新定义问题 - 初中数学 - 适中

1 . 现对实数定义一种运算：．则等于（     ）

A．

B．

C．2

D．6

2 . 在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是　　

A．0

B．1

C．2

D．3

3 . 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
(1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值；
(3)未知数为x，y的方程，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．

4 . 【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：_______，_______；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：_______．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，
C：
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：
_______，_______．
（4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______．
（5）计算：．

5 . 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．

6 . 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．

7 . 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．

8 . 定义一种运算：，则不等式的解集是（       ）

A．或

B．

C．或

D．或

9 . 对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（       ）

A．

B．

C．2

D．3

10 . 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．

（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

1 . 设表示不超过a的最大整数，如，，则下列选项正确的是（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 【定义概念】
如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．）

[阅读理解]
（1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”）
[初步应用]
（2）若，射线为的“幸运线”，求的度数；
【解决问题】
（3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值．

3 . 如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．

(1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
(2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　；
(3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．

4 . 【理解新知】
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“2倍角线”．
（1）角的平分线__________这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”）
（2）若，射线为的”2倍角线”，则__________．
【解决问题】
如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为．
（3）当射线旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于的角．）

5 . 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

6 . 定义一种新运算．
(1)试求的值；
(2)若，求x的值．

7 . 定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（       ）

A．且

B．

C．且

D．

8 . 定义：关于的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子与互为“对称二项式”．
(1)判断式子与___________（填“是”或“不是”）互为“对称二项式”
(2)已知式子的“对称二项式”是，且数、在数轴上所对应的点为、．
①若，求的值．
②若数轴上有一点到、两点的距离的和，则点在数轴上表示的数是___________．

9 . 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．

10 . 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

1 . 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
(1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________；
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．

2 . 已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m²﹣n）﹣（6m²+mn）+5n的值．

3 . 定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与 (k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 ___的“平衡数”．

4 . 新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

5 . 在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（     ）

A．

B．（-4，-1）

C．（0，-3）

D．（2，1）

6 . 定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差” ，即该抛物线的“幸福值”为 ．根据定义，解答下列问题：
(1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值；
(2)若直线的“幸福值”为，求的值；
(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．

7 . 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为．
(1)若是“相伴数对”，求的值；
(2)写出一个“相伴数对”，其中，且；
(3)若是“相伴数对”，求代数式的值．

8 . 在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．

       

(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；
(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；
(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．

9 . 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．

   

(1)已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上；
(2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
(3)如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________．

10 . 对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．

(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．

1 . 阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
         ；        ；          ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时，             ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，        ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）

2 . 对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：．
(1)求的值为______；
(2)求的值，其中．

3 . 对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为．
(1)求二元一次方程的“完美值”；
(2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值；
(3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．

4 . 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．

5 . 阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)______，______；
(2)如果，那么x的取值范围是______；
(3)如果，那么x的值是________；
(4)如果，其中，且，求x的值．

6 . 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（       ）

A．－1

B．0

C．1

D．2

7 . 在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母的二次分式_________；
（2）已知，（其中m，n为常数）．
①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为________；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．

8 . 如果分式M与N的和为常数k（k为正整数），则称M与N互为“和谐分式”，常数k称为“和谐值”．
例如：分式，则A与B互为“和谐分式”，“和谐值”为2．
(1)判断分式与是否互为“和谐分式”．
(2)已知分式，C与D互为“和谐分式”，且“和谐值”为5，求代数式M．

9 . 对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如：
，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
，min{﹣1，2，a}＝；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣2²，2^﹣2，2013⁰}＝　 　；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝　 　；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则　 　”（填a，b，c的大小关系）；
③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．

10 . 阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）；
(2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围．

1 . 阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．

2 . 我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．

3 . 将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则_________．

4 . 我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　 　类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．

5 . 我们规定：a≥b时，a★b=a-b；当a< b时，a★b=a²-b²．
（1）求5★3的值；
（2）若m> 0，化简（m+3）★（2m+3）；
（3）若x★3=7，求x的值；

6 . 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“灵动三角形”时，则的度数为___．

7 . 对于任意数，，，，定义．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．

8 . 对于定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：

（1）已知
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有三个整数解，求实数的取值范围．
（2）若对于任意不相等的实数都成立，求与满足的关系式．

9 . 若表示不超过的最大整数，设，那么______．

10 . 我们定义一种新的运算：，则不等式的解集为_______．

1 . 若有a，b两个数满足关系式：，则称a，b为“共生数对”，记作．例如：当2，3满足时，则是“共生数对”．若是“共生数对”，则______．

2 . 阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为和，显然故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________

A．123和51互为“调和数”	B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”	D．两位数和互为“调和数”

(2)若A、B是两个不等的两位数，， ，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：．

3 . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝1³﹣（﹣1）³，26＝3³﹣1³，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）

A．6858

B．6860

C．9260

D．9262

4 . 对于任意一个四位数m，将前两位所得两位数记为m₁，后两位所得两位数记为m₂，其中，这个四位数的千位数字与十位数字不能为0，记F（m）＝，若F（m）能被4整除，称这样的四位数是“航天数”．
例如∵F（1248）＝＝4，4能被4整除，∴1248是“航天数”．
又如∵F（5142）＝＝1，1不能被4整除，∴5142不是“航天数”．
（1）判断2799，8062是否是“航天数”？并说明理由；
（2）若一个航天数m，千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同．将前两位所得两位数m₁，中间插入数字c（1≤c≤9，c为整数），得新三位数n，则三位数n比m₁大180，求满足条件的所有航天数．

5 . 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（     ）

A．

B．

C．

D．

6 . 规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”．
(1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”．
(2)已知为“2倍角三角形”，为“倍角”．
①若，求的度数．
②若为锐角三角形，求的取值范围．

7 . 小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．

8 . 阅读下列材料：
解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法：
解：∵，∴，又∵，∴．∴，
又∵，∴……①；同理得：……②
由①+②得，∴的取值范围是
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，则的取值范围是        ．
(2)已知，若成立，求的取值范围（结果用含a的式子表示）．

9 . 阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值．

10 . 对于数轴上给定两点M、N以及一条线段PQ，给出如下定义：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中位对称”．如图为点M与点N关于线段PQ“中位对称”的示意图．

已知：点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2
(1)若点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4，则在C、D、E三点中，　 　与点A关于线段OB“中位对称”；点F表示的数为t，若点A与点F关于线段OB“中位对称”，则t的最大值是　 　；
(2)点H是数轴上一个动点，点A与点B关于线段OH“中位对称”，则线段OH的最小值是　 　；
(3)在数轴上沿水平方向平移线段OB，得到线段O'B'，设平移距离为d，若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”，请你直接写出d的取值范围．

1 . 我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题．
(1)判断方程________“幸福”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值；
(3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值．

2 . 对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
（1）求，的值；
（2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
（3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．

3 . 对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3变函数为．
(1)关于的一次函数的2变函数为，则当时，________________．
(2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的-1变函数为，求函数和函数的交点坐标．
(3)关于的一次函数的1变函数为，当时，求函数的取值范围．

4 . 【问题情境】在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若 ，则轴，且线段 的长度为；
【应用】
（1）若点，轴，则的长度为          ．
（2）若点，轴，，则点D的坐标为            ．
【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，之间的折线距离为；例如：图1中，点与点之间的折线距离为．
解决下列问题：
（1）如图2，已知，若，则            ；
（2）如图2，已知，，若，则           ．
（3）如图3，已知，点Q在x轴上，且三角形的面积为3，则 ．

   

5 . 对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的两倍，我们就称为“中间数”．把一个“中间数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“中间数”的“核心数”，如321，因为，所以321是“中间数”，321的“核心数”为．
（1）判断402与357是不是“中间数”，若是“中间数”，请求出它的“核心数”，若不是，请说明理由；
（2）若一个“中间数”的“核心数”为9，求满足条件的所有“中间数”．

6 . 若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．

7 . 对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：★．例如：★．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对★　　；
（2）若有理数对★，则　　；
（3）当满足等式★的是整数时，求整数的值．

8 . 规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么，
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______，______；
(2)若，求x的值；
(3)证明：．

9 . 对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=，如3※2=．那么8※12=____．

10 . 阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式（含有不等号的式子）中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式的解集（满足不等式的所有解）.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示.观察数轴发现，

   

以点，为分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数的绝对值大于3；
点，之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3.
因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为：或.
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集.
①的解集是         ；
②的解集是        .
（2）求绝对值不等式的解集.
（3）直接写出不等式的解集是     ．

1 . 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．

2 . 定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与________是关于1的平衡数，5﹣x与________是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）
（2）若a＝2x²﹣3(x²+x)+4，b＝2x﹣[3x﹣(4x+x²)﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如．当时，所有满足该条件的点P组成的图形为（       ）

A．	B．
C．	D．

4 . 如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．

(1)填空：线段的中点          这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

5 . 我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．

6 . 把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为．
(1)“雅系二元一次方程”的“完美值”是______；
(2)是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值；
(3)“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．

7 . 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．

(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；
(4)图3中的的黄金分割线有几条？

8 . 对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为______．

9 . 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)假分式可化为带分式_______形式；
(2)利用分离常数法，求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m²+n²+mn的最小值为________．

10 . 定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　）

A．﹣6

B．6

C．5

D．﹣5

1 . 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（　　）

A．	B．
C．	D．

2 . 定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“和积数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“和积数”．
(1)判断与3是否互为“和积数”，并说明理由．
(2)若有理数a与b互为“和积数”，b与c互为相反数，求代数式的值．
(3)对于有理数（且），设的“和积数”为；的倒数为；的“和积数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数．当时，请直接写出的值为_______．

3 . 对于非负实数，“去尾法”到个位的值记为，即当为非负整数时，如果，则．例：， ，解决下列问题：
(1)_____、_____；
(2)当为非负整数时，求证：；
(3)解方程：．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)求点A（﹣5，2）的“长距”；
(2)若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．

5 . 已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”．
因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，＝3，得m＝6，n＝4，
所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12，
所以2m＝8+n．
所以A（5，3）是“开心点”．
（1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．

6 . 阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程与方程为“美好方程”．
(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为，求的值．

7 . 当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”.
（1）判断点是否为“完美点”
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由.

8 . 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．

9 . 已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，则x的值是（     ）

A．

B．

C．

D．

10 . 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

   

（1）下列四边形是勾股四边形的有　        　．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．

1 . 在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．
例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．
（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；
（2）已知：t＝（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足与的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．

2 . 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．

3 . 提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？
解决问题：小颖的方法是一个一个找出来：
，，，，，
……
小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设是正整数，由于
(1)（       ）（       ）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数．
(2)又因为（       ）（       ）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即①
因为和这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
(3)应用结论：下列偶数中是智慧数的是（       ）
A、2014       B、2018       C、2020       D、2022
(4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________．
(5)拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，……
则第2025个智慧数是________．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁）点Q的坐标为（x₂，y₂），且x₁ ≠ x₂，y₁ ≠ y₂，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”．图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），

(1)若点B的坐标为（3，-1），求点A，B的“坐标矩形”的面积；
(2)点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
(3)在直线y =2x+7的图像上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，AB表示线段AB的长度．对于线段AB和线段AB上的点C，给出如下定义：，此时，我们称是点C相对线段AB的“幸福值”．
例如：数轴上A，B两点表示的数分别为-2，3，点O是原点，此时因为，，且，所以．
如图，数轴A、B两点对应的数为a、b，且满足，

(1)当点C对应的数是1时，求的值；
(2)当时，点C对应的数是______．
(3)点M，N分别从点A、B同时出发，相向运动，点N到达点A时，M，N都停止运动．若点M和点N的运动速度分别为3个单位长度/s和4个单位长度/s，运动t秒后，是否存在，若存在，求出t的值；不存在，请说明理由．

6 . 定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数）．例如：点的2阶点为点即．
(1)若点的3阶点为点，求点P的坐标；
(2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求t的取值范围．

7 . 设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc，则满足等式   =1的x的值为_____.

8 . 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．

9 . 规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：
__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即
所以，即，所以，请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：

10 . 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（       ）

A．－1

B．－1或

C．

D．1或

1 . 对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．其中错误的说法有(     )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2 . 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点分别作轴，轴的垂线．与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则点是和谐点．

（1）判断点，是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点在直线（为常数）上，求的值．

3 . 给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”
(1)填空：
当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x²-7x+6=0
∵b²-4ac=49-48＞0，∴x₁=_______________，x₂=_________________
∴矩形A存在对半矩形B．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：2x²-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长．
(2)如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形B．
(3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之前的研究，回答下列问题：

①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________．
②对半矩形B的两边长为______________和________________

4 . 对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为　 　；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值；
（3）若a₀和a₁关于1的“相对关系值”为1，a₁和a₂关于2的“相对关系值”为1，a₂和a₃关于3的“相对关系值”为1，…，a₂₀和a₂₁关于21的“相对关系值”为1．
①a₀+a₁的最大值为　 　；
②a₁+a₂+a₃+…+a₂₀的值为　 　（用含a₀的式子表示）．

5 . 如果定义一种新运算，规定 ＝ad﹣bc，请化简： ＝___．

6 . 阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记，若为整数，则称m为“五行数”．例如：，则，是整数，所以214是“五行数”；，则不是整数，所以113不是“五行数”．
（1）判断315______（填“是”或者“不是”）“五行数”；计算______；
（2）s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求所有符合条件的s的值．

7 . 定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．

8 . 对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与.
我们规定：.
例如：.
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对          ；
（2）若有理数对，则           ；
（3）当满足等式的是整数时，求整数的值.

9 . 定义：表示不超过实数的最大整数.例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（     ）

A．函数的定义域是一切整数

B．函数的图像是经过原点的一条直线

C．点在函数图像上

D．函数的函数值随的增大而增大

10 . 阅读下列材料解决问题：
两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如： 37与82，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴123与51互为“调和数”．
（1）若两个三位数、（，且，，为整数）互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；
（2）若、是两个不相等的两位数，，，、互为“调和数”，且与之和是与之差的3倍，求证：．

1 . 对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．

   

(1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在，之间，且表示一个负数，则点表示的数为______；
(2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______；
(3)点表示数，点表示数，为数轴上一点：
若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______；
若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______．

2 . 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“k系方程”．如方程的两根分别为：，则方程为“2系方程”．
（1）下列方程是“3系方程”的是_________（填序号即可）；
①；②；③．
（2）若关于x的一元二次方程是“2系方程”．
①求证：；
②若，且关于x的函数，当时的最大值为1，求a的值．

3 . 对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝____________．

4 . 我们知道，同底数幂的乘法法则为a^m•aⁿ＝a^m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（　　）

A．2k+2021

B．2k+2022

C．kn+1010

D．2022k

5 . 定义新运算：，若，则的值是______．

6 . 对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为．
例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为．

   

(1)①点的“引力值”为        ；
②若点的“引力值”为，则的值为        ；
(2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标；
(3)已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围．

7 . 定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为．
(1)，1的“分差”为______；
(2)调整“，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______；
(3)调整，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．

8 . 对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．

9 . 在平面直角坐标系中，已知点A(x，y)，点B(x﹣my，mx﹣y)（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A(1，2)的“3族衍生点”B的坐标为(1﹣3×2，3×1﹣2)，即B(﹣5，1)．
（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为　　；
（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是(﹣1，5)，则点A的坐标为　　；
（3）若点A(x，0)（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；
（4）若点A(x，y)的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”关于y轴对称，则点A的位置在　　．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）²+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）²﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1．
（1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）²﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____．
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）²﹣4a（a≠0）与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．
①若△ABC为等腰三角形时，求a的值；
②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求a的值．

1 . 如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．

(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数；
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线．
①如图1，过点C作AB的平行线CM，射线CN平分∠BCM，且与射线AE交于点N．若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”，则∠ABC＝______；
②如图2，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“伙伴角”，求∠ABC的度数．

2 . 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出下列定义：若，则称点为点的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是，如果一个点的限变点的坐标是，那个这个点的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”； 记做，读作的圈4次方”，一般地，把（）记做读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：，.
【深入思考】

（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.
；.
（3）想一想：有理数的圈次方写成幂的形式等于多少.

4 . 若一个四位正整数m满足千位数字加百位数字的和等于10，十位数字减去个位数字的差等于1，且千位数字大于十位数字，则称数m为“国庆数”．如：，∵，，且，∴6432是“国庆数”．
(1)判断数3721和5534是否为“国庆数”，并说明理由；
(2)已知一个四位正整数m是“国庆数”，且满足千位数字和百位数字组成的两位数的2倍与十位数字和个位数字组成的两位数的差除以10余1，求出满足条件的所有m的值．

5 . 规定，则的值是_________．

6 . 阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因为，所以．解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式：                 ．
（2）仿照上面的材料，试证明：
（3）拓展运用：计算           ．

7 . 对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数（n为正整数），则_____，_____．

8 . 若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”．
(1)试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”；
(2)若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m²+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m²+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小．

9 . 如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为_________________．

10 . 有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．

(1)已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD是倍角梯形；
(3)如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．

1 . 对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围________．

2 . 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．

（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　 　；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．请回答下列问题：
（1）与是关于________的“平衡数”．
（2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，则________．

4 . 我们知道，同底数幂的除法法则为（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：其中f（m），f（n）都为正数），请根据这种新运算填空：
（1）若f（2）＝4，f（3）＝8，则f（1）＝_______；
（2）若f（2000）＝k，f（2）＝4，那么f（500）＝______（用含k的代数式表示，其中k＞0）．

5 . 定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线的反关联点为．已知点，，．

(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；
(2)设直线AC的反关联点为点D；
①若点P在直线AC上，求的最小值；
②若点E在点B的反关联直线上，且，求点E的坐标．

6 . 定义：一个四位数的自然数，记千位上和十位上的数字之和为x，百位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“协调数”．例如：3245，x=3＋4，y=2+5，因为x=y，所以3245是“协调数”．
（1）直接写出：最小的“协调数”是_____，最大的“协调数”是_____；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是7的倍数的所有“协调数”．

7 . 阅读下面材料：小颖这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形，类比这一特性，小颖发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式，她还发现像等神奇对称式都可以用表示．例如：，．于是小颖把和称为基本神奇对称式，请根据以上材料解决下列问题：
(1)①，②，③，④中，属于神奇对称式的是_______（填序号）；
(2)已知．
①若，则神奇对称式_______；
②若，求神奇对称式的最小值．

8 . 对于一个三位数，若其十位上的数字是3、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“太极数”；如235就是一个太极数．将“太极数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为D（m）例如：D（235）＝23+25+32+35+52+53＝220．
（1）最小的“太极数”是 　 　，最大的“太极数”是 　 　；
（2）求D（432）的值；
（3）把D（m）与22的商记为F（m），例如F（235）＝＝10．若“太极数”n满足n＝100x+30+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为整数），即n的百位上的数字是x、十位上的数字是3、个位上的数字是y，且F（n）＝8，请求出所有满足条件的“太极数”n．

9 . 若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点在轴上．
(1)求的值；
(2)求二次函数，的解析式．

10 . 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x²＝4和（x﹣2）（x＋3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）²＝9；②x²＋4x＋4＝0；③（x＋4）（x﹣2）＝0
（2）关于x的一元二次方程x²﹣2x＝0与x²＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与（x＋2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．

1 . 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．

2 . 规定min(m，n)表示m，n中较小的数(m，n均为实数，且mn)，例如：min{3，﹣1}=﹣1，、min据此解决下列问题：
（1）min=　　　　；
（2）若min=2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}=﹣2，求x的值．

3 . 规定，，例如，，下列结论中，正确的是（       ）（填写正确选项的序号）
①若．则；
②若，则；
③能使成立的的值不存在；
④式子的最小值是．

A．①④

B．①②④

C．①②③

D．①②③④

4 . 如果那么我们规定．例如；因为所以．
（1）根据上述规定填空：__            ，__          ，__          ；
（2）若．判断之间的数量关系，并说明理由．

5 . 对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是__．

6 . 在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．
（1）点的“族衍生点”的坐标为                ；
（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为                ；
（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．

7 . 对任意一个四位正整数，如果的百位数字等于个位数字与十位数字之和，的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“筋斗数”．例如：，满足，所以5321是“筋斗数”．例如：，满足，但所以8523不是“筋斗数”．
(1)判断5413和9582是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若是“筋斗数”，且与25的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”．

8 . 在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是____________．
①[3V（-2）]Λ4=4
②（aVb）Vc=aV（bVc）
③-（aVb）=（-a）Λ（-b）
④（aΛb）×c=acΛbc

9 . 我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天” ，在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．
定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”．
例如：3254是“七巧数”，因为，，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，但，所以1456不是“七巧数”．
(1)最大的“七巧数”是 　　，最小的“七巧数”是 　　；
(2)若将一个“七巧数” 的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数” ，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值；
(3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数” ．

10 . 用[x]表示不大于x的最大整数，则方程的解的个数为（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

1 . 将个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1       2       3       4       =
（2）若数组1，4，6，是“运算平衡”数组，则的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有个整数，则这个整数需要具备什么样的规律？

2 . 对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如：对于三位数451，5－1＝4，则451是“极差数”；对于三位数110，1－0＝1，则110是“极差数”．
（1）求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；
（2）在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数，若能被12整除，求满足条件的“极差数”．

3 . 对于一个两位数（十位和个位均不为0），将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个四位数，记为，规定，例如：34的对调数为43，．
(1)填空：______；
(2)请证明对于任意一个两位数（十位和个位均不为0），都能够被9整除；
(3)若（为整数，），（为整数，），和的十位、个位均不为0，的对调数与的对调数之和能被9整除，请求出的值．

4 . 对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把N称作“K的友谊数”．例如：346→3+4+6＝13→1+3＝4，所以346是“4的友谊数”．
（1）请分别判断1357和859是否是“4的友谊数”，并说明理由；
（2）若一个三位自然数M＝100a+10b+8（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）是“4的友谊数”，且满足a﹣b+3能被7整除，请求出所有符合条件的三位自然数M．

5 . 定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 ；
（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m、n的值；
（3）若关于x的方程2x﹣b＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数b的值．

6 . 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以，称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组 的关联方程是          ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是          ；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．

7 . a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（       ）

A．5

B．

C．

D．

8 . 探究规律，完成相关题目．定义“”运算：
；；
；；
；．

(1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整；
(2)计算：
(3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值．

9 . 已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，ab）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，32）即（5，1）．
(1)有序数对（2，1）的“3阶结伴数对”为        ；
(2)若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（1，5），求a，b的值；
(3)若有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，求a，b的数量关系，并求出此时k的值．

10 . 在平面直角坐标系中，对于和给出如下定义：
如果，那么点就是点的关联点．
例如，点的关联点是，点的关联点是．

（1）点的关联点是_____________，点的关联点是_____________．
（2）如果点和点中有一个点是直线上某一个点的关联点，那么这个点是_____________．
（3）如果点在直线上，其关联点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．

1 . 对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（       ）

A．t＜

B．t＞

C．t＜

D．t＞

2 . 数轴上有、、三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”．
例如：如图，数轴上点、、所表示的数分别为、、，因为，，所以，因此，点是点、的“关联点”．根据上述描述，回答下列问题：

(1)如果点表示数，点表示数．下列各数、、所对应的点分别是、、．其中______是点、的“关联点”．
(2)点表示数（是一个常数，），点表示数，为数轴上一个动点：
①如果点在点、之间，并且点是点、的“关联点”，试用含有的代数式来表示点所表示的数；
②如果点在点的右侧，点、、中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，并且点与点之间的距离为．请直接写出此时点表示的数．

3 . P为正整数，现规定P！=P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m！=24，则正整数m=_____．

4 . 对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段与线段长度的和叫做线段关于点P的折线距离，记为．例如下图中，A，B，C三点共线，，，则线段关于点B的折线距离，线段关于点C的折线距离．

(1)如图，中，，，D是中点．

①_______．
②P是线段上动点，确定点P的位置使得的值最小，并求出的最小值．
(2)中，，过点C作的垂线l，点Q在直线l上，直接写出的最小值的取值范围．

5 . 规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；
②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；
③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；
④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．

6 . 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________．

7 . 我们定义：三角形 ＝a^b•a^c，五角星 ＝z•（x^m•yⁿ）；
(1)求 的值；
(2)若 ＝4，求 的值．

8 . 若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．
例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求a的值．
（2）若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

9 . 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”．
理解：
（1）直接写出计算结果：_______．
（2）关于除方，下列说法正确的有_______（把正确的序号都填上）；
①；
②对于任何正整数，；
③；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．
应用：
（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：（幂的形式）
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：
_______；________；
（4）计算：．

10 . 阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．
①求tan∠的值；
②试确定的度数．

1 . 定义：在平面直角坐标系xoy中，点P（x，y）．若x=m-2，y=+3，其中m，n为实数，且2m-n=4，则称点P为梦想点．例如：取m=1，代入2m-n=4，得n=-2，此时x=-1，y=2，则点（-1，2）是梦想点．
(1)P₁(5，2)和P₂（-4，-1）两点中，点      是梦想点．
(2)求证：梦想点P(x，y)不能在第四象限．
(3)若点A（a，b）为梦想点，点B（2，0），△AOB的面积为7，求点A的坐标．

2 . 如果一个一元一次方程的解在一个一元一次不等式（组）的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的关联方程．例：方程是不等式的关联方程．
(1)试判断方程是下列哪个不等式的关联方程①； ②；
③；请直接写出序号_________．
(2)若关于的方程是不等式组的关联方程，求的取值范围．
(3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程且不等式组的整数解有3个，求的取值范围．

3 . 对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如：．则方程的解是______．

4 . 规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a、b为实数，则（*3）+=________.

5 . 阅读下列材料
材料一：对于任意的非零实数和正实数，如果满足为整数，则称k是x的一个整商系数，
例如：当时，，则称是的一个整商系数；
当时，，则称是的一个整商系数；
当时，，则称是的一个整商系数；
给论：一个非零实数有无数个整商系数，其中最小的一个整商系数记为；
例如： ，
材料二：对于一元二次方程的两根，有如下关系：

请根据材料解决下列问题
                          
若关于的方程：的两根分别为，且满足，求的值．

6 . 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD²＝BD•CD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，ABC的顶点是4×4网格图的格点，请在图中画出AB边上的“好点”；
（2）如图3，ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是BCD中CD边上的“好点”．
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．

7 . 在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到轴，轴的距离之和等于点到轴，轴的距离之和，则称点为点的“等距点”．例如：点为点的“等距点”．在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为．

(1)若点为点先向左移动6个单位长度，再向上移动2个单位长度得到的，则点的坐标为___________．在所给的平面直角坐标系中画出，并直接判断是否为的“等距点”___________ （填“是”或“不是”）
(2)在（1）的条件下，求直线与轴交点的坐标．
(3)点为点的“等距点”，若点在第二象限，请用x的代数式表示y．

8 . 在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．
（1）已知点N（2，0），在点，，中，对线段ON的可视度为60º的点是______．
（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．
①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；
②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．

9 . 我们规定：若有理数a，b满足，则称a，b互为“等和积数”，其中a叫做b的“等和积数”，b也叫a的“等和积数”，例如：因为，，所以，则与互为“等和积数”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)有理数2的“等和积数”是________；
(2)有理数1________“等和积数”（填“有”或“没有”）；
(3)若m的“等和积数”是，n的“等和积数”是，求的值．

10 . 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；
(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．

1 . 如果自然数m使得作竖式加法m+（m+1）+（m+2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数”，例如：
12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；
50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象
（1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；
（2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．

2 . 综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①；
②．
(2)已知关于x的一元二次方程 (是常数)是“邻根方程”，求的值．
(3)若关于x的一元二次方程 (a、b是常数，且)是“邻根方程”，令，求的最大值．

3 . 一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．

(1)若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；若，∠2是∠1的倍余角，则∠2的度数为 ；（用的代数式表示）
(2)如图1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取．求证：∠ABC是∠EDB的倍余角；
(3)如图2，在（2）的情况下，作交AC于点F，将△BFC沿BF折叠得到，交AC于点P，若，设，求∠CPB的度数．

4 . 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（       ）

A．－55

B．－45

C．－35

D．－25

5 . 在平面直角坐标系中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，x轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点P与点Q为关联点．

(1)在点，中，与为关联点的是___________________；
(2)如图2，，，．若线段上存在点Q，使点P与点Q为关联点，结合图象，求m的取值范围；
(3)已知点，﹒若线段上至少存在一对关联点，直接写出n的取值范围．

6 . 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab²+2ab+a，如：1☆3＝1×3²+2×1×3+1＝16．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若（☆3）☆（﹣）＝8，求a的值；
（3）若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较大小m，n的大小．

7 . 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较小的值，如．
（1）__________________．
（2）方程的解为_________________．
（3）方程的解为_________________．

8 . 大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计了一种新的加减记数法．
比如：9写成；
198写成；
7683写成
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算_______．

9 . 巴蜀学子李金珉在2020年第61届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校同学深受鼓舞，校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮.某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“榜样数”，例如：879，因为，则879为“榜样数”；又如：678492，因为，则678492也是“榜样数”.
（1）95______“榜样数”；56382______“榜样数”（横线上填“是”或“不是”）；
（2）最大的三位“榜样数”是______，最小的四位“榜样数”为______；
（3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字小3，且百位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3倍，求出满足条件的四位数.

10 . 我们知道，同底数幂的乘法则为：（其中，、为正整数）类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么________．

1 . 规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________．
(2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？
(3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值．

2 . 设二次函数的图像的顶点分别为当
且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值．

3 . 如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x的“完美三角形”斜边AB的长________．
   

4 . 已知a是不等于的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为，已知是的和倒数，是的和倒数，是的和倒数，…，依此类推，则______．

5 . 阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
①            ；②                     ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．

6 . 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，如果点Q(x，)的纵坐标满足，那么称点Q为点P的“关联点”．请写出点(3，5)的“关联点”的坐标_______；如果点P(x，y)的关联点Q坐标为(－2，3)，则点P的坐标为________．

7 . 若关于x的方程（）的解与关于y的方程（）的解满足，则称方程（）与方程（）是“雅系友好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“雅系友好方程”．
（1）请通过计算判断方程与方程是不是“雅系友好方程”；
（2）若关于x，y的两个方程与方程是“雅系友好方程”，求m的值；
（3）关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们不是“雅系友好方程”，求n的值．

8 . 定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数，，，若，则______

9 . 若一个两位数Р的十位数字为a，个位数字为b，其中，，规定：，，．例如：，则．
（1）求和的值；
（2）若一个两位数M满足个位数字比十位数字大1，另一个两位数N满足个位数字比十位数字的2倍少3，规定：，当时，求的最大值．

10 . 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)若可配方成（m，n为常数），则___________；
(3)探究问题：已知，求的值．
(4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则k的值为_________．

1 . 我们规定一个新数“i”，使其满足i¹＝i，i²＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹＝i，i²＝﹣1，i³＝i²•i＝﹣i，i⁴＝i²•i²＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i⁶＝____，i¹+i²+i³+…+i²⁰²²+i²⁰²³＝____．

2 . 阅读以下两则材料，解决后续问题：
材料一：我们可以将任意两位数记为（其中，分别表示该数的十位数字和个位数字，且），
显然．
材料二：若两位数和的十位数字之积是个位数字之积的倍，或者个位数字之积是十位数字之积的倍（为整数），则称这样的两个两位数为一对“值有缘数对”．例如：数字34与23，所以．34与23是一对“2值有缘数对”；数字52与42，，所以，52与42是一对“5值有缘数对”．
请解决如下问题：
（1）请判断42和32是一对“________值有缘数对”；
（2）将两位数和各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和，若这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，和是否为“值有缘数对”，若是，求出的值；若不是，说明理由；
（3）若两个两位数与是一对“4值有缘数对”，请求出这个两位数．

3 . 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；．
解决下列问题：
(1)分式是___分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式的形式为____；
(3)把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值．

4 . 对于任意实数，若规定，则当时，____．

5 . 定义a※b=a²-b，则（1※2）※3=__________.

6 . 阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．
即：在数列，，，…，．（为正整数）中，若，，…，则数列，，，…，．（为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，…，叫第项，叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比．
计算：求等比数列1，3，，，…，的和．
解：令，则．
因此．所以．
即．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是（       ）
A．1，2，3，4，5             B．2，6，18，21，63
C．56，28，14，7，               D．－11，22，－33，44，－55
（2）填空题：已知数列，，，…，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于_________．
（3）解答题：求等比数列1，5，，，…前2021项的和．

7 . 探索新知：
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”
（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示）；
深入研究：
如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值．

8 . 阅读理解.
材料一：平面内任意两点 ，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或；
材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值．

　　

请根据以上材料解决下列问题：
（1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标．

9 . 将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（注：至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？

10 . 定义新运算®：对于任意实数a、b都有：a®b=a²+ab，如果3®4=3²+3×4=9+12=21，那么方程x®2=0的解为________.

1 . 对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．

2 . 规定：log_ab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：=a，log_NM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）．
例如：log₂2³=3，log₂5=，则=_________．

3 . 记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则．
（1）请直接写出            ．
（2）如果，那么            ．
（3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？

4 . 根据阅读材料，解决问题．
若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）．
对于一个三位对称数，将它各个数位上的数字分别两倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对规定一个运算：，例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：0、6.0.则；是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是： 4、2、4，则．
请解答：
（1）请你直接写出最大的两位对称数：             最小的四位对称数：           ；
（2）一个三位的“对称数”，将其各个数位的数字分别2倍后取个位数字分别为：，，，若，请求出的所有值．

5 . 我们把方程（x﹣m）²＋（y﹣n）²＝r²称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）²＋（y＋2）²＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．

(1)求⊙C的标准方程；
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；
(3)连接CE，求sin∠AEC的值．

6 . 在学校，每一位同学都对应着一个学籍号，在数学中也有一些对应．现定义一种对应关系f，使得数对和数z是对应的，此时把这种关系记作：．对于任意的数m，n（），对应关系f由如表给出：如：，，，则使等式成立的x的值是___________．

7 . 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点在数轴上分别对应的数为，则的长度可以表示为．
请你用以上知识解决问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后向右移动个单位长度到达点．
请你在图②的数轴上表示出三点的位置．
若点以每秒个单位长度的速度向左移动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．
①当时，求和的长度；
②试探究：在移动过程中，的值是否随着时间的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

8 . 已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“光数”；若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“辉数”．如果一个数既是“光数”，又是“辉数”，则称这个数为“光辉数”．例如532，∵5＝3＋2，∴532是“光数”，∵5＝3²﹣2²，∴532是“辉数”，∴532是“光辉数”．
（1）最小的“光辉数”是 　 　；743 　 　“光辉数”（填“是”或者“不是”）；
（2）若（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）是“光辉数”，求证b＝c＋1；
（8）已知B＝10x＋4y＋606（0≤x≤7，1≤y≤4，且x，y均为整数）是一个“光数”，求B．

9 . 在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”． 如图所示，点A的坐标为（，），则A，O两点之间的“横纵距离”为5

（1）若点B的坐标为（），则A，B两点之间的“横纵距离”为_________；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：___________， ____________．

10 . 定义“*”的运算规则为，若，则x的值是（       ）

A．－1

B．1

C．－2

D．2

1 . 对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则〈x〉＝n．反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n﹣0.5≤x＜n+0.5．如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5．
（1）〈π〉＝　 　；
（2）若〈0.5x﹣1〉＝7，则实数x的取值范围是　 　；
（3）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求a的取值范围；
（4）满足〈x〉＝x的所有非负数x的值为 　 　．

2 . 用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（），M（），M（），…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]．

3 . 把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值；
（3）“雅系二元一次方程”（，k是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”．若不存在，请说明理由．

4 . 对于有理数a、b，定义一种新的运算：，
例如：．
（1）计算的值．                                   
（2）计算的值．

5 . 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab²＋2ab＋a．如：1☆3＝1×3²＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝　 　；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．

6 . 概念学习．已知，点P为其内部一点，连接，在中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点P为的等角点．

   

(1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为的三角形存在等角点；______；
②任意的三角形都存在等角点；________；
(2)如图①，点P是锐角的等角点，若，探究图①中，之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：
(3)如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数．

7 . 对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a²+b²（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝2²+5²，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．
（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．

8 . 定义新运算，如．
（1）计算的值；
（2）化简：．

9 . 规定两正数a，b之间的一种运算，记作：E(a，b)，如果a^c＝b，那么E(a，b)＝c．例如2³＝8，所以E(2，8)＝3
（1）填空：E(3，27)＝　 　，E＝　 　
（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3ⁿ，4ⁿ)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3ⁿ，4ⁿ)＝x，即(3ⁿ)^x＝4ⁿ，所以3^x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3ⁿ，4ⁿ)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)

10 . 定义：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为．例如：，则均为“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对“，1”“4，”是不是“共生有理数对”；
（2）若是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若是“共生有理数对”，则“”是否为“共生有理数对”？并说明理由．

1 . 一个两位自然数m，满足各位数字之和小于等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“美丽数”．将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“巅峰数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“对决数”．记，例如：时，，，．
（1）判断368______（是/不是）36的“对决数”，计算______；
（2）已知两个“美丽数”，若是一个完全平方数，且，规定，求P的最小值．

2 . 定义新运算：，则化简的结果是______．

3 . 定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．

（1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长．
（3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长．

4 . 如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．

5 . 阅读下列材料并解决后面的问题
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707--1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为aⁿ，如2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8，即log₂8=3一般地若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab，即log_ab=n．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81，即log₃81=4．
（1）计算下列各对数的值：log₂4=______，log₂16=______，log₂64=______；
（2）通过观察（1）中三数log₂4、log₂16、log₂64之间满足的关系式是______；
（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
证明：设log_aM=m，log_aN=n，
由对数的定义得：a^m=M，aⁿ=N，
∴a^m•aⁿ=a^m+n=M•N，
∴log_aMN=m+n，
又∵log_aM=m，log_aN=n，
∴log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log_aM-log_aN=log_a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（5）计算：log₃4+log₃9-log₃12的值为______．

6 . 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．①③④

7 . 材料一：如果四位数满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“等和数”，例如：3425，因为，所以3425是一个“等和数”．
材料二：对于一个四位数，将这个四位数千位上的数字与十位上的数字对调、百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字个位上数字得到2514，所以．
（1）判断是否是“等和数”，并求出的值；
（2）若，都是“等和数”，其中，，（，，，、、都是整数），若，求的值．

8 . 在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线于点M，N，若，则称P为直线的平安点．
已知点A
（1）当直线的表达式为时，
①在点A，B，C中，直线的平安点是______________；
②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线的平安点，则点E的横坐标的取值范围_______________；
③若直线被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线的平安点，则应满足的条件为__________________；
（2）当直线的表达式为时，若点C是直线的平安点，求的取值范围．

   

9 . 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x取什么整数时的值为整数．

10 . 阅读下面材料，并完成问题．
任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”．
探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？
小亮同学是这样探究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
由①，得，③
把③代入②，得，
整理，得．
，
的“兄弟矩形”B存在．
（1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？
（2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件．

1 . 若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若，则______；
②若，则______；
③若，则______；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．

2 . 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如： ．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．
（1）填空：_________“相伴数对”（填是或否）；
（2）若是“相伴数对”，求的值；
（3）若是“相伴数对”，求代数式的值．

3 . 如图，对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，它们之间的曼哈顿距离定义如下：|AB|₁＝|x_A﹣x_B|+|y_A﹣y_B|．已知O为坐标原点，点P(4，﹣5)，Q(﹣2，4)．
（1）|OP|₁＝　 　，|PQ|₁＝　 　．
（2）已知点T(t，1)，其中t为任意实数．
①若|TP|₁＝10，求t的值．
②若P、Q、T三点在曼哈顿距离下是等腰三角形，请直接写出t的值．

4 . 表示大于的最小整数，如，则下列判断：①；②有最小值是－1；③有最大值是0；④存在实数，使成立；⑤若为整数，为任意实数，则，其中正确的是___________（填编号）．

5 . 规定四个数、、、的一种运算法则如下：，计算________．

6 . 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应(见如图)，如字母与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”

按上述规定，将密文“” 解密成明文后是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：例如：根据上述规定解决下列问题：
计算；
若，求x的值．

8 . 观察下列等式：
用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊕b＝a²b﹣2ab﹣2．如：1⊕3＝1²×3﹣2×1×3﹣2＝﹣5．
（1）求（﹣2）⊕3的值．
（2）化简（﹣1）⊕[3⊕（a+1）]．

9 . 探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．
（1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______．
探究活动二：
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式．

10 . 规定新运算：．已知算式，=_______．

1 . 如果的两个端点分别在的两边上(不与点重合)，并且除端点外的所有点都在的内部，则称是的“连角弧”．
(1)图1中，是直角，是以为圆心，半径为1的“连角弧”．
①图中的长是______，并在图中再作一条以为端点、长度相同的“连角弧”；
②以为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是_______．

(2)如图2，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，若是半圆，也是的“连角弧”，求的取值范围．
(3)如图3，已知点分别在射线上，是的“连角弧”，且所在圆的半径为，直接写出的取值范围．

2 . 现定义一种新的运算：，例如：，请你按以上方法计算（       ）

A．-1

B．-2

C．

D．

3 . 如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．

（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（       ）
A．2       B．       C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．

4 . 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（       ）

A．

B．

C．

D．无法确定

5 . 笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．
某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁≠x₁≠x₃），满足＝＝＝k，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）（x₁≠x₂），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则k_PQ＝＝1，即直线y＝x+2的斜率为1．

   

（1）请你直接写出过E（2，3）、F（4，﹣2）两点的直线的斜率k_EF＝　 　．
（2）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH与直线GI的斜率之积．
（3）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式．

6 . 对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”．
（1）38的“团结数”是_________，2024的“团结数”是_______．
（2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值；
（3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位效数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和．

7 . 定义运算：m☆n＝．例如：4☆2＝．若关于x的方程5☆x＝6－4x，则代数式3－2x＋10x²的值为（       ）

A．－11

B．10

C．11

D．17

8 . 用“”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定
(1)求的值；
(2)若关于n的方程满足：，求n的值．

9 . 对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形的边长为1，菱形的边水平放置，如果该菱形的高是宽的，那么菱形的宽是（       ）

A．

B．

C．

D．2

10 . 定义：，例如．若，则m=__________．

1 . 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝＋＝1＋，＝＝a﹣1＋，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：　　（填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝　　．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．

2 . 用“”定义一种新运算：对于任意有理数a、b，规定：，例如：．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求x的值．

3 . 在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，．那么称点Q为点P的“关联点”．例如点的“关联点”为．如果点是一次函数图象上点M的“关联点”，那么n的值为______．

4 . 定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线．

（1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；
（2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值．
（3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式．

5 . 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①          
②
（2）已知关于的方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值．
（3）若关于的方程（为常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值．

6 . 在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若的值与的值相等，求的值．
（4）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．

7 . 如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________．
   

8 . 从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6．
（1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数；
（2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值．

9 . 如果一个自然数M能分解成p²+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p²+q的过程，称为“方加分解”，例如：238＝12²+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以238是“方加数”．
(1)判断212是否是“方加数”？并说明理由；
(2)把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p²+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．