21 页
来源：2021·河南平顶山·二模
题干
题目 204
第 21 页
来源：20-21七年级上·安徽合肥·期中
题干
4 . 定义新运算：aΩb＝﹣b+ab，例如：（﹣4）Ω3＝﹣3+（﹣4）×3＝﹣15，那么（﹣1）Ω（﹣2）＝_____．
题目 205
第 21 页
来源：21-22七年级上·江西上饶·期末
题干
5 . 规定一种运算“※”，其运算规则是：a※b＝ab＋（a－b）
(1)计算3※2的值；
(2)若3※x＝13，求x的值．
题目 206
第 21 页
来源：20-21八年级上·贵州六盘水·期末
题干
6 . （1）化简：
＋|
﹣
|＋4
；
（2）对于任意正数
a、
b，定义运算
a*
b＝
；计算：（4*3）×（25*27）．
题目 207
第 21 页
来源：20-21七年级上·河北沧州·期末
题干
7 . 规定一种新运算法则：
．例如：
．请用上述运算法则计算下面各式的值．
（1）
；
（2）
．
题目 208
第 21 页
来源：20-21八年级上·吉林长春·期中
题干
8 . 对于任意实数，若规定
＝
ad﹣
bc，则当
x2﹣2
x﹣5＝0时，
＝
_____．
题目 209
第 21 页
来源：20-21七年级下·福建三明·期中
题干
9 . 定义一种新运算“⊙”，其运算方式如下列各式所示：
1⊙3=1×4+3=7
3⊙（-1）=3×4-1=11
5⊙4=5×4+4=24
4⊙（-3）=4×4-3=13
请解决下列问题：
（1）直接写出结果：4⊙5=______；（-3）⊙4=______；
（2）若a⊙（-2b）=4，请计算 （a-2b）⊙（4a+4b）的值．
题目 210
第 21 页
来源：2021·北京海淀·模拟预测
题干
10 . 从
四个数中任取两个不同的数（记作
）构成一个数组
（其中
且将
与
视为同一个数组），若满足：对于任意的
和
都有
则
的最大值
______________．
题目 211
第 22 页
来源：2020·河北·模拟预测
题干
1 . 定义一种新运算：
．例如：
．
（1）求
的值；
（2）已知，算式“
”的最终结果是1，“●”部分的值和
相等，且
，求锐角
的值．
题目 212
第 22 页
来源：19-20七年级上·北京房山·期末
题干
2 . 规定
，例如
．
（1）计算
的值；
（2）若
=-4，求
x的值．
题目 213
第 22 页
来源：21-22七年级上·湖北孝感·阶段检测
题干
3 .
现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b，有a☆b＝a×|
b|
，有括号的先算括号里面的．如：2
☆3
＝2
×|3|
＝6
，4
☆（a+1
）＝4
×|
a+1|
．（1
）计算：☆[
（﹣3
）☆（﹣2
）]
；（2
）若x＞0
，y＜0
，试化简：x☆（﹣2
y）．题目 214
第 22 页
来源：20-21七年级上·山东聊城·期中
题干
题目 215
第 22 页
来源：18-19七年级上·山东德州·阶段检测
题干
题目 216
第 22 页
来源：19-20七年级上·江苏盐城·期中
题干
6 . 规定a﹡b=a＋b－1，则（－4）﹡6的值为________．
题目 217
第 22 页
来源：20-21七年级下·湖北十堰·期中
题干
7 . 对于x、y定义一种新运算“※”：x※y=ax-by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2※1=7，1※（-3）=7，求5※3的值．
题目 218
第 22 页
来源：20-21七年级上·四川成都·期末
题干
8 . 规定一种新运算a*b＝a﹣b2，则3*（﹣2）＝_____．
题目 219
第 22 页
来源：19-20六年级下·全国·单元测试
题干
题目 220
第 22 页
来源：20-21七年级上·云南昆明·期中
题干
10 . 定义新运算
，当
时，
___________题目 221
第 23 页
来源：20-21七年级上·山东德州·期末
题干
题目 222
第 23 页
来源：20-21七年级下·内蒙古通辽·期末
题干
2 . 定义运算“*”的运算法则为：
，比如
，则
________．
题目 223
第 23 页
来源：21-22六年级上·上海杨浦·期中
题干
3 . 如果
＝
ad﹣
bc，那么当
a＝
，
b＝3，
c＝
，
d＝2
时，
＝
_______．
题目 224
第 23 页
来源：20-21八年级下·河南新乡·期中
题干
4 . 对于任意不相等的两个实数
a、
b，定义运算“※”如下：
a※
b＝
，那么10※6＝
___．
题目 225
第 23 页
来源：21-22七年级上·福建三明·期中
题干
5 . 探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：
（+2）※（+4）=+6；（
3）※（
4）=+7
（
2）※（+3）=
5；（+5）※（
6）=
11
0※（+9）=+9；（
7）※0=+7
小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算：
（1）计算：（
11）※（
4）；（+7）※（
9）
（2）计算：（
5）※〔0※（
3）〕
题目 226
第 23 页
来源：21-22七年级上·江西南昌·期中
题干
6 . 定义一种新的运算a△b＝ab，如2△3＝23＝8，求
（1）3△2；
（2）（3△2）△2；
（3）3△（2△2）．
题目 227
第 23 页
来源：15-16七年级上·江苏扬州·阶段检测
题干
7 . 定义一种新运算：a※b=a+b﹣ab，如2※（﹣2）=2+（﹣2）﹣2×（﹣2）=4，那么，（﹣1）※（﹣4）=______．
题目 228
第 23 页
来源：20-21七年级下·江苏苏州·阶段检测
题干
8 . 定义一种新运算“
”：当
时，
；当
时，
．例如：
，
．若
，则
x的取值范围为
________．
题目 229
第 23 页
来源：21-22七年级上·陕西西安·期中
题干
9 . 对于有理数a，b，定义新运算a*b＝3a﹣2b，先化简再求值（x﹣y）*（x+y），其中x＝3，y＝4．
题目 230
第 23 页
来源：21-22七年级上·四川达州·期中
题干
10 . a、b为有理数，规定一种新运算“＊”，如a＊b=ab+a2-1，则-3＊2=_____．
题目 231
第 24 页
来源：20-21七年级下·辽宁大连·期末
题干
1 . 在实数范围内定义新运算：
；若不等式
的解集是
，则
的值是
______．
题目 232
第 24 页
来源：20-21七年级下·江西抚州·期中
题干
2 . 定义一种新运算
※
，例如
※
．按照这种运算规定，当
※
时，则
______．
题目 233
第 24 页
来源：19-20七年级上·江西赣州·期末
题干
3 . 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a，b)与(c，d)．我们规定(a，b)※(c，d)=bc-ad
例如:(1，2)※(3，4)=2×3-1×4=2
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对(4，-3)※(3，-2)=_______
（2）若有理数对(-3，2x-1)※(1，x+1)=7，则x=______
（3）当满足等式(-3，2x-1)※(k，x+k)=5+2k的x是非零整数时，求整数k的值．
题目 234
第 24 页
来源：17-18九年级上·湖北孝感·期中
题干
4 . 对于实数
a、
b，定义运算“*”：
a*
b＝
，例如：4*2，所以4*2＝4
2﹣4×2＝8，若
x1、
x2是一元二次方程
x2﹣5
x﹣6＝0的两个根，那么
x1*
x2＝
_________．
题目 235
第 24 页
来源：21-22七年级上·辽宁鞍山·阶段检测
题干
5 . 用“*”定义新运算：对于任意实数
，
，都有
，例如：
．
计算下列各式的结果：
；
．
题目 236
第 24 页
来源：20-21七年级下·湖南娄底·期末
题干
6 . 对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣2，3）＝（1，﹣5），若f（﹣3，﹣1）＝（3，1），则a+b＝_________________．
题目 237
第 24 页
来源：18-19七年级上·四川德阳·期中
题干
题目 238
第 24 页
来源：21-22七年级上·四川德阳·阶段检测
题干
8 . 定义一种新运算：
，
．则当
时，
的结果为
______．
题目 239
第 24 页
来源：20-21七年级上·湖北宜昌·期中
题干
9 . 现规定一种新的运算：
，则
（ ）
| A．6 | B． | C．1 | D． |
题目 240
第 24 页
来源：20-21八年级下·贵州毕节·期末
题干
10 . 定义运算：
，则方程2*(
x+1)＝3*(2
x)的解为
__________．
题目 241
第 25 页
来源：20-21七年级上·江苏苏州·期中
题干
1 . “！”是基斯顿·卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘．自然数
的阶乘写作
，并且知道：
，
，
，……那么
等于
______．
题目 242
第 25 页
来源：19-20七年级下·广东茂名·期中
题干
2 . 如果
，
，
是整数，且
，那么我们规定一种记号
，例如
，那么记作
，根据以上规定，求
_________．
题目 243
第 25 页
来源：20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期中
题干
3 . 对有理数ab定义运算“⋇”如下：a⋇b=
，则（-4）⋇6=
_________．
题目 244
第 25 页
来源：20-21八年级下·河南新乡·期末
题干
4 . 定义新运算：
m⊕
n＝﹣
（
m≠0），则对于函数
y＝
x⊕3，下列说法正确的是（ ）
| A．当x＞0时，y随x增大而减小 |
| B．该函数图象经过点（3，1） |
| C．该函数图象位于第二、四象限 |
| D．当﹣3＜x＜﹣1时，﹣3＜y＜﹣1 |
题目 245
第 25 页
题干
5 . 定义运算
，请判断下列四个结论是否正确，并说明理由
①
；
②
；
③若
，则
④若
，则
题目 246
第 25 页
来源：18-19七年级下·河南洛阳·期中
题干
6 . 对于有理数
，我们规定
表示不大于
的最大整数，例如
若
则
的取值可以是（
）
题目 247
第 25 页
来源：20-21七年级下·四川眉山·期中
题干
7 . 设
a，
b，
c，
d为有理数，现规定一种新的运算
，则满足
的
x的值为
________．
题目 248
第 25 页
来源：20-21七年级上·四川成都·期中
题干
8 . 若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．则（﹣2）*（6*3）＝_____．
题目 249
第 25 页
来源：21-22七年级上·陕西榆林·阶段检测
题干
9 . 若俩个数的乘积等于
，则称其中一个数是另一个数的负倒数，那么
的负倒数为
________．
题目 250
第 25 页
来源：19-20七年级下·福建三明·期末
题干
10 . 对于任何一个数，我们规定符号
的意义是
，按照这个规定计算
的结果是（
）
题目 251
第 26 页
来源：20-21七年级上·山东临沂·阶段检测
题干
1 . 李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是
．李明计算
，现在轮到王伟计算
，请你帮忙算一算，得
______．
题目 252
第 26 页
来源：2017·内蒙古鄂尔多斯·一模
题干
2 . 新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程
的解为
__．
题目 253
第 26 页
来源：20-21七年级上·江西赣州·阶段检测
题干
3 . 若规定
，试求
的值．
题目 254
第 26 页
来源：19-20七年级下·安徽宿州·期中
题干
4 . 三角形中，一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形是“特征三角形”，其中α为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为102°，那么这个“特征三角形”的最小内角为___________ ．
题目 255
第 26 页
来源：21-22九年级上·河南南阳·期中
题干
5 . 对于实数
，
，定义运算“
”，
．若
，
是一元二次方程
的两个根，则
______．
题目 256
第 26 页
来源：20-21七年级上·湖北襄阳·期中
题干
6 . 定义
为二阶行列式，规定它的运算法则为
＝
ad－
bc．那么二阶行列式
＝
______________________．
题目 257
第 26 页
来源：20-21七年级上·河北秦皇岛·期末
题干
7 . 定义一种新运算“#”，运算规则：a#b=-2a+b，如：1#5=-2×1+5=3，则方程x#4=0的解是________
题目 258
第 26 页
来源：15-16七年级上·江苏苏州·阶段检测
题干
8 . 若规定a*b=2a+b－1，则(－4)*6的值为______.
题目 259
第 26 页
来源：20-21八年级下·湖北十堰·期中
题干
9 . 阅读以下内容，并回答问题：
定义：如果一个数的平方等于
，记为
，这个数
叫做虚数单位，把形如
(
为实数)的数叫做复数，其中
叫做这个复数的实部，
叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
；
．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：
，
；
（2）计算：
题目 260
第 26 页
来源：2020·广东深圳·三模
题干
10 . 若
表示不超过x的最大整数，如
，
，
等，则
______．
题目 261
第 27 页
题干
1 . “*”是新规定的这样一种运算法则：
，比如
．
（1）试求
的值；
（2）用含
的式子表示
；
（3）若
，求
的值．
题目 262
第 27 页
来源：20-21七年级上·广西柳州·期中
题干
2 . 对于有理数a，b，规定一种新的运算：a△b＝ab﹣（a+b），例如，1△2＝1×2﹣（1+2）＝﹣1，则[（﹣1）△2]△4＝__．
题目 263
第 27 页
来源：2020·山东淄博·二模
题干
3 . 已知点
在函数
（
>
）的图象上，点
在直线
上，若
、
两点关于原点对称，则称点
、
为函数
、
图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）
| A．只有1对 | B．只有2对 | C．有1对或2对 | D．有无数对 |
题目 264
第 27 页
来源：19-20七年级下·江苏扬州·期末
题干
4 . 设[
x）表示大于
x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0； ②[
x）﹣
x的最小值是0；③[
x）﹣
x的最大值是1；④存在实数
x，使[
x）﹣
x＝0.6成立．（
）
题目 265
第 27 页
来源：21-22七年级上·河南开封·期中
题干
5 . 已知a、b、c、d为有理数，先规定一种新的运算a*b＝a﹣ab＋a﹣1，那么3*2的值为______．
题目 266
第 27 页
来源：21-22七年级上·陕西渭南·期中
题干
6 . 定义：任意两个数
、
，按照
扩充得到一个新数
，称所得的新数
为
、
的“吉祥数”．
（1）若
，
．求
、
的“吉祥数”
；
（2）若
，
，试说明“吉祥数”
为正数．
题目 267
第 27 页
来源：2019·山东临沂·一模
题干
7 . 对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y＝
．已知二次函数y＝﹣x
2+4x﹣
，当点B(m，
)在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值为
_____．
题目 268
第 27 页
来源：19-20七年级下·山东临沂·期末
题干
8 . 对于实数
，规定一种运算：
（
是常数），已知
，
，则
的值为（
）
题目 269
第 27 页
来源：20-21七年级上·浙江宁波·期中
题干
9 . 用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有
．那么（-3）※8
____题目 270
第 27 页
来源：20-21八年级上·广东江门·期中
题干
10 . 定义：若两个二次根式a、b满足
，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若
与
是关于2的共轭二次根式，则m的值为
___．
题目 271
第 28 页
来源：20-21九年级上·江西吉安·期中
题干
1 . 对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则（m+2）（n+2）＝_____．
题目 272
第 28 页
来源：2013九年级·浙江嘉兴·竞赛
题干
2 . 规定“*”为一种运算，它满足
a*
b=
，那么1992*(1992*1992)=
____ ．
题目 273
第 28 页
来源：20-21七年级上·江西宜春·期中
题干
3 . 定义新运算：
，则
______．
题目 274
第 28 页
来源：20-21七年级上·浙江衢州·期中
题干
4 . 已知
表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时，
．当
时，则x的值为（ ）
题目 275
第 28 页
来源：21-22七年级上·广西柳州·期中
题干
5 . 定义一种新运算“*”，即m*n＝（m+2）×3﹣n．例如2*3＝（2+2）×3﹣3＝9．比较结果的大小：2*（﹣2）的值是____________
题目 276
第 28 页
来源：20-21九年级上·贵州毕节·期末
题干
6 . 对于任意不相等的两个数
，
，定义一种运算※如下：
，如
．那么
_____．
题目 277
第 28 页
来源：2020·山东德州·一模
题干
7 . [问题情境]
我们知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|xA－xB|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离d(P1P2)呢？
下面我们就来研究这个问题．
问题
一般地，已知平面上两点P
1(x
1，y
1)，P
2(x
2，y
2)，如何求点P
1和P
2的距离？
答: 当x
1≠x
2，y
1＝y
2时，|P
1P
2|＝|x
2－x
1|；
当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；
当x
1≠x
2，y
1≠y
2时，如图，
在Rt△P
1QP
2中，由勾股定理知，
|P
1P
2|
2＝|P
1Q|
2＋|QP
2|
2，所以d(P
1，P
2)＝|P
1P
2|＝
.
归纳:两点P
1(x
1，y
1)，P
2(x
2，y
2)间的距离公式d(P
1，P
2)＝|P
1P
2|＝
.
解决问题：
（1）已知A（2，-4），B（-2，3），求d（A,B）
（2）已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．
题目 278
第 28 页
来源：20-21九年级下·湖南郴州·阶段检测
题干
8 . 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为“
a*
b＝
﹣
”，根据这个规则方程（
x﹣1）*
x＝0的解为
_____．
题目 279
第 28 页
来源：20-21七年级上·山东滨州·期末
题干
9 . 规定：
，
，例如
，
.则式子
的最小值是
____．
题目 280
第 28 页
来源：21-22八年级上·上海奉贤·期中
题干
10 . 对于实数a、b，定义一种运算“☆”为：a☆b=a(b+1)-b ，例如3☆2=3(2+1)-2=7，若x☆(x+2)=6，则x的值是_______．
题目 281
第 29 页
来源：19-20九年级下·重庆·阶段检测
题干
1 . 在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”．
定义；对于自然数n，若
的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．
例如：2是“平等数”，因为
；10是“平等数”，因为
；20不是“平等数”，因为
．
（1）判断11和21是否是“平等数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“平等数”的个数．
题目 282
第 29 页
来源：14-15七年级上·湖南娄底·期中
题干
2 . 若“△”表示一种新运算，规定a△b=a×b﹣（a+b），请计算下列各式的值：
（1）﹣3△5；
（2）2△[（﹣4）△（﹣5）]．
题目 283
第 29 页
来源：20-21七年级上·福建厦门·期中
题干
3 . 定义以下新运算，其中符合交换律的运算有
___________________（只填序号）
①
※
②
③
④
⑤
题目 284
第 29 页
来源：19-20九年级下·浙江湖州·阶段检测
题干
4 . 若点
，
分别是两条线段
和
上任意一点，则线段
长度的最小值叫做线段
与线段
的“理想距离”．已知
，线段
与线段
的“理想距离”为2，则
的取值错误的是（
）
| A． | B．0 | C．1 | D．2 |
题目 285
第 29 页
来源：20-21九年级上·湖南衡阳·阶段检测
题干
5 . 若对于实数
定义一种新运算：
，则
的值为
__________．
题目 286
第 29 页
来源：20-21九年级上·吉林长春·阶段检测
题干
6 . 在实数范围内有一种新运算
，求方程
的根．
题目 287
第 29 页
来源：20-21八年级上·河北张家口·期中
题干
7 . 我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若
，则x的取值范围是
________．
题目 288
第 29 页
来源：19-20七年级下·福建泉州·期中
题干
8 . 对于实数
x，符号[
x]表示不大于
x的最大整数解，如：[π]＝3，[6]＝6，[﹣7.5]＝﹣8．若[
]＝2，则
a的值范围是
_____．
题目 289
第 29 页
来源：20-21七年级上·广东东莞·期中
题干
9 . 形如
的式子叫二阶行列式，他的运算法则用公式表示为
，依此法则计算
=（
）
题目 290
第 29 页
来源：18-19七年级上·湖南长沙·阶段检测
题干
10 . P为正整数，现规定P!PP1P2…21，若m!120，则正整数m____．
题目 291
第 30 页
来源：2021·安徽铜陵·二模
题干
1 . 定义：在
的
中，我们把
的对边与
的对边的比叫做
的邻弦，记作
，即
．则
的值为（
）．
题目 292
第 30 页
来源：19-20七年级上·贵州遵义·期末
题干
2 . 如图，给正方形的顶点依次编号为1，2，3，4，从某一个顶点开始沿正方形的边顺时针方向行走，顶点数字是几，就走几个边长，称这种走法为一次“移位”．如：在编号为3的顶点上时，则应走3个边长，即从3→4→1→2为第一次“移位”；到达编号为2的顶点，然后从2→3 →4为第二次“移位”．若从编号为1的顶点开始，第2019次“移位”后到达顶点的编号为（
）
题目 293
第 30 页
来源：18-19七年级下·江西赣州·期末
题干
3 . 对于
、
定义一种新运算“
”:
,其中
、
为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:
,
,那么
_____________.
题目 294
第 30 页
来源：19-20七年级上·山东滨州·期中
题干
4 . 在有理数范围内定义一种运算a*b=
，则2*(-3)=
______题目 295
第 30 页
题干
5 . 请阅读以下材料完成下列问题：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如
，
等．类比有理数的乘方，我们把
把
，读作“2的圈3次方”，
记作
，读作“-3的圈4次方”．一般地，把
（
n个
a且
），读作“
a的圈
n次方”．
（1）直接写出计算结果：
________；
________；
________．
（2）计算：
题目 296
第 30 页
来源：19-20七年级下·云南迪庆·期末
题干
6 . 对于任意不相等的两个数a，b，定义一种新运算“#”，满足：
，例如
，那么2#(-1)=
______________．
题目 297
第 30 页
来源：20-21七年级下·河南洛阳·期末
题干
7 . 规定一种新运算：a*b＝a2﹣2b，若2*[1*（﹣x）]＝6，则x的值为 _____．
题目 298
第 30 页
来源：20-21七年级上·湖北宜昌·期末
题干
8 . 定义运算“
”：
，那么
＝
__________．
题目 299
第 30 页
来源：20-21七年级上·江苏泰州·期中
题干
9 . 我们定义一种新运算：
（1）求
的值；
（2）求
的值．
题目 300
第 30 页
来源：19-20七年级下·湖南长沙·阶段检测
题干
10 . 我们定义一种新运算：
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
x的值．
题目 301
第 31 页
来源：20-21七年级下·安徽淮南·期末
题干
1 . 观察下列两个等式：
，
，给出定义如下：我们称使等式
成立的一对有理数
，
为“共生有理数对”，记为（
，
），如：数对（
，
），（
，
），都是“共生有理数对”．
（1）判断数对（
，1），（
，
）是不是“共生有理数对”，写出过程；
（2）若（
，
）是“共生有理数对”，求
的值；
题目 302
第 31 页
来源：20-21七年级上·重庆万州·期中
题干
2 . 若规定符号“
”的意义是
，例如计算
，请你根据上面的规定，试求
的值．
题目 303
第 31 页
来源：21-22七年级上·江苏扬州·期中
题干
3 . “•”表示一种运算符号，其意义是：a•b＝2a﹣b，求2•[（﹣1）•3]的值为___．
题目 304
第 31 页
来源：25-26七年级上·浙江金华·阶段检测
题干
4 . 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数
a和
b，规定
．如：
．
（1）求
的值；
（2）若
，求
a的值．
题目 305
第 31 页
来源：19-20七年级下·河南许昌·期末
题干
5 . 定义一种新的运算“※”，规定：
※
，
、
为常数，且
※
，
※
，则
__________．
题目 306
第 31 页
来源：20-21八年级下·河南南阳·期末
题干
6 . 在平面直角坐标系
xOy中，对于任意三点
A，
B，
C的“矩积”，给出如下定义：“横底”
a：任意两点横坐标差的最大值；“纵高”
h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”
S＝
ah．例如：三点坐标分别为
A（1，﹣2），
B（2，2），
C（﹣1，﹣3），则“横底”
a＝3，“纵高”
h＝5，“矩积”
S＝
ah＝15．已知点
D（﹣2，3），
E（1，﹣1）．
（1）若点
F坐标为（﹣3，﹣2），直接写出
D，
E，
F三点的“矩积”为
．
（2）若点
F在
x轴上．当
D，
E，
F三点的“矩积”为24时，求点
F的坐标．
（3）在（2）的条件下，若以
D、
E、
F、
P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出
P点坐标．
题目 307
第 31 页
来源：19-20七年级上·浙江绍兴·阶段检测
题干
7 . 对于有理数
a、
b定义一种运算：
，如 1∗2=1
2-1×2，则计算
=
_______________题目 308
第 31 页
题干
8 . 规定符号
的意义为：
，那么
________．
题目 309
第 31 页
来源：18-19七年级下·河北石家庄·期末
题干
9 . 对于实数
，用
表示运算
，例如，
（1）求
（2）分解因式：
题目 310
第 31 页
来源：20-21七年级上·浙江·阶段检测
题干
10 . 定义一种新运算
，计算
的值为
______题目 311
第 32 页
来源：19-20七年级上·全国·课后作业
题干
1 . 对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：a※b=
，则（-3）※（-
）=（
）
| A．-3 | B． | C．3 | D．- |
题目 312
第 32 页
来源：20-21七年级上·浙江金华·期中
题干
2 . 定义一种新运算：观察下列各式：
；
；
；
（1）请你算一算：
_____；
（2）请你想一想：
_____；
（3）若
，请计算
的值．
题目 313
第 32 页
来源：20-21七年级下·湖南张家界·期末
题干
3 . 4个数
a，
b，
c，
d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
，定义
=
ad﹣bc，这个记号就叫做二阶行列式，例如：
=1×4﹣2×3=﹣2，若
=10，求
x的值．
题目 314
第 32 页
来源：2014·四川甘孜·中考真题
题干
4 . 设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算
=ad﹣bc，则满足等式
=1的x的值为__．
题目 315
第 32 页
来源：2020九年级·浙江台州·学业考试
题干
5 . 我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形． 如图，已知
△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
题目 316
第 32 页
来源：19-20七年级下·山西晋城·期末
题干
6 . 对于有理数规定一种运算：
如：
，那么
时，x的值为
_____题目 317
第 32 页
来源：19-20八年级上·四川眉山·期末
题干
7 . 定义：如果一个数的平方等于
，记为
，那么这个数
叫做虚数单位，和我们所学的实数对应起来的数就叫做复数，表示为
（
为实数），
叫做这个复数的实部，
叫做这个复数的虚部，复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如，计算：
（1）填空：
_______，
_______；
（2）计算：
题目 318
第 32 页
来源：20-21七年级上·四川成都·期中
题干
8 . 对于有理数数
a，
b，定义运算“*”：
，例如：
，则
__________．
题目 319
第 32 页
来源：20-21七年级上·江苏宿迁·阶段检测
题干
9 . 现定义某种运算“
”，对任意两个实数a，b，都有a
b=4a−
，例如1
2=4×1−
=0，请按上面定义的运算解答下面问题：
（1）当a=2，b=3时，求2
3的值；
（2）当a=x，b=2时，化简：x
2−2
x；
（3）当a=x，b=3时，且x
3=x，求x的值．
题目 320
第 32 页
来源：19-20七年级上·内蒙古通辽·期中
题干
10 . 对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算：
=ad﹣bc，例如
= 5×（﹣3）﹣1×2 =﹣17．如果
=2，那么m =
_____．
题目 321
第 33 页
来源：20-21七年级上·江苏徐州·期中
题干
1 . 定义一种新的运算“*”，规定：a*b＝a2－2b．计算（－2）*（－3）的结果为___________．
题目 322
第 33 页
来源：18-19七年级上·浙江·课后作业
题干
题目 323
第 33 页
来源：20-21八年级下·浙江杭州·期中
题干
3 . 已知
m，
n是实数，定义运算“*”为：
．
（1）求
的值；
（2）若关于
x的方程
有两个相等的实数根，求实数
a的值．
题目 324
第 33 页
题干
4 . 对于能使式子有意义的有理数
a，
b，定义新运算：
a△
b＝
．如果|
x＋1|＋
＋|
z＋2|＝0，则
x△（
y△
z）＝
__．
题目 325
第 33 页
来源：19-20八年级下·湖南长沙·阶段检测
题干
5 . 定义一种运算
※
=
，根据这个规定，则
※2=
的解为
___________．
题目 326
第 33 页
来源：20-21八年级下·甘肃酒泉·期末
题干
6 . 在实数范围内规定新运算“※”，如果规则是：
，那么不等式
的解集是
________．
题目 327
第 33 页
来源：20-21七年级上·福建厦门·期中
题干
题目 328
第 33 页
来源：18-19八年级下·河北唐山·期中
题干
8 . 在平面直角坐标系中，对于点
，若点
的坐标为
，其中
为常数，则称点
是点
的“
级关联点”，例如，“点
的
级关联点”为
即
，若点
的“
级关联点”是
，则点
的坐标为
_______．
题目 329
第 33 页
来源：20-21七年级上·河南郑州·阶段检测
题干
9 . 定义新运算“
”如下，当
时，
，当
时，
；则
的值为
__________．
题目 330
第 33 页
来源：20-21七年级下·江苏镇江·阶段检测
题干
10 . 对于任意两个实数
a，
b，用
表示这两个数中最小的数．例如：
，
，如果
，那么
x的取值范围为
_________．
题目 331
第 34 页
来源：20-21七年级上·河北石家庄·期中
题干
1 . 如果规定符号“
”的意义是
，则
的值是
_______．
题目 332
第 34 页
来源：18-19七年级上·湖南长沙·阶段检测
题干
2 . 现定义一种新运算：a
b
b
2ab，如：1
2
2
21
2
1，则
2
1
3等于（
）
题目 333
第 34 页
来源：20-21七年级上·安徽·阶段检测
题干
3 . 定义新运算：
．
例如：
．
计算：（1）
______；
（2）
______．
题目 334
第 34 页
来源：20-21七年级上·浙江杭州·期中
题干
4 . 一组数：3，1，7，
x，43，
y，…，满足“从第三个数起，若前两个数依次为
a，
b，紧随其后的数就是
”，例如这组数中的第三个数“7”是由“
”得到的，那么这组数中
___________，
___________．
题目 335
第 34 页
来源：19-20六年级上·全国·单元测试
题干
5 . 定义运算如下：若
，
，，则
，现已知
，
，则计算
____________．
题目 336
第 34 页
来源：20-21七年级上·江苏南通·阶段检测
题干
6 . 规定运算
为：若
，则
；若
，则
；若
，则
．
（1）计算
；
（2）计算
．
题目 337
第 34 页
来源：15-16七年级下·甘肃张掖·开学考试
题干
7 . “*”是规定的一种运算法则：
．那么
的值为
_____；若
，那么
_____．
题目 338
第 34 页
来源：20-21七年级上·河北衡水·期中
题干
8 . 把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，-3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数
是集合的元素时，有理数
也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为
至尊集合．例如：集合{9，0}就是一个至尊集合．
（1）请你判断：集合{-1，9}________至尊集合，集合{-8，1，4.5，8，17）________至尊集合（以上两个空格填“是”或“不是”）；
（2）请你写出所有至尊集合中，元素个数最少的集合________；请你再写出一个至少含有三个元素的至尊集合________；
（3）若集合
是至尊集合，则
________；若集合
是至尊集合，则
________；
（4）若某个至尊集合中含有
个元素，求这
个元素的和．
题目 339
第 34 页
来源：20-21七年级上·四川·阶段检测
题干
9 . 已知
为有理数，现规定一种新运算
，其意义是
．
（1）求
的值．
（2）求
的值．
题目 340
第 34 页
来源：20-21七年级上·江苏苏州·阶段检测
题干
10 . 规定△是一种新的运算符号，且a△b=a2－a×b+ a－l．例如：计算2△3=22－2×3+2－1=－1．则4△（－5）=_________．
题目 341
第 35 页
来源：20-21八年级上·陕西渭南·期中
题干
1 . 我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即如果
那么
与
就叫做“和积等数对”，记为
．例如：
，
，则数对
为“和积等数对”．
（1）判断
和
是否是“和积等数对”，并说明理由；
（2）如果
是“和积等数对”，请求出
的值．
题目 342
第 35 页
来源：19-20七年级上·河北保定·期末
题干
2 . 探究规律，完成相关题目
沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5）※（+2）=+7；（-3）※（-5）=+8；（-3）※（+4）=-7；（+5）※（-6）=-11；0※(+8)=8；(-6)※0=6．
智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳※（加乘）运算的运算法则：
两数进行※（加乘）运算时，_____________，________________，________________．
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，_________________．
（2）计算：（-2）※〔0※（-1）〕（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
题目 343
第 35 页
来源：20-21七年级上·江苏·期中
题干
3 . 若定义一种新运算，规定
则
_______．
题目 344
第 35 页
来源：21-22七年级上·河南许昌·期中
题干
4 . 观察下列两个等式：
，
给出定义如下；我们称使等式
成立的一对有理数
a，
b为“共生有理数对”，记为
，如数对
，
都是“共生有理数对”．
（1）判断对（-2，1），（3，
）是否为“共生有理数对”，并说明理由；
（2）若
是“共生有理数对”，且
，求
的值．
题目 345
第 35 页
题干
5 . 对于实数
x，我们规定
表示不大于
x的最大整数，如
，现对85进行如下操作：
，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是
________．
题目 346
第 35 页
来源：15-16七年级上·江苏盐城·阶段检测
题干
6 . 若规定
，则
的值为_______.
题目 347
第 35 页
来源：20-21七年级上·四川巴中·期中
题干
7 . 已知a是不等于﹣1的数，我们把
称为a的和倒数．如：2的和倒数为
，已知a
1=1，a
2是a
1的和倒数，a
3是a
2的和倒数．a
4是a
3的和倒数，…，依此类推，则a
1•a
2•a
3…a
8=
_____．
题目 348
第 35 页
来源：22-23七年级上·浙江金华·期中
题干
8 . 定义新运算：对于任意两个有理数
a，
b，有
，则
的值是（
）
A． | B． | C．27 | D．9 |
题目 349
第 35 页
来源：20-21七年级上·山东济南·期中
题干
9 . 概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2
3，读作“2的3次商”，（−3）÷（−3）÷（−3）÷（−3）记作（−3）
4，读作“−3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a
n，读作“a的n次商”．根据所学概念，求（-4）
3的值是（
）
题目 350
第 35 页
来源：20-21七年级上·青海海西·期中
题干
10 . “
”代表一种新运算，已知
，则
的值是
____．
题目 351
第 36 页
来源：20-21七年级上·湖北武汉·阶段检测
题干
1 . 定义一种新运算：a△b=ab，b▽a=b-a，例如2△3=23=8，5▽（-2）=5-（-2）=7，则计算（3△2）▽[（-2）△3]=_______．
题目 352
第 36 页
来源：19-20八年级上·湖北十堰·期末
题干
2 . 定义一种符号＃的运算法则为a＃b=
，则（1＃2）＃3 ＝
_________．
题目 353
第 36 页
来源：20-21七年级上·江苏镇江·阶段检测
题干
3 . 若规定“*”的运算法则为a*b＝ab－1，则-2*3＝____________．
题目 354
第 36 页
来源：20-21七年级上·内蒙古通辽·期中
题干
4 . 定义一种新运算“*”：
，则-1*2=
_______题目 355
第 36 页
来源：20-21七年级上·湖北武汉·阶段检测
题干
5 . 如果规定符号“*”的意义是
（1）计算：
；
（2）计算
题目 356
第 36 页
来源：20-21七年级上·山西吕梁·阶段检测
题干
6 . 现在定义两种运算“
”和“☆”，对于有理数
，
，有
，
，则
的值为
_______．
题目 357
第 36 页
来源：20-21七年级上·四川绵阳·期中
题干
7 . 形如
的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为
，依此法则计算
的结果为
______．
题目 358
第 36 页
来源：2020·全国·模拟预测
题干
8 . 对于任意实数x，现规定
表示不大于x的最大整数，例如
．若
，则x的取值范围是（
）
题目 359
第 36 页
来源：13-14七年级上·湖北武汉·阶段检测
题干
9 . 规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．
题目 360
第 36 页
来源：15-16七年级上·江苏无锡·期中
题干
10 . 已知f（x）=1+
，其中f（a）表示当x＝a时代数式的值，如f（1）=1+
，f（2）＝1＋
，f（a）=1+
，则f（1）·f（2）·f（3）…·f（100）=
___________．
题目 361
第 37 页
来源：20-21七年级上·安徽亳州·阶段检测
题干
1 . 现规定一种新的运算“※”，a※b=a
b（a、b均不为0），如3※2=3
2=9．
（1）计算：
※3；
（2）计算：[-3.5÷（
）×（
）] ※（-2+4）
题目 362
第 37 页
来源：20-21七年级上·广西百色·期中
题干
2 . 定义一种运算a△b=a2﹣b2，试求6△（﹣4）的值____．
题目 363
第 37 页
来源：15-16七年级上·江苏盐城·阶段检测
题干
3 . 规定一种新的运算“*”：a*b＝
，例如3*2＝
＝10，那么
*4＝
______．
题目 364
第 37 页
来源：20-21七年级上·江苏泰州·期中
题干
4 . 定义“*”运算：a*b＝2a－b，已知m=（1－b）*2，n=a2－2b， 则m____n．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“＝”填空）
题目 365
第 37 页
来源：19-20七年级上·全国·课后作业
题干
5 . 小明与小刚规定了一种新运算*：若a、b是有理数，则a*b = 3a-2b．小明计算出2*3=0，请你帮小刚计算2*（+5）=___
题目 366
第 37 页
来源：20-21七年级上·安徽亳州·阶段检测
题干
6 . 若定义新运算
，则
的值为（ ）
题目 367
第 37 页
来源：18-19七年级上·广西贵港·期中
题干
7 . 定义一种运算☆，其规则为 a☆b=
，根据这个规则，计算 2☆3 的值是（
）
A． | B． | C．5 | D．6 |
题目 368
第 37 页
来源：20-21六年级上·上海·阶段检测
题干
8 . 古希腊人认为，如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．
（1）你认为16是完全数吗？请说明你的理由．
（2）在4、6、14、28、35这五个数中，哪些是完全数？请你写出计算的过程．
题目 369
第 37 页
题干
9 . 对于两个不相等的实数
，定义一种新的运算如下：
>0），那么
=
______．
题目 370
第 37 页
来源：20-21七年级上·四川内江·阶段检测
题干
10 . 规定一种“&”运算：
a&
b=
，如：2&3=
．计算：
（1）
&
；
（2）
（
n为正整数）．
题目 371
第 38 页
来源：2020·全国·模拟预测
题干
1 . 规定:
．例如:
．若m满足
，且
，则m的取值范围是（
）
题目 372
第 38 页
来源：12-13七年级下·江苏南京·阶段检测
题干
2 . 我们规定一种运算：
=ad-bc．例如
=3×6－4×5=－2，
=4x+6．按照这种运算规定，当x=
___________时，
=0．
题目 373
第 38 页
题干
3 . 定义新运算：
，如
，计算下列各式．
（1）
（2）
（3）
题目 374
第 38 页
来源：13-14七年级下·北京通州·期末
题干
4 . 定义一种新的运算叫对数，如果有a
n=N，那么log
aN=n，其中a＞0且a≠1，N＞0．比如，2
3=8，则log
28=3，2
−3＝
，则log
2＝−3．由于log
28+log
216=3+4=7，log
28×16=log
2128=7，因此，log
28+log
216=log
28×16．可以验证log
aM+log
aN=log
aMN．请根据上述知识计算：log
26+log
2
=
_________.
题目 375
第 38 页
来源：18-19九年级上·北京昌平·期末
题干
5 . 在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为
(希腊字母读作“柔”)，OP与X轴的正方向的夹角
，则用[
]表示点P的极坐标．显然点P的坐标和它的极坐标存在一一对应关系．如点P的坐标(1，1)的极坐标为P[
]，则极坐标Q[
]的坐标为
_________题目 376
第 38 页
来源：14-15七年级上·江苏无锡·期中
题干
6 . 定义一种新运算：
,那么
_________．
题目 377
第 38 页
来源：15-16七年级上·广东揭阳·期末
题干
7 . 对于两个数
，
定义一种运算“﹡”，
，则
______．
题目 378
第 38 页
来源：13-14七年级上·河南南阳·期末
题干
8 . 已知f（x）=1+
，如f（1）=1+
，f（2）=1+
，则f（1）•f（2）•f（3）…f（10）=
__．
题目 379
第 38 页
来源：14-15七年级上·云南昆明·期中
题干
9 . “*”是规定的一种运算法则：
，
（1）求3*4的值；
（2）求
的值．
题目 380
第 38 页
来源：14-15七年级上·北京·期中
题干
10 . 若“
”是一种新的运算符号，并且规定
，则2
（-3）=
____题目 381
第 39 页
来源：14-15七年级上·河北石家庄·期中
题干
1 . 现规定一种新型的运算“*”：
，如
，则
等于（ ）
题目 382
第 39 页
来源：15-16八年级上·浙江杭州·期中
题干
2 . 定义一种运算“*”，其规则是a*b=
，根据这个定义，计算3*4=_______________．
题目 383
第 39 页
来源：15-16九年级上·贵州黔南·阶段检测
题干
题目 384
第 39 页
来源：14-15七年级上·江苏南通·期中
题干
4 . a，b为有理数，如果规定一种新的运算“
”，定义：a
b＝a
2－ab＋a－1，请根据“
”的定义计算下列各题：
例如：2
（－5）＝
＝4－（－10）＋2－1＝4＋10＋2－1＝15
计算：（1
3）
（－3）
题目 385
第 39 页
来源：15-16七年级上·福建泉州·期中
题干
5 . 规定一种新的运算：A*B=A×B﹣A，如4*2=4×2﹣4=4，运算6*（﹣3）=_____．
题目 386
第 39 页
来源：15-16七年级上·江苏无锡·阶段检测
题干
题目 387
第 39 页
来源：14-15七年级下·福建福州·期末
题干
7 . 对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知1*2=1，（﹣3）*3=6，则2*（﹣5）的值是_______．
题目 388
第 39 页
题干
8 . 对于非零的两个实数a、b，规定a※b=
.若1※（x+1)=1，则x的值为（ ）
题目 389
第 39 页
题干
9 . 规定一种新的运算“*”：
，例如
，则
________．
题目 390
第 39 页
题干
10 . 如果我们规定一种新运算为
，例如：
，那么请你计算下面两题：
（1）
；
（2）若
，求
．
题目 391
第 40 页
来源：15-16七年级上·甘肃定西·阶段检测
题干
1 . 规定
*
，则（-4）*6的值为_____________．
题目 392
第 40 页
来源：12-13七年级上·湖南永州·期末
题干
2 . 小明和小林玩一种计算游戏，游戏的规则是：按
=ad-bc计算数值，谁得的值大谁就是赢家，小明计算
的值，小林计算
的值，则
_______是赢家．
题目 393
第 40 页
来源：14-15七年级上·福建宁德·期中
题干
3 . 对有理数a、b，定义运算a*b=
，则2*4=
____（填计算结果）．
题目 394
第 40 页
来源：15-16八年级上·山东菏泽·期末
题干
4 . 对于非零实数a、b，规定a⊗b=
．若2⊗（2x﹣1）=1，则x的值为（ ）
题目 395
第 40 页
来源：14-15七年级上·北京·阶段检测
题干
5 . 定义一种运算（a*b）=a×(a－b)，则3*5=______．
题目 396
第 40 页
来源：15-16八年级上·浙江杭州·阶段检测
题干
6 . 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“趣味三角形”．
（1）请用尺规作图的方式，画一个“趣味三角形”（保留作图痕迹）；
（2）如图，在
中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，已知AC=
,BC=2，请判断
是不是“趣味三角形”，并说明理由．
题目 397
第 40 页
来源：13-14九年级上·浙江台州·阶段检测
题干
7 . 定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b=
，当a＜b时，a※b=
，若
，则x的值为 ( )
题目 398
第 40 页
来源：15-16七年级上·湖北咸宁·阶段检测
题干
8 . 现规定一种运算：a
b=ab-
（a-b），其中a，b为有理数，则3
（-
）的值是
______________．
题目 399
第 40 页
来源：13-14七年级下·江西吉安·期末
题干
题目 400
第 40 页
来源：12-13七年级下·浙江温州·期中
题干
10 . 魔术表演风靡全国，小明也发明了一个魔术盒，
当任意实数对
进入其中时，会得到一个新的实数：
例如：把（3，-2）放入其中，就会得到
，现将实数对（2，1）放入其中，则得到的结果是
______.
题目 401
第 41 页
来源：15-16七年级上·江苏连云港·阶段检测
题干
1 . 用“☆”“★”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=a和a★b=b．例如5☆2=5，2★4=4，则2010☆（2010★2011）=_____．
题目 402
第 41 页
来源：14-15七年级上·江苏无锡·期中
题干
2 . a※b是新规定的一种运算法则：a※b=a2+2ab-1，若（-2）※3=x，则x=_____．
题目 403
第 41 页
来源：14-15七年级上·江苏无锡·期中
题干
3 . 定义新的运算：
=
，则（-2）
3的值为（ ）
题目 404
第 41 页
来源：15-16七年级上·甘肃酒泉·期中
题干
4 . 对正有理数a，b定义运算★如下：a★b＝
，则2★4＝
____．
题目 405
第 41 页
来源：14-15七年级上·黑龙江伊春·阶段检测
题干
5 . 规定a*b=（a+b）（ab－1）为一种新的运算，则[（－2）*3]*
=
______________．
题目 406
第 41 页
来源：14-15七年级上·浙江温州·期中
题干
6 . 如果规定符号“※”的意义是：
※
=
，则5※【2※（-2）】的值等于
____．
题目 407
第 41 页
来源：15-16七年级上·江苏扬州·阶段检测
题干
7 . 规定一种新的运算：a＊b =
，试计算（3＊2）＊4的值．
题目 408
第 41 页
来源：15-16七年级上·江苏南通·期中
题干
8 . 运算※按右表定义，例如“3※2=1”，那么（2※4）※（1※3）=（ ）
| ※ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 4 | 3 | 2 | 1 |
题目 409
第 41 页
来源：14-15七年级上·江苏·期中
题干
9 . 规定“✴”是一种新的运算法则，满足：
✴
＝
．
示例：4✴（－3）＝4
2－（－3）
2＝7．
（1）求2✴6的值；
（2）求3✴[（
2）✴3]的值．
题目 410
第 41 页
来源：12-13七年级上·陕西西安·期中
题干
10 . “*”是规定的一种运算法则：
，则
的值是
______ .
题目 411
第 42 页
题干
1 . 已知有理数
a，
b满足
，
（1）试求
a，
b的值．
（2）若对于有理数
x、
y，定义运算：
，例如
，试求
的值．
题目 412
第 42 页
题干
2 . 已知
，
为有理数，如果规定一种新运算符号“*”，定义
，根据运算符号“*”的意义，计算
的值．
题目 413
第 42 页
题干
3 . 若“三角”
表示运算
，若“方框”
表示运算
，
求
×
的值，列出算式并计算结果．
题目 414
第 42 页
题干
4 . 设
，
，
都是有理数，定义
，并且
，则
________.
题目 415
第 42 页
来源：14-15七年级上·安徽·期中
题干
5 . 规定一种新的运算“☆”a☆b＝a
b,例如3☆2＝3
2＝9，则
☆3＝______．
题目 416
第 42 页
题干
6 . 如果规定符号“·”的意义是
，比如
，
，求
的值．
题目 417
第 42 页
题干
7 . 定义一种新运算：
，那么
______．
表示﹣752，
表示2369，则
表示
，例如：
；若
，则x的值为（ ）
，已知
，那么
表示一种新的运算，其运算法则为
，则
的结果为
，如
，则
等于（ ）
或
，如
，则
（ ）
如
则
，如：
，则
，则对于函数
，下列说法正确的是（ ）
时，
时，
．例如：
．
，则[
※6]※
的值为
，且
，则
，则
的值是
表示运算
表示运算
，则
表示运算a－b＋c，
表示运算m＋z－y－w，则
＋
＝
，如
，则
，若
，则
的值多少？
，例如
，则
，则
＝