猜想证明 - 初中数学 - 适中

1 . 如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．

(1)求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

2 . 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____．

3 . 如图，的边上有一动点，从到点的距离的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；射线绕着点从开始以的速度顺时针旋转．已知动点P，Q以及射线同时运动，设运动时间是．

(1)当点在上运动时，____________．（用含的代数式表示）
(2)当点在线段上运动，为何值时，？此时射线是的平分线吗？并说明理由．
(3)是否存在，使得P，Q两点在射线上相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由．

4 . 已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．

5 . （1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______．
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接．
①求的度数；
②求线段之间的数量关系，并说明理由．

   

6 . 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

   

(1)如图①，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故得，将点移到、内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）；
(3)根据（2）的结论求图④中的度数．

7 . 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

8 . 【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论　 　．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由；
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长．

9 . 四边形是正方形，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作交的延长线于F，连接．

   

(1)依题意补全图1；
(2)直接写出的度数：
(3)连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

10 . 请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

(1)如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.
请证明：.
(2)如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度．
(3)如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度．
(4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________．

1 . 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

   

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是     ；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂．则S₁与S₂的数量关系是     ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE,请直接写出相应的BF的长

2 . 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
（3）△PBE是否能成为等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．

3 . 如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），，过点C作交半圆于点D，连结AD，过点C作交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记，，．请你一起参与探究函数、随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

x	…	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	…
	…	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	…
	…	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	…

（1）当时，＝          ．
（2）在图2中画出函数的图象，并结合图象判断函数值与的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

4 . （1）如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，

①猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
②求的度数；
（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．

①求的度数；
②线段之间的数量关系为__________．（不用证明，直接写出结果即可）

5 . 如图，在和中，，，．

(1)当点D在上时，如图①，线段有怎样的数量关系和位置关系？写出结论并说明理由；
(2)将图①中的的位置改变一下，如图②，其他条件不变，则线段又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

6 . 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．

(1)若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
(2)请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
我选择：_______．

7 . 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系　 　．
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．
   

8 . 如图，为的直径，切于点，交延长线于点，过作于点，连接．

(1)求证：平分；
(2)若为中点，于，，求的长度；
(3)连接，若，求与的数量关系．

9 . 如图，正方形，G是边上任意一点（不与B、C重合），于点E，，且交于点F．

（1）求证：；
（2）四边形是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．

10 . 如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足(a+5)²+=0，过C作CB⊥x轴于B．

   

（1）a=　 　，b=　 　，三角形ABC的面积=　 　；
（2）若过B作BDAC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

1 . 探究与发现：
探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

问题发现：
(1)已知如图1，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系；
(2)类比探究：已知如图2，在中，分别平分和，试探究与的数量关系；
(3)拓展延伸：如图3，在四边形中，分别平分和，直接写出与的数量关系．

2 . 在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
（1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可．
①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：
ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与          全等，判定它们全等的依据是     ；
ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出        °；
②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程．
（2）如图2，若 ，求证：．

3 . 问题情境：
（1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；

   

问题迁移：
（2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．

   

①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
拓展延伸：
（3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．

4 . 城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y₁（元）与复印页数x（页）的关系如下表：

x（页）	100	200	400	1000	…
y1（元）	15	30	60	150	…

（1）y₁与x的函数关系是否满足一次函数关系？
（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y₂（元）与复印页数x（页）的函数表达式；
（3）你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．

5 . 再读教材：宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：
（1）图③中_______（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请直接写出图④中所有的黄金矩形．

6 . 一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．

   

(1)求点B的坐标和k，b的值；
(2)点Q为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于，请求出点Q的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题：

(1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．
(2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明．

8 . 已知，是等边三角形，是直线上一点，以为顶点作 ． 交过且平行于的直线于，求证：；当为的中点时，（如图1）小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取的中点，连结，然后证明． 从而得到，我们继续来研究：

（1）如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：
（2）如图3、当D在BC的延长线上时，求证：
（3）当在的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立（不必证明）．

9 . 已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．

(1)求、的长；
(2)求点B的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

10 . 已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

   

（1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？
（3）如图3，如果四边形中，，，，且，，，求的长．

1 . 下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知>1，因此可设，可画出如下示意图． 由图中面积计算， S_正方形=，另一方面由题意知S_正方形=，所以略去，得方程，解得，即，仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

2 . 已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）当为轴对称图形时，求的值．

3 . 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

4 . 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．

5 . 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．

(1)若，则的度数为　 　；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由；
(4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在与平行的情况？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

6 . 综合与实践
如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）．

（1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．
（2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③
①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．

7 . 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是　　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

8 . 如图1，直线与直线交于点O，．小明将一个含的直角三角板如图1所示放置，使顶点P落在直线上，过点Q作直线交直线于点H（点H在Q左侧）．

(1)若，，则      ．
(2)若的角平分线交直线于点E，如图2．
①当，时，求证：．
②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中，      （用α表示）．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．

   

(1)分别求出点A，B，C的坐标．
(2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式．
(3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．
（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．
（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．

1 . 如图，已知，直线与，分别交于点，，点是射线上一点（与点不重合），，分别平分和，，交直线于点，，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)猜想和之间有怎样的数量关系，并加以证明．

2 . 【1】问题情境：如图1，，，．求度数．
小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．
【2】问题迁移
（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．

3 . 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．

(1)如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
(2)如图2，当点P在线段OC上时（点P不与点O、C重合），（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

4 . 已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC     BD（填“>”“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC     BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．

5 . 已知，AD是的角平分线，点E为直线BC上一点，，过点E作交直线AC于点F
(1)当点F在边AC的延长线上时，如图1，易证，小明证法如下：
延长AD、EF交于点G，根据角平分线可得，再由平行线性质可得，等量代换可得，利用等角对等边（在同一三角形中，两个角相等，则这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”）可得：，再加上的条件，从而证明（______），即可证得结论
(2)当点F在边AC上，如图2，写出AF、EF与AB的数量关系，并进行证明
(3)当点F在边AC的延长线上，AD是的外角平分线时，如图3，直接写出AF、EF与AB的数量关系为__________.

6 . (1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠𝐵 +∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶．

请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∵ 𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)．
∴ 𝐸𝐹//𝐷𝐶( )．
∴ ∠𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐹( )
∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴ ∠𝐵 = ∠𝐵𝐸𝐹(同理)．
∴ ∠𝐵 + ∠𝐶 = (等量代换)
即∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶．
(2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由．
(3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数．

7 . 如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB连接DF，
（1）填空：           (填一个三角形)；
（2）试判断BD，DE，CE之间的等量关系式；
（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照上面的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并说明理由

8 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类题的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题；如图①，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由，

（1）【思路梳理】
∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，∵，∴，即：点共线，根据“”，易证_______，得；
（2）【类比引申】
如图②，四边形中，，点分别在上，，若都不是直角，则当与满足等量关系__________时，仍有；
（3）【联想拓展】
如图③，在中，，点均在边上，且，猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．

9 . 已知，在中，，，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积．

10 . 在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

1 . 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？写出结论，并写出证明过程.
(2)当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请写出你的结论，并加以证明；
(3)当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，请直接写出结论，（不要求写出证明过程）．

2 . 如图1，已知∠A+∠E+∠F+∠C=540°．

（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠PAB=3∠PAQ，∠PCD=3∠PCQ，试判断∠APC与∠AQC的数量关系，并说明理由．

3 . 在△ABC中，CD⊥AB于点D．

(1)如图1，当点D是线段AB中点时，延长AC至点E，使得CE＝CB，连接EB．
①按要求补全图1；
②若AB＝2，AC＝，求EB的长．
(2)如图2，当点D不是线段AB的中点时，作∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠CAB，CE＝CB，连接AE，用等式表示线段AB，CD，AE的数量关系，并说明理由．

4 . 问题发现：
（1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________；
类比探究：
（2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值；
拓展延伸：
（3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．

5 . 如图，直线y＝x＋9分别交x轴、y轴于点A、B，∠ABO的平分线交x轴于点C．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M与点A、B、C是平行四边形的四个顶点，求CM所在直线的解析式．

6 . ▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB．
（1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形；
（2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°；
（3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为　 　．

7 . 如图，已知平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S_△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是(-6，a)
（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知：等边三角形，交轴于点，，，，，且、满足．
（1）如图，求、的坐标及的长；

（2）如图，点是延长线上一点，点是右侧一点，，且．连接．
求证：直线必过点关于轴对称的对称点；

（3）如图，若点在延长线上，点在延长线上，且，求的值．

9 . 将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起

（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=___；若∠AOC=135°，则∠BOD=___；
（2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=___；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．

10 . （1）感知：如图①，四边形ABCD和CEFG均为正方形．BE与DG的数量关系为_________．
（2）拓展：如图②，四边形ABCD和CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．请判断BE与DG的数量关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，四边形ABCD和CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，EBC的面积为9，则菱形CEFG的面积为_________．

1 . 如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是______

   

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴是轴，过点作一直线与抛物线相交于，两点，过点作轴的垂线与直线相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点是否在直线上，并说明理由；
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线，分别交直线和直线于点，，求的值．

3 . 如图，在直角坐标系中有一点P（5，5），M（0，m）为y轴上任意一点，N为x轴上任意一点，且∠MPN＝90°．

（1）当m＝5时，OM+ON的值为　　；
（2）当0＜m＜5时，OM+ON的值是否改变？说明你的理由；
（3）探索：当m＜0时，OM与ON的数量关系为　 ．

4 . （1）如图1，，求的度数． （提示：作）．
（2）如图2，，当点在线段上运动时，，求与、之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点在射线上运动，请你直接写出与、之间的数量关系．

5 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．

（1）问题探究：
①如图1，点C在线段上，，点M、N分别是线段、的中点．求线段的长；
②善于思考的小聪发现：只要点C在线段上，任意改变点C的位置，其他条件不变，的长就是．小聪理由如下：因为M、N分别是线段、的中点，所以，所以．老师肯定了小聪的方法．
（2）继续探究：
①如图2，是直角，射线在内部，且是的平分线，是的平分线，则_______．（直接写出结果）
②如图2，是直角，射线在内部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？如果不变，求出的度数；如果改变，请说明理由．（类比小聪的方法）
（3）深入探究：
如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线、．若，则______．（直接写出结果）

6 . △ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，
①连结NG，求线段NG的长；
②连结ND，求∠DNG的大小．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．

7 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．

   

8 . 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点作线段，使点，点分别在边，上（不与四边形顶点重合），连结，．设，下列结论：①若，则；②若，则与面积相等；③若，则．其中正确的是（       ）

A．①

B．②

C．③

D．②③

9 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S_△ABG：S_△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__．

10 . ①当，时，分别求代数式和的值．
②根据上面计算结果猜想这两个代数式的值有何关系?（若上面计算结果你还猜想不出关系，可以再尝试几组a、b的值进行计算猜想．）
③根据你的猜想，请计算当，时，代数式的值．

1 . 如图，在平面直角坐标系中已知A（2，2），B（6，2），点C是x轴正半轴上一点，连接OA，AB，BC，得到梯形OABC．点P是x轴正半轴上一动点（与点O不重合），AD，AE分别平分∠OAP和∠PAB，且交x轴于点D，E．
（1）若梯形OABC的面积为12，直接写出C点的坐标；
（2）当点P运动时，∠OPA与∠OEA之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）若∠AOC=44°，当点P运动到使∠ODA=∠OAE时，∠OAD的度数是多少？

2 . 已知：中，，．

（1）如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，点在线段的延长线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明．

3 . 如图，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．

（1）填空：点D的坐标为　 　．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S_△CDP+S_△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．

5 . 在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．
请你回答：

（1）在图①中，中线AD的取值范围是　 　．
（2）应用上述方法，解决下面问题
①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．
②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．

6 . 如图，在中，，点P是边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，的边上的高为．

(1)求的大小；
(2)判断直线，是否平行？并说明理由；
(3)求证：．

7 . 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C，对称轴为直线，该抛物线与x轴的另一个交点为B．

      

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求的面积最大值及点P的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B，C，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

8 . 已知直线 y₁3x 6与 x 轴、y 轴分别交于点 A，C；过点 C 的直线 y₂x b 与 x 轴交于点 B．

（1）b 的值为      ；
（2）若点D的坐标为（0，﹣2），将△BCD 沿直线 BC 对折后，点D落到第一象限的点 E 处， 求证：四边形 ABEC 是平行四边形；
（3）在直线 BC 上是否存在点 P，使得以 P、A、D、B 为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

9 . 在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．

（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；
（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 　 ．

10 . 操作：在中，，，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

1 . 如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是__________．
②直线DG与直线BE之间的位置关系是__________．
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明．若不成立，请写出新结论，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝2，AB＝3，求BG²＋DE²的值．

2 . 已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF、AD、ED.
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：；
（2）如图1，当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（3）如图2，当点E在线段AC延长线上时，四边形ADEF还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

3 . 已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE=90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．
（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．求证：DG＋FG＝EF；
（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．

4 . 以直线上一点为端点作射线，使．将一个直角三角板（其中）的直角顶点放在点处．

（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则____；
（2）如图②，将直角三角板绕点逆时针转动到某个位置，若恰好平分，则所在的射线是否为的平分线？请说明理由；
（3）如图③，将含角的直角三角板从图①的位置开始绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转角为，旋转的时间为秒，在旋转过程中是否存在三角板的一条边与垂直？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图 ，已知直线l₁，l₂，点P在直线l₃上且不与点A、B重合．记∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．
（1） 如图 ，若直线l₁//l₂，点P在线段AB（A、B两点除外）上运动时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
（2）如图 ，若（1）中∠1、∠2、∠3之间的关系成立，你能不能反向推出直线l₁//l₂？若成立请说明理由．
（3）如图 ，若直线l₁//l₂，若点P在A、B两点外侧运动时（不包括线段AB），请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
   

6 . 已知如图，射线在的内部，．点分别在射线上，且．连结．
（1）如图1，若，延长到点，使，连接．求证：①≌．
②．

（2）如图2，若，其它条件不变，问题（1）中的线段之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．

7 . 如图，直线分别与轴、轴交于点、点，点的坐标为，为线段上一动点，连接交轴于点．

   

(1)求出点、点的坐标；
(2)若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点在轴上，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，坐标分别是，且满足，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接．
（1）求点的坐标及四边形的面积；
（2）在y轴上是否存在一点，连接，使？若存在这样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．

   

9 . 横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，，，，，，，根据这个规律，第个整点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图所示，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段DE上一点（不与点D重合），AB∥DE，AE∥DC．

（1）如图1，当点F与E重合时，求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如图2，当点F不与E重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，当∠BCD=90°，且CD=CE，F恰好运动到DE的中点时，直接写出AB与DC的数量关系．

1 . 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同方法，求图2中阴影部分的面积（不用化简）
方法1：____________________
方法2：____________________
（2）观察图2，写出，，之间的等量关系，并验证；
   
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①若，，求的值；
②若，，求的值．

2 . 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点．
探究：设，两点间的距离为．
（1）点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；

（2）点在边上时设四边形的面积为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（如图2）；

（3）点在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点的位置，并直接写出相应的的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

3 . 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．
（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD．
（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．

   

4 . 将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点
（1）如图①，若时，点在内，则      度，____度，      度；
（2）如图②，改变直角三角板的位置，使点在内，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；
（3）如图③，改变直角三角板的位置，使点在外，且在边的左侧，直接写出三者之间存在的数量关系．

5 . （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则，请帮小明说明原因．
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？

6 . 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）

   

7 . 如图，在中，，，直角的顶点是中点，、分别交、于点、．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论正确的有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8 . 一边长为4正方形放在平面直角坐标系中，其中为原点，点、分别在轴、轴上，为射线上任意一点
（1）如图1，若点坐标为，连接交于点，则的面积为__________；

（2）如图2，将沿翻折得，若点在直线图象上，求出点坐标；

（3）如图3，将沿翻折得，和射线交于点，连接，若，平面内是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点坐标：若不存在，请说明理由．

9 . 如图，直线//，点E、F分别是上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段上的一点，点N为射线上的一点，连接．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，作的角平分线，且//．求与之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，连接．且恰好平分，求的度数．

10 . 将一副三角板中的两块如图所示的方式叠放在一起，直角顶点重合．
（1）若时，求的度数；
（2）当平分时，求的度数（请写出计算过程）；
（3）猜想并直接写出与的数量关系（不必说明理由）．

1 . 已知等腰中，，点在直线上，，交直线于点，且，，垂足为．

（1）当点在线段上时，如图1，求证；
（2）当点在线段的延长线上时，如图2；当点在线段延长线时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．

2 . 以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、，交点为G．

   

(1)如图1，当四边形为正方形时，和的数量关系是　       　；
(2)如图2，当四边形为矩形时，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形为平行四边形，四边形由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，的度数是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出的度数．

3 . 将一副三角板拼成如图所示的图形，即，，，，与相交于点．

   

（1）如果，那么与平行吗？试说明理由；
（2）将绕着点逆时针旋转，使得点落在边上，联结并延长交于点，联结，若，，，求的面积．

4 . 如图，和都是等腰直角三角形，，E在线段上，连接，的延长线交于F．

（1）猜想线段、的数量关系和位置关系：_________________（不必证明）；
（2）当点E为内部一点时，使点D和点E分别在的两侧，其它条件不变（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

5 . 边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与，不重合），连接，将绕点顺时针旋转到．连接，与交于点，延长线与（或延长线）交于点．
(1)连接，证明：；
(2)设，，试写出关于的函数表达式，并求出当为何值时，；
(3)猜想与的数量关系．（不用说明理由）

6 . （1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．(写出勾股定理的内容并证明)
（2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．

   

7 . （1）如图1，要使，、、应满足的数量关系是_______________．
（2），直线MN分别与AB、CD交于点M、N，平面内一点P满足，
①如图2，若于点P，判断与的数量关系，并说明理由；
②若，，求用含的式子表示．

8 . 【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．

(1)【现象解释】 如图 ，有两块平面镜 ，，且 ，入射光线 经过两次反射，得到反射光线 ．已知：，求的度数．

(2)【尝试探究】 如图，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点 ，若 ，求的度数．

(3)【深入思考】 如图 ，有两块平面镜 ，，且 ，入射光线 经过两次反射，得到反射光线 ，光线 与 所在的直线相交于点 ，，与之间满足的等量关系是 （直接写出结果）．

9 . 定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：

（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．
①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数．
②求证：AB∥EF．
③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．
（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．
（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？

10 . 已知矩形中，两条对角线的交点为．
(1)如图1，若点是上的一个动点，过点作于点， 于点，于点，试证明：；
(2)如图②，若点在的延长线上，其它条件和(1)相同，则三者之间具有怎样的数量关系，请写出你的结论并证明．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边，分别在轴，轴的正半轴上（），且，的长分别是一元二次方程的两个根，线段的垂直平分线交于点，分别交轴，轴于点，．

（1）求点、的坐标
（2）求线段的长
（3）已知是直线上一个动点，点是直线上一个动点，则在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

2 . 如图，点是直线上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线平分．当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周回到图1的位置时，在旋转过程中你发现与之间有怎样的数量关系？
（1）如图1，当时，若，求的度数；

             

（2）如图2，当是钝角时，使得直角边在直线的上方，若，其他条件不变，直接写出的度数；

   

（3）若，在旋转过程中你发现与之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数；

3 . 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
（1）求直线的解析式；
（2）设的面积，点的横坐标为，求出与的关系式；
（3）是否存在点，使是直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 已知中，，为线段上一点（不与重合），点为射线上一点，，设，．

（1）如图1，①若，，则__________，___________．
②若，，则__________，___________．
③写出与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，请直接写出与的数量关系．

5 . 如图，直线和直线互相垂直，垂足为，直线于点B，E是线段AB上一定点，D为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），直于点，连接AC．

（1）当，则___________°；
（2）当时，请判断CD与AC的位置关系，并说明理由；
（3）若、的角平分线的交点为P，当点D在线段上运动时，问的大小是否会发生变化？若不变，求出的大小，并说明理由；若变化，求其变化范围．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，线段AB在x轴上点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．得平行四边形ABDC

   

（1）补全图形，直接写出点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点M，连接MA，MB，使S△MAB=S四边形ABDC，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．请画出图形，探索∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系并说明理由．

7 . 如图，已知， ，且，满足，为第一象限内一点，连接，连接交轴于点，且．
(1)求、两点的坐标；
(2)如图①，若的面积为20，求点的坐标；
(3)如图②，在第四象限内过点作轴，且，连接．求证:， 且．
   

8 . 已知:如图,，试探求与的位置关系．并说明理由．

9 . 已知直线l₁∥l₂，且l₄和l₁、l₂分别交于A、B两点，点P为线段AB上．的一个定点（如图1）

（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．
（2）如果点P为线段AB上．的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（不必说理由）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时， （点P和点A、点B不重合）
①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．
②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）

10 . 问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝         °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．

1 . 如图，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论是（       ）

A．①②

B．①③④

C．①④

D．①②③④

2 . (1)如图1，AB∥CD，∠PAB=120°，∠PCD=110°，求∠APC的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答；如图3，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AD∥BC，点P在射线OM上运动（点P与A、B、O三点不重合）．
(2)当点P在线段AB上运动时，判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在线段AB外运动时，判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系，并说明理由．

3 . 如图，在正方形中，是边上一点，连接，过作于，交于．
（1）如图1，连接，当，时，求的长；
（2）如图2，对角线，交于点．连接，若，求的长；
（3）如图3，对角线，交于点．连接，，若，试探索与的数量关系，并说明理由．
   

4 . 如图，⊙O是的外接圆，的平分线交⊙O于点，交于点，过点作直线∥．

（1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．

5 . 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．
（1）求(AF+1)(CE+1)的值；
（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；

6 . 如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，过点O作OD⊥AB与点D，连接OA，点E是AC的中点，延长EO交BC于点F．
（1）求证：△CEF∽△ODA．
（2）若，△ABC是不是等腰三角形？并说明理由．

7 . 在下面的两位数18， 27，36， 45，54，63，72，81，99都是9的整数倍，小明发现这些数的个位数字与十位数字的和也都是9的整数倍，例如18的个位数字8与十位数字1的和是9．于是小明有了这样的结论：个位数字与十位数字的和是9的倍数的两位数一定是9的倍数．小明经过思考后给出了如下的证明：
设十位上的数字为，个位上的数字为，并且（为正整数）
那么这个两位数可表示为

∴这个两位数是9的倍数
小明猜想：个位数字与十位数字与百位数字的和是9的倍数的三位数也一定是9的倍数．小明的这个猜想的结论是否正确？若正确模仿小明的证明思路给出证明，若不正确举出反例．

8 . 在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系是什么？并说明理由．
（2）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由．
（3）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)．

9 . 如图，在梯形中，，，，，，点在边上，，点是射线上一个动点（不与点、重合），联结交射线于点，设，.

（1）求的长；
（2）当动点在线段上时，试求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点运动时，直线与直线的夹角等于，请直接写出这时线段的长.

10 . 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是AD边上动点，PA＝a，连结PB，将△APB沿PB折叠，得到△A′PB．

(1)当点A落BC边上时，求a的值；
(2)当a取何值时，PA′与四边形ABCD的边互相垂直．

1 . 如图，AB//CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，MG⊥NG吗？为什么？

2 . 我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心．重心有如下性质：重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．请利用该性质解决问题

（1）如图1，在△ABC中，AF、BE是中线，AF⊥BE于P．若BP＝2，∠FAB＝30°，则EP＝　 　，FP＝　 　；
（2）如图1，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，AF、BE是中线，AF⊥BE于P．猜想a²、b²、c²三者之间的关系并证明；
（3）如图2，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AB＝3，AD＝2，求AF的长．

3 . 倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题．
习题解答：
习题 如图（1），点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，说明理由．
解答：∵正方形中，，，
∴把绕点A逆时针旋转至，点F、D、E′在一条直线上．
∴，
又∵，，
∴
∴．

习题研究
观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①是四边形，点E、F分别在边、上；②；③；④．
类比猜想：（1）在四边形中，点E、F分别在、上，当，时，还有吗？
研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形中，点E、F分别在、上，当，时，还有吗？
（2）在四边形中，点E、F分别在、上，当，， 时，吗？
归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“”的一般命题：在四边形中，点E、F分别在、上，当，，时，则．

4 . 已知：如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为（秒秒）.

（1）用含的代数式表示的度数.
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求的值.
（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由.

5 . 如图，在钝角中，，点为边上的动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．
（1）请说明；
（2）当时，请说明；
（3）当为直角三角形时，请探索与之间的数量关系．

6 . 已知，如图1：中，、的平分线相交于点，过点作交、于、
(1)直接写出图1中所有的等腰三角形．指出与、间有怎样的数量关系？
(2)在(1)的条件下，若，，求的周长；
(3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问(1)中与、间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，、的外角平分线的延长线相交于点，请直接写出，、，之间的数量关系．不需证明．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ADP为等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．

   

8 . 如图，在等腰三角形ABC中，，D、E分别为AB、BC上的点，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，过C作于H．若，猜想线段DE、BE、EH之间的数量关系，并证明你的猜想．

     

9 . 已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，DF∥AC．
（1）如图1，点G是线段FD延长线上一点，连接EG，∠CEG的平分线EM交AB于点M，交FD于点N．则∠A，∠AME，∠CEG之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程；
（2）如图2，在（1）的条件下，若EG平分∠AED，∠AME＝35°，且∠EDF﹣∠A＝30°，求∠C的度数．
   

10 . 如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．

1 . 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（-1，0），抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，线段EF的长度最长？
（3）在抛物线是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

2 . 已知的三条边长分别为6，8，12，过任一顶点画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（       ）

A．6条

B．7条

C．8条

D．9条

3 . 在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作于点F.
（1）如图1，若点F与点A重合.①求证：；②若，求出；
（2）若，如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段AB的数量关系.并说明理由.

4 . 如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．

（1）求证：BE＝CD．
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．

5 . 如图1，在中，，，点分别是边的中点，点是边上的点（不与点重合），过点作交于点．
（1）观察猜想
①若点是线段的中点，则__________；
②若点是线段的三等分点，则__________．
（2）类比探究
将在平面内绕点逆时针旋转一定的角度，连接，猜想在旋转的过程中，的值有没有发生变化？若没有发生变化，请仅就图2的情形给出证明；若发生变化，请说明理由．
（3）解决问题
将在平面内绕点自由旋转，若，当点在同一条直线上时，请直接写出线段的长．

6 . 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F．

(1)点D在边AB上时，试探究线段BD，AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出正确结论．

7 . 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）AE与DF的位置关系是_____________；
（3）连接AF，点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数是否始终保持不变，如果不变请求出其度数，如果变化请说明理由．

8 . 直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB=α，∠PCD=β，∠APC=γ(α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°)．
（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；
（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．

9 . 我们提供如下定理：在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，

如图(1)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB．
请利用以上定理及有关知识，解决下列问题：
如图(2)，边长为6的等边三角形ABC中，点D从A出发，沿射线AB方向有A向B运动点F同时从C出发，以相同的速度沿着射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，DF交射线AC于点G．
(1)当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；
(2)当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；
(3)小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图3的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗?若改变，说明理由；若不变，说明理由．

10 . 如图1，已知三角形ABC与三角形ADE摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角形ABC，将三角形ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．

（1）当α为　 　度时，AD∥BC；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当三角形ADE的一边与三角形ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数（第（1）题的结论除外）．

1 . 在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高．
问题发现：
（1）如图1，若∠ACB=90°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，我们会发现CD，BE，BF之间的数量关系是CD=(BE+BF)，请你证明这个结论；
提出猜想：
（2）如图2，若∠ACB=60°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60º，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系是           ；
拓广探索：
（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k为常数)，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转α，得到线段CF，连接BF，请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．

2 . 如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．

（1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC．
（2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC=120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．
（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC=     （填写度数）．
（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为     （用含n的式子表示）．

3 . 如图1，，，.绕着边的中点旋转，，分别交线段于点.

   

（1）观察：①如图2、图3，当或时，________（填“”，“”或“”）
②如图4，当时，________（填“”或“”）
（2）猜想：如图1，当时，________，证明你所得到的结论.
（3）如果，请求出的度数和的值.

4 . 已知A，O，B三点在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，

（1）若∠AOC=90°，如图1，则∠DOE=      °；
（2）若∠AOC=50°，如图2，求∠DOE的度数；
（3）由上面的计算，你认为∠DOE=      °；
（4）若∠AOC=α，（0°< α <180°）如图3，求∠DOE的度数．

5 . 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？请用两种不同的方法求图2中的阴影部分的面积：______；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）²，（m﹣n）²，mn．
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，试求出代数式a﹣b的值．
（4）在完全平方公式的恒等变形中还有其他有用的变形，请你利用这些变形解决下面的问题，在直角三角形中，如果，斜边，则有，若直角三角形的周长为，斜边长为2，求出这个直角三角形的面积．

6 . 如图，在中，，点在线段上，以为直径的与相交于点，与相交于点，．
   
（1）求证：是的切线；
（2）在（1）的条件下，判断以为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交轴于，两点，且、两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根.

（1）试问：直线与直线是否垂直？请说明理由.
（2）若点在直线上，且，求点的坐标.
（3）在（2）的条件下，在直线上寻找点，使以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点的坐标.

8 . 已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．

   

（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；
（2）如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；
（3）如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

9 . 如图，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（       ）

①；②；③；④；⑤

A．①②③④

B．①②③⑤

C．①②④⑤

D．②③④⑤

10 . 如图，在等边中，点是线段上一点．作射线，点关于射线的对称点为．连接并延长，交射线于点．

（1）设，用表示的度数；
（2）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

1 . 已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．
（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；
（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；
（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．

2 . 在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．
（1）如图1，① 求证：BG＝CG；
② 求证：BE＝2FG；
（2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，则EH的长为______________．

3 . 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠1+∠2＝90°；
（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝55°，求∠ABC；
（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），试判断∠BAD+∠DMH与∠DNG的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，钝角中，，为上一点，，为上一点，．

（1）作于，交的延长线于．
①判断与的大小关系，并说明理由．
②求证；
（2）若，，求的长．

5 . 在中，，，点是的中点，，垂足为点，连接．
（1）如图1，求与的数量关系是______．
              
（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接，请猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点是线段延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．

6 . 在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F．

（1）如图1，当∠COD＝90°时，判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF；
（3）当∠COD＝60°，CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．

7 . 在矩形纸片ABCD中，点M，N分别为边AD，BC的中点，点E，F分别在边AB，CD上，且AE＝CF．将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P，将△NCF沿NF折叠，点C的对应点为点Q．
（1）如图1，若点P，Q分别落在边BC，AD上，则四边形PMQN的形状是　 　；
（2）如图2，若点P，Q均落在矩形ABCD内部，直线MP与直线BC交于点G，其它条件不变，则第（1）小题的结论是否仍然成立？说明其理由；
（3）如图3，若AD＝10，AB＝6，当四边形PMQN为菱形时，直接写出BE的长度．

8 . 如图，正方形中，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，交对角线于点，连接．

（1）根据题意补全图形；
（2）判定与的位置关系并证明；
（3）当，时，求线段的长．

9 . 如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点的对应点为点，点在边上，将沿折叠，点的对应点也为点．

（1）的度数为______．
（2）设，当为何值时，为等腰三角形？
（3）能否为直角三角形？若能，请求出相应的值：若不能，请说明理由．

10 . 如图，直线x与直线y垂直于点O，点B，C在直线x上，点A在直线x外，连接AC，AB得到△ABC.

（1）将△ABC沿直线x折叠，使点A落在点D处，延长DC交AB于点E，EF平分∠AED交直线x于点F.
①若∠EFB=25°，∠DEF=10°，则∠DCF=______
②若∠ACF-∠AEF=18°，求∠EFB的度数；
（2）过点C作MN平行于AB交直线y于点N，CP平分∠BCM，HP平分∠AHY，当点C从点O沿直线x向左运动时，∠CPH的度数是否发生变化？若不变求其度数；若变化，求其变化范围.

1 . 阅读材料：“直角三角形如果有一个角等于 ，那么这个角所对的边等于斜边的一半”，即“在中，，则”．利用以上知识解决下列问题：如图，已知是的平分线上一点．
（1）若与射线分别相交于点,且．
①如图1，当时，求证： ；
②当时，求的值．
（2）若与射线的反向延长线、射线分别相交于点，且，请你直接写出线段三者之间的等量关系．

2 . 在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）如图2，点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．
小明通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；
想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可．
请你参考上面的想法，帮助小明证明DA=AM（选一种方法即可）

3 . （2018秋•西湖区校级月考）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．
（1）如图，当射线AM，BN交于点C，且∠ACB＝60°时，求∠APB的度数；
（2）当AM∥BN时，请画出示意图，写出此时AF，AB，EB长度之间的等量关系，并给予证明；
（3）在（1）的条件下，即当射线AM，BN交于点C，且∠ACB＝60°时，请写出此时AF，AB，EB长度之间的等量关系，并给予证明．

4 . 在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、、．
（1）如图1，当点落在线段的延长线上时，求的度数；

（2）如图2，当点落在线段(不含边界)上时，与交于点，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

5 . 如图，已知的面积为3，且，现将沿方向平移的长度得到．
（1）求所扫过的图形面积；
（2）探究：与的位置关系，并说明理由．

6 . 如图1，四边形ABCD，边AD、BC的垂直平分线相交于点O．连接OA、OB、OC、OD．OE是边CD的中线，且∠AOB+∠COD＝180°
（1）如图2，当△ABO是等边三角形时，求证：OE＝AB；
（2）如图3，当△ABO是直角三角形时，且∠AOB＝90°，求证：OE＝AB；
（3）如图4，当△ABO是任意三角形时，设∠OAD＝α，∠OBC＝β，
①试探究α、β之间存在的数量关系？
②结论“OE＝AB”还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．

7 . 已知下列两个代数式：①m²－2mn+n²；②（m－n）²．
（1）当m=3，n=4时，分别求出①与②的值；
（2）当m=10，n=－10时，分别求出①与②的值；
（3）根据⑴与⑵的结果，你可得出什么结论？请直接写出来．

8 . 如图，在中，，，是边上的动点（不与点重合），将沿所在直线翻折，得到，连接， 则下面结论错误的是（     ）

   

A．当时，

B．当时，∠

C．当 时，

D．长度的最小值是1

9 . 如图，等边中，是上一点，过点作于点，作于点，是的中点，连接，．

   

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段，与的数量关系，并加以证明；
（3）求证：．

10 . 如图，在中，，，点，分别是，的中点，点为射线上一动点，连结，作交射线于点．

（1）当点在线段上时，求与的大小关系；
（2）当等于多少时，是等腰三角形．

1 . 在菱形中，为对角线上一点，点在直线上，且．如图①，当时，点在线段的延长线上，线段之间的数量关系是(无需证明)；

（1）如图②，当，点在线段上时，线段之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明；

（2）如图③，当，点在线段的延长线上时，直接写出线段之间又有怎样的数量关系?

2 . 在正方形中，是一条对角线，点是边上的一点（不与点重合），连接，将沿方向平移，使点与点重合，得到，过点作于点，连接，．

（1）如图1，①依题意补全图1；
②判断线段与之间的数量关系与位置关系，并证明；
（2）已知正方形的边长为6，当时，求的长．

3 . 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．

   

4 . 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，堪称人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（        ）

A．	B．
C．	D．

5 . 已知，平分.
（1）在图1中，若，，我们可得结论：；

在图2中，若，，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

【解】
（2）在图3中：（只要填空，不需要证明）.

①若，，则     ；
②若（），，则       （用含的三角函数表示）．

6 . 我们知道，等腰三角形的两个底角相等，即在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(如图①所示)．请根据上述内容探究下面问题：
(1)如图②，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，动点D在BC边上运动，试证明CD＝BE且CD⊥BE．

(2)如图③，在(1)的条件下，若动点D在CB的延长线上运动，则CD与BE垂直吗？请在横线上直接写出结论，不必给出证明，答：_______．
(3)如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，动点D在△ABC内运动，试问CD⊥BE还成立吗？若成立，请给出证明过程．

(4)如图④，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝x°(90<x<180)，点D在△ABC内，请在横线上直接写出直线CD与直线BE相交所成的锐角（用x的代数式表示）．答：直线CD与直线BE相交所成的锐角______________．

7 . 已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积
关系是：                   ．
（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面
积关系是：______________________．并证明你的结论．
证明：
（3）运用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是          cm²．