综合运用 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则______，______．

2 . 如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点．

(1)若，，，求的长度；
(2)求证：；
(3)如图2，当为直径时，若，，求的面积．

3 . 已知，平分，平分，

(1)求的度数．
(2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：；
(3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积．

4 . 如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值
(3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标

5 . 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点H、K．

(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．

6 . 将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______．

7 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

8 . 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点．

(1)求证：；
(2)若菱形的边长为8，，求的长．

9 . （1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．

10 . 如图，在直角坐标系中，直线y₁＝ax+b与双曲线y₂＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．
（1）求y₁，y₂对应的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

1 . 如图，在四边形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．

(1)直接写出：_______，______；（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？
(3)若点P与点C不重合，且，当t为何值时，是等腰三角形？

2 . 已知，且是关于的正比例函数．

(1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像；
(2)若，求函数的最小值．

3 . 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

销售时段	销售数量		销售收入
	A种型号	B种型号
第一周	3台	4台	1200元
第二周	5台	6台	1900元

(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台．
①求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有哪几种采购方案?

4 . 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

5 . 在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

6 . 如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．

(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

7 . 如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．

8 . 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且．

(1)___________，___________，四边形的面积为___________；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题：
当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则___________秒；
当点在上运动时，点的坐标为___________；（用含的式子表示）
当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；
当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值．

9 . 如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点．

(1)填空：_____度；
(2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
(3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由）

10 . 如图，矩形和矩形，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连结和，M，N分别是的中点，则的长为（       ）

A．3

B．6

C．

D．

1 . 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)证明：四边形是菱形；
(3)若，求菱形的面积．

2 . 如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接．

（1）与的数量关系是_______；
（2）求证：；
（3）若，求阴影部分图形的面积．

3 . 如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

   

(1)如图①，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故得，将点移到、内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）；
(3)根据（2）的结论求图④中的度数．

5 . 如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、．

(1)如图1，求证：；
(2)若正方形的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；
②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值．

6 . 如图，已知．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上分别确定点，使四边形是菱形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求（1）中所作菱形的边长．

7 . 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：

(1)甲车行驶速度是___________千米/时，B，C两地的路程为___________千米；
(2)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
(3)出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．

8 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．

9 . 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数        ．

10 . 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米²）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

1 . 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

2 . 如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．

(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②的度数为 　 　度；
(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．

3 . 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

   

（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是     ；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂．则S₁与S₂的数量关系是     ．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S_△DCF=S_△BDE,请直接写出相应的BF的长

4 . 问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．

（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．

6 . 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（       ）

A．点B坐标为(5，4)

B．AB＝AD

C．a＝

D．OC•OD＝16

7 . 如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°， AB＝6，则AD的长是（　　）

A．6

B．3

C．2

D．

8 . 如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为．

（1）求该抛物线的表达式：
（2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标；
（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB＝3OA．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．

10 . 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接．设运动时间为t秒．

   

(1) ______， ______．
(2)当t为何值时，的面积为．
(3)是否存在某一时刻t，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，请说明理由．

1 . 如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．

2 . 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：
该地区每周接种疫苗人数统计表

周次	第1周	第2周	第3周	第4周	第5周	第6周	第7周	第8周
接种人数（万人）	7	10	12	18	25	29	37	42
该地区全民接种疫苗情况扇形统计图				A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人；
（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．
①估计第9周的接种人数约为________万人；
②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？
（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

3 . 在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．

（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；
（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．

4 . 如图，，，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q，给出以下结论：①；②；③；④如果，，则．其中结论正确的序号是________．

5 . 在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．

(1)如图1，当点D是边上的中点时，      ；
(2)如图2，当是的平分线时，若，求的值（用含m，n的代数式表示）；
(3)如图3，平分，延长到E，使得，连接，如果，，那么      ．

6 . 如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．

7 . 在平面直角坐标系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x轴，如图1，C(1，0)，且OC：OA＝AC：BC＝1：2．

(1)A点坐标为______，B点坐标为______；
(2)求过A、B、C三点的抛物线表达式；
(3)如图2，抛物线对称轴与AB交于点D，现有一点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一点Q从点D与点P同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点P到达B点时，点P、Q同时停止运动，问点P、Q运动到何处时，△PQB面积最大，试求出最大面积．

8 . 已知直线，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点C．

（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，则和之间的数量关系是________；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作 交直线PQ于点D，为探究与的数量关系，小明过点B作，请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时直接写出的度数；
B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时，直接写出的度数．

9 . 【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．

【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：．
【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由．

10 . [感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝　 　．
[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝　 　．

1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分．

(1)A点的坐标为          ；的度数为          ．
(2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断与的数量关系，并说明理由．

2 . 如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．

   

(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；
(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．

(1)求直线AM的函数解析式．
(2)如果在直线AM上有一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．

5 . 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．

(1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）；
①平行四边形       ②菱形       ③矩形       ④正方形
(2)如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；
(3)如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．
①在图2中，求证：平分；
②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系．

6 . 如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为(       )．

   

A．

B．

C．

D．

7 . 定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　 　；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

8 . 在中，为的直径，为过C点的切线．

(1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小；
(2)如图②，过点作的切线交于点，求证：；
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x²﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是_____，PD＋PC 的最小值是______．

10 . 数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：

   

(1)求证；
(2)猜想与的数量关系，并证明；
(3)探究线段之间的数量关系，并证明．

1 . 抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作PE⊥AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y＝ax²+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．

2 . 如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．

(1)判断△APF的形状，并说明理由；
(2)连接EF，求EF:PM的值．

3 . 如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；
(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．

4 . 如图1，中，，，，点P、Q是边，上两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点E，F，设．

(1)当平行四边形的面积为时，求m的值；
(2)求证：；
(3)如图2，连接，，，当与的一边平行时，求的面积．

5 . 如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为（       ）

A．

B．900

C．

D．

6 . 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且．

（1）如图2，求证：；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；
（3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）．

7 . 如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________

8 . 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．

9 . 如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段的中点，连接，．

(1)探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
(2)如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

10 . 已知抛物线与x轴相交于不同的两点．
（1）求的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；
（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由．

1 . 如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2 . 如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm²，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
（1）a＝          ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm²；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．

3 . 如图1，正方形ABCD中，M，N分别是AB、BC上的点，DM，DN分别与对角线AC相交于点F、E．
（1）若DM=DN，求证：∠AFM=∠CEN；
（2）若∠MDN=45°，求证：2AE·CF=AC²；
（3）如图2，连接BD交AC于点O，若DN平分∠BDC，直接写出OE：BN：NC的值．

4 . 如图，已知是的直径．是的弦，弦垂直于点，交于点．过点作的切线交的延长线于点

（1）求证：；
（2）判断是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若为中点，，，求的长．

5 . 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点，过点作于点M，交边于点．

(1)求证：；
(2)若．
①求的值；
②当时，求的长．

6 . 【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线与直线：相交于点A，动点M在线段和射线上运动．

(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

8 . 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（       ）

A．①④

B．①②③

C．②③④

D．①②③④

9 . 城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y₁（元）与复印页数x（页）的关系如下表：

x（页）	100	200	400	1000	…
y1（元）	15	30	60	150	…

（1）y₁与x的函数关系是否满足一次函数关系？
（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y₂（元）与复印页数x（页）的函数表达式；
（3）你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．

10 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，当面积最大时，求出点的坐标；
（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

1 . 如图，直线与x轴y轴分别交于A、B两点在y轴上有一点，D是上一点．

（1）点A的坐标：________；点B的坐标：_________；
（2）若，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S_{四边形CDEF}=S_△ABF ,其中正确的结论有（     ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

3 . （1）正方形中，对角线与相交于点O，如图1，请直接猜想并写出与之间的数量关系：       ；
（2）如图2，将（1）中的绕点B逆时针旋转得到，连接，请猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，矩形和有公共顶点，且，则       ．

4 . 如图，已知是边长为6的等边三角形，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交线段，于点，，连接和，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④当时，，其中正确的有（       ）．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

5 . 如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

6 . 已知在四边形中，，．

(1)如图1，连接，若，，则=______．
(2)如图2，点P、Q分别在线段、上，且，求证：
(3)若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，如图3所示，若满足，请直接写出与∠D的数量关系．

7 . 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

   

8 . 2025年某市中考体育选考已出结果，其中前掷实心球是项目一中4选1中的一项．图1是一名女生在投掷实心球，实心球行进的路线是一条抛物线，行进的高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处的高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求关于的函数表达式；
(2)根据某市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

9 . 二次函数的图象，与轴交于原点和点，顶点的坐标为．

（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过两点可以画无数条抛物线，设顶点为，过点向轴、轴作垂线，垂足为点．求当所得的四边形为正方形时的二次函数表达式；
（3）点在（1）中求出的二次函数图象上，且点的横坐标为1，点是坐标平面上一点，点在轴上，是否存在以四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

10 . 在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）²+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）²﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1．
（1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）²﹣5的顶点坐标为_____，“伴随直线”为_____．
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）²﹣4a（a≠0）与其“伴随直线”相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．
①若△ABC为等腰三角形时，求a的值；
②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求a的值．

1 . 同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：

(1)如图1，和具有怎样的数量关系？请直接写出______；
(2)如图2，的平分线与的平分线相交于点Q，求的大小；
(3)如图3，点P是线段上的动点（不与A，D重合），连接、，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．

2 . 探究：如图和图，四边形中，已知，，点、分别在、上，．

   

(1)如图，若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______；
如图，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)拓展：如图，在中，，点、均在边边上，且，若，求的长．

3 . 在平面直角坐标系中，已知点、分别为轴和轴上一点，且满足，点是坐标系内一点，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接、．

   

(1)点的坐标为________；点的坐标为________．
(2)如图1，若点在第二象限，试判断与的关系，并说明理由．
(3)如图2，若点的坐标为，与交于点，连接．求点的坐标．

4 . 如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为．

(1)当时，求的顶点及点的坐标；
(2)当经过原点时，求的值；
(3)下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由．
嘉嘉提出的问题：是否经过点？
淇淇提出的问题：是否经过点？
(4)若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值．

5 . 如图，直线y＝kx﹣1与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于B、C两点，且OC＝2OB．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）若点A是直线y＝kx﹣1上的一个动点（不与点B重合），且点A的横坐标为t，试写出在点A运动过程中，△AOB的面积S与t的函数表达式；
（3）若△AOB的面积为1时，试确定点A的坐标．
   

6 . 如图1，已知二次函数y＝ax²x+c的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、点B，点B坐标为（8，0）．
（1）请直接写出二次函数的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积为16？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

7 . 如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出M点的坐标；
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点．

(1)当时，线段的长为________；
(2)当时，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

9 . 如图，在中，，，，延长到点，使，是边上一点，点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设．

(1)________，________，当点在上时，求的值；
(2)为何值时，与相切？
(3)当时，求阴影部分的面积；
(4)若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围．

10 . 抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在直线上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与相似，直接写出点M的坐标．

1 . 已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．

2 . 问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．

3 . 在平面直角坐标系中，已知点，，连接AB，将AB向下平移5个单位得线段CD，其中点A的对应点为点C．

(1)填空：点C的坐标为______，线段AB平移到CD扫过的面积为______；
(2)若点P是y轴上的动点，连接PD．
①如图（1），当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E，用等式表示三角形PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由；
②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标．

4 . 重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”——“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片.今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”、“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民_______人参与采摘．

5 . 如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．

（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的值．

6 . 如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足，点是数轴原点．
   
（1）点表示的数为_________，点表示的数为________，线段的长为________．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为_________．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？

7 . 如图，已知点A（﹣3，2），点B是x轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为斜边在AB的上方构造等腰直角△ABC，连接DC．
（1）当点B的坐标为（4，0）时，点C的坐标是_______；
（2）当点B在x轴正半轴上运动的时候，点C是否在一直线上运动，如果是，请求出点C所在直线的解析式；如果不是，请说明理由；
（3）在B点的运动过程中，猜想DC与DB有怎样的数量关系，并证明你的结论．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为_________．

9 . 如图，点是线段上一点，，以点为圆心，的长为半径作⊙，过点作的垂线交⊙于，两点，点在线段的延长线上，连接交⊙于点，以，为边作．

（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求四边形与⊙重叠部分的面积；
（3）若，，连接，求和的长．

10 . 如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．

【问题发现】
（1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长．

1 . 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为_____．

2 . 如图，已知抛物线y＝﹣x²＋bx＋c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．

3 . （1）如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；
（2）如图2，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证；
（3）如图3，是内一点，，，，直接写出的面积为___________．

4 . 如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将沿直线对折，使点A与点B重合，直线与x轴交于点C，与交于点D．

(1)求点A和点B的坐标；
(2)求的长度；
(3)在x轴上有一点P，且是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．

5 . 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．

6 . 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C 顺时针旋转90°至CE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；

   

（2）如图2，连接ED，若CD=，AE=1，求AB的长；

   

（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

   

7 . 如图AM∥BN，C是BN上一点， BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．

   

（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE = AB = 2，求菱形ABCD的面积．

8 . 如图，在矩形ABCO中，，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为．

(1)求反比例函数和直线DE的解析式．
(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，的周长最小值是_________．

9 . 直线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）已知点G的坐标为（2，7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值；
（3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在锐角三角形中，，以为直径作，分别交，于点，．

(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．

2 .
(1)如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：
(2)如图②，在中， E是边BC延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：；
(3)如图③，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O.
①试探求∠A与的数量关系并证明你的结论；
②按角的大小来判断的形状．

3 . 如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

4 . 如图1，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是t秒．过点作于点，连接，．
（1）用含的代数式表示下列线段：=       ，=       ，=        ；
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接，交于点，设为与的周长差，求与的函数关系式，并求当为何值时，与的周长相等．
（4）是否存在某一时刻t，使得为直角三角形？若存在，请直接写出值；不存在，请说明理由．

5 . 如图，已知二次函数y＝x²﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

   

6 . 在关于x，y的二元一次方程组的下列说法中，正确的有_______．
①当时，方程的两根互为相反数；②当且仅当时，解得x与y相等；③不论a为何值，x，y满足关系式；④若，则．

7 . 阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即．

（1）已知点的“级牵挂点”为求点的坐标，并求出点到轴的距离；
（2）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限；
（3）如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标；
（4）如果点的“级牵挂点”在第二象限，
①求的取值范围；
②在①中，当取最大整数时，过点作轴于点，连接，将平移得到，其中、、的对应点分别为、、，连接，直接写出四边形的面积为______．

8 . 在平面直角坐标系中，点是第四象限内一点，轴于，且是轴负半轴上一点，，．

   

(1)求点和点的坐标：
(2)如图1，点为线段（端点除外）上某一点，过点作垂线交轴于，交直线于，、的平分线相交于，求的度数；
(3)如图2，若点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若记，请用的式子表示的大小．

9 . 如图，在梯形中，，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，设运动时间为秒，连接．

（1）线段的长度是       ；
（2）当        秒时，四边形是矩形；
（3）在点运动过程中，当取何值时，线段与相等？
（4）连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．

10 . 如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；
（2）设正方形EFGH面积为S₁，正方形EFGH与ABC重叠面积为S₂，当S₁：S₂＝2时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿折线段DM﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．

1 . 我们把方程（x﹣m）²＋（y﹣n）²＝r²称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）²＋（y＋2）²＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．

(1)求⊙C的标准方程；
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由；
(3)连接CE，求sin∠AEC的值．

2 . 某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：

x（米）	0	0.4	0.8	1	2	3.2	4
y（米）	2	2.16	2.24	2.25	2	1.04	0

(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；
(3)当球拍触球时，球离地面的高度为米．
①求此时发球机与球的水平距离；
②现将发球机向下平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多少米？

3 . 在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．

   

(1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则         ;
(2)当时，请画出图形并求出的长；
(3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求出点C，D的坐标；
（2）设y轴上一点P（0，m），m为整数，使关于x，y的二元一次方程组有正整数解，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q点在线段CD上，横坐标为n，△PBQ的面积S_△PBQ的值不小于0.6且不大于4，求n的取值范围．

5 . 在中，，，点D，E分别是边的中点，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，连接．

(1)如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
(2)如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长

6 . 如图，半径为1的经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．

(1)求点A、B的坐标；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图a，在正方形中，E、F分别为边的中点，连接交于点G．

(1)求证：；
(2)如图b，连接，交于点H．
求证：；
若，求三角形的面积．

8 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若cos∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．

9 . 以为直径作半圆，点C是该半圆上一动点，连接，并延长到点D，使，过点D作于点E、交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点O重合时，求的度数；
（2）如图2，当时，求线段的长；
（3）在点C运动过程中，若点E在线段上，是否存在以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时线段的长；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是（       ）

A．，或	B．，或
C．，或	D．，或

1 . 某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？

2 . 如图，长方形中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，所在的直线方程为，则折痕EF的长为 _____．

3 . 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上的一点，把△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，且点F恰好落在AD边上，连接BF．
（1）求△DEF的周长；
（2）求sin∠BFE的值．

4 . 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在AB上，作DE⊥AB交AC的延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF交DE于点F．
（1）求证：CF＝DF．
（2）若点C为AD中点，CF＝，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．

5 . 如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P　　（填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．

6 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
（1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；
（2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；
（3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围．

7 . 已知，线段是的直径，弦于点，点是优弧上的任意一点，，.

(1)如图1，
①求的半径；
②求的值.
(2)如图2，直线交直线于点，直线交于点，连结交于点，求的值.

8 . 如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，交于点H，交于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（       ）

A．①③④

B．①②

C．②③

D．①②④

9 . 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．

（1）几秒钟后的面积等于；
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
（3）在点、的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案．

10 . 如图1，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与，分别交于D，E两点，，点P是线段上一动点．

（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接，求周长的最小值；
（3）如图3，当时，求线段的长．

1 . 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积最大时，求点的坐标．

2 . 如图，数轴上、两点表示的数分别为、，且、满足．

(1)则___________，___________
(2)点、分别从、两点同时向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒．
①当时，求、两点之间的距离；
②在、的运动过程中，共有多长时间、两点间的距离不超过个单位长度？
③当时，在点、运动过程中，等式（为常数始终成立，求的值．

3 . 如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，．

（1）直接写出点的坐标：________；
（2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度；
（3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标．

4 . 已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，－8），若CB＝AB，且S_△OAB＝8．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)直接写出kx＋b－＜0的解集；
(3)若点P为y轴上一点，求使∠APB＝90°的点P的坐标．

5 . 如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．

6 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：
①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；
②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为50；
③A′C﹣B′C的最大值为15；
④A′C+B′C的最小值为9．
其中正确结论的序号是______________

7 . 如图，已知平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S_△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是(-6，a)
（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 在中，弦直径于点，为线段上一点，，连接并延长交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）连接，，，若，，求线段的长度．

9 . 已知：等边三角形，交轴于点，，，，，且、满足．
（1）如图，求、的坐标及的长；

（2）如图，点是延长线上一点，点是右侧一点，，且．连接．
求证：直线必过点关于轴对称的对称点；

（3）如图，若点在延长线上，点在延长线上，且，求的值．

10 . 如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，．

(1)求的值；
(2)如图2，连接，，将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，当，，三点在一条直线上时，求的长度．

1 . 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标．
（3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B₁处，求出点M的坐标．
（4）点C在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

   

2 . 四边形是正方形，点P是平面上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．

（1）如图①，当点P在正方形的边上时，求证：；
（2）如图②，当点P在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）延长，交直线于点E．若四边形为正方形，，求线段的长．

3 . 如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转30°得到线段，连接并延长交于点，连接，则三角形的面积为__________．

4 . 正比例函数（）的图象与反比例函数的图象相交于点和点，点的坐标为，点是轴正半轴上一点，连接、，作点关于直线的对称点，现有以下结论：
①；
②点的坐标为；
③当时，四边形为菱形；
④当四边形为菱形时，点的坐标为．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）

5 . 如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点左边），与轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线上的点的在下方运动时，求面积的最大值．
(3)连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；

6 . 某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x（元/件）时，日销售量为（200-x）件．
（1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式
（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？
（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？

7 . ∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º．
   
（1）如图①，求证AD+BC=BE；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；
（3）若BE⊥BC，tan∠BCD=，CD=10，则AD=______．

8 . 在四边形中，是边上一点，点从出发以秒的速度沿线段运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动．设运动时间为（秒）：

   

（1）当与的速度相同，且时，求证：
（2）当与的速度不同，且分别在上运动时（如图1），若与全等，求此时的速度和值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图2），若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等，若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．

9 . 已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足．
（1）求△ABC的面积；
（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．
①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；
②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S₁，S₂，试用含t的代数式表示S₂﹣S₁．

10 . 如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．12

1 . 如图，的边，点是边的中点，，连接，将沿着折叠，点落在．若，则点到边的距离是（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax²﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax²﹣4ax+b的表达式．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴上，且．

（1）点的坐标为 　　；
（2）若动点从点出发，沿向点运动，同时动点从点出发，沿方向向点运动，动点的运动速度是每秒1个单位长度，动点的运动速度是每秒2个单位长度，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当的面积最大时，轴上有一点，则平面内是否存在一点使得以，，，为顶点的四边形构成以为边的菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

5 . 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是_____．
①P在∠A的平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．

6 . 在中，，点D､E分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接．
观察猜想

（1）如图①，当时，填空：
①______________；
②直线所夹锐角为____________；
类比探究
（2）如图②，当时，试判断的值及直线所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若，将绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出的值．

7 . 如图，，，C、B、D在同一条直线上．

（1）若，，连接，求的长．
（2）如图设a、b、c是和的边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾股方程”．
①写出一个“勾股方程”；
②判断关于x的“勾股方程”根的情况并说明理由；
③若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．

8 . 如图，已知直线与双曲线交于 A、B 两点，且点A的横坐标．
（1）求 k 的值；
（2）若双曲线 上点 C 的纵坐标为 3，求△AOC 的面积；
（3）在 y 轴上有一点 M，在直线 AB 上有一点 P，在双曲线上有一点 N，若四边形OPNM 是有一组对角为 60°的菱形，请写出所有满足条件的点 P 的坐标．

   

9 . 如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
   
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长；
（3）若，，求的长．

10 . 如图，在平行四边形中，．按以下步骤：①以为圆心，以适当长为半径作弧，交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射经交于点，交边于点．则的长度为（       ）

A．

B．

C．

D．

1 . 已知矩形ABCD，顶点A，B分别在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上，顶点C，D在反比例函数（k>0，x>0）的图像上．点C的横坐标是2，且矩形ABCD的面积是24，则k=________．

2 . 双曲线和在第一象限内的图象如图所示，在的图象上，轴于，交的图象于，轴于，交的图象于，当点在的图象上运动时，下列结论：①与的面积相等；②四边形的面积保持不变；③；④若是的中点，则是的中点．其中一定正确的序号是________．

   

3 . 设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90度．

(1)求m的值；
(2)求抛物线的解析式，并验证点D（1，﹣3）是否在抛物线上；
(3)已知过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . （1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数；
（2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，．
①求的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．

   

5 . 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴的正半轴交于点C

(1)求二次函数的表达式
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由

6 . 如图，在中，，D为边上一点，将沿翻折得到，连接、，交于点F，，若，，则的面积为________．

7 . 九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x＋40	90
每天销售（件）	200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程．若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝_____．

8 . 如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，平面直角坐标系中，直线经过点、，点是第一象限的点且，过点作轴，垂足为，．

（1）求直线的解析式和点的坐标；
（2）试说明：；
（3）若点是直线上的一个动点，在轴上存在另一个点，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D是边AB的中点．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动．当点P与点D不重合时，以PD为边构造RtPDQ，使∠PDQ＝∠A，∠DPQ＝90°，且点Q与点C在直线AB同侧．设点P的运动时间为t秒．
（1）求AB的长．
（2）当点Q落在边AC上时，求t的值．
（3）在不添加辅助线的情况下，当图中存在全等三角形时，求PDQ与ABC重叠部分图形的面积．
（4）取边AC的中点E，连结EQ．当EQ∥AB时，直接写出t的值．

   

1 . 如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．
请你回答：

（1）在图①中，中线AD的取值范围是　 　．
（2）应用上述方法，解决下面问题
①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．
②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．

3 . 如图，在中，，点P是边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，的边上的高为．

(1)求的大小；
(2)判断直线，是否平行？并说明理由；
(3)求证：．

4 . 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段，交于点D，E，连接．若点B关于的对称点恰好在上，则________．

5 . 某公司生产一种产品，月销售量为吨（），每吨售价为7万元，每吨的成本（万元）由两部分组成，一部分是原材料费用固定不变，另一部分人力等费用，与月销售量成反比，市场部研究发现月销售量吨与月份（为1~12的正整数）符合关系式（为常数），参考下面给出的数据解决问题．

月份（月）	1	2
成本（万元/吨）	5	5.6
销售量为（吨/月）	120	100

（1）求与的函数关系式；
（2）求的值；
（3）在这一年12个月中，
①求月最大利润；
②若第个月和第个月的利润相差最大，直接写出的值．

6 . 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠GAH＝60°，④GD＝GH．则其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7 . 【问题原型】如图，在矩形中，对角线、交于点，以为直径作．求证：点、在上．

请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．
【发现结论】矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．
【结论应用】如图，已知线段，以线段为对角线构造矩形．求矩形面积的最大值．

【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以线段为对角线构造矩形，矩形的边与正方形的对角线交于、两点，当的长最大时，矩形的面积为_____________________

8 . 在平面直角坐标系中，抛物线，顶点为P，直线与抛物线交于点A，点B．
(1)求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．

9 . 如图，中，平分交于点 ，为的中点．
（1）如图①，若为的中点，，，，，求；
（2）如图②，为线段上一点，连接，满足，．求证：．

10 . 在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于点、，若，则________．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于点、．若，求证：四边形是菱形；

（3）在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

1 . 如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，DE⊥AB，垂足为E，且∠EAD=∠CAD．

（1）求证：BD=CD；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，BE=8，求AD的长．

2 . 如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，．

   

(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

3 . （1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）如图2，在中，是上一点，连接，．已知，，．求证：．
（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．

4 . 在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．

（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；
（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 　 ．

5 . 如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是(　　)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6 . 已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处．
①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'=______；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；
（2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
（3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．

7 . 如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠DAP＝∠PBA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝∠BPC＝60°，试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在第（2）问的条件下，若AD＝2，PD＝1，求线段AC的长．

8 . 反比例函数y（x˂0）交等边△OAB于C、D两点，边长为5，OC＝3BD，则k的值（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．

（1）求证：AE•BC=AD•AB；
（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．

10 . 如图所示，抛物线y₁＝﹣x²与直线y₂＝﹣x﹣交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象回答：
①当x取何值时，y₁的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y₁＜y₂？
（3）求△AOB的面积．
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

1 . 一副三角板直角顶点重合于点，，，．
（1）如图（1），若，求证：；
（2）如图（2），若,,则 度；
（3）如图（3），在（1）的条件下，与相交于点，连接，，若，，，求的面积．

2 . 问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°．
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　．
拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
（4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

3 . 如图，在正方形中，以为边作等边，延长分别交于点，连接与相交于点，给出下列结论： ①；②；③；④；其中正确的是（   ）

A．①②③④

B．②③

C．①②④

D．①③④

4 . 如图，矩形中，，，的角平分线交边于点，点在射线上以每秒个单位长度的速度沿射线方向从点开始运动，过点作于点，以为边向右作平行四边形，点在射线上，且，设点运动时间为秒．

（1）____________（用含的代数式表示）；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）设平行四边形与矩形重合部分面积为，当点在线段上运动时，求与的函数关系式；
（4）直接写出在点、运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时的值（不添加任何辅助线）．

5 . 如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且．已知点A的横坐标为4，当四边形是正方形时，请写出m、n之间的数量关系________．

6 . 如图，在中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且，垂足为点E．过点C作交AD的延长线于点F，连接BF，交⊙O于点G，连接DG．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：四边形ABFC为菱形；
（3）若OA=5，FG=4，求线段DG的长．

7 . 问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，垂足为点H，若AB＝4，AC＝3，则线段CH的长度为　     　．
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点F为CD边的中点，点E是BC边上的一点，连接AE，AF，EF．若∠EAF＝45°，BC＝6，CD＝2，求线段EF的长．
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD，∠ABC＝60°，∠C＝90°，点M，N是BC边上的两点，连接AM，AN，BD，BD交AM于点E，交AN于点F．若∠MAN＝30°，BE＝4，DF＝6，求△AMN的面积．

8 . 把三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点(，)，点在轴的正半轴上，且．
（1）如图①，求，的长及点的坐标；
（2）如图②，点是的中点，将△沿翻折得到△，
①求四边形的面积；
②求证：△是等腰三角形；
③求的长（直接写出结果即可）．

   

9 . 【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：
如图，四边形是正方形，为边上一点，延长至，使，连接.……
提炼1：绕点顺时针旋转90°得到；
提炼2：；
提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式.

【问题解决】（1）如图，四边形是正方形，为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，交于点，连接.可得：        °；三者间的数量关系是         .

   

（2）如图，四边形的面积为8，，，连接.求的长度.

   

（3）如图，在中，，，点在边上，.写出间的数量关系，并证明.

   

10 . 如图，平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），OC＝OA，且a，b满足|a﹣8|＋＝0
（1）求直线AB的表达式；
（2）现有一动点P从点B出发，以1米/秒的速度沿x轴正方向运动到点C停止，设P的运动时间为t，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N，请用含t的式子表示线段ON的长度；
（3）在（2）的条件下，连接BM，当S_△ABM：S_△ACM＝3：7时，求此时P点的坐标．

1 . 如图，顶点为的抛物线经过原点O，交x轴于点B．

　　

（1）求直线OA的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）P为直线OA上一动点，是否存在以A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在中，，点为的中点，，，将沿着折叠后，点落在点处，则的长为（       ）

A．

B．4

C．7

D．

3 . 如图1，平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（2，1），OA⊥OB，OA＝OB，BC∥x轴，交y轴于点D，∠BCA＝135°．
（1）求点B的坐标；
（2）求线段BC的长；
（3）点P（0，m）在线段OD上，过点P作轴平行线（如图2），被四边形AOBC的边截得线段的长度为d，求d关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

4 . 阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为x₁，x₂，那么点M与点N之间的距记为|MN|且|MN|＝|x₁﹣x₂|．
②当数轴上三点A、B、C满足|CA|＝k|CB|（k＞1）时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，|CA|＝2|CB|，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为6和﹣3，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝　　；
（2）若x满足|x+2|+|x﹣1|＝3，且点P是“A对B的k相关点”，则k的取值范围是　　；
（3）若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．

5 . 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．其中正确的个数为（　　）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

6 . 已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求证：BE=CF；
②求证：BE²=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE²=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，直接写出tan∠CBF的值．

7 . 如图，在矩形中，点F为边上一点，过F作交边于点E，P为边上一点，交线段于H，交线段于Q，连接．当时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）

A．

B．

C．

D．

8 . 已知：在平面直角坐标系中，点，，且a，b满足．

（1）求a，b的值；
（2）如图1，若，，点C在第四象限，与y轴交于点M，与x轴交于点N，连接，
①求点C的坐标；②求及点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接．两个结论：①；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明．

9 . 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，以为直径作．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求的值．

10 . 如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）

A．

B．

C．

D．

1 . 二次函数y＝ax²﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．
（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；
（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，设点D在直线AB上方的抛物线上，当∠CBD＝∠ABC时，求出点D的坐标；
（3）若在抛物线的对称轴上有一点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P的坐标．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列），当点A与原点O重合时，得到等腰直角△OBC（此时点P与点C重合）．
（1）BC＝　 　；当OA＝2时，点P的坐标是　 　；
（2）设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．
①点A在移动过程中，△ABP的顶点P在射线OC上吗？请说明理由；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（　 　，　 　）；
（3）分别过点P、A作x轴、y轴的平行线，两条平行线交于点Q，是否存在这样的Q，使得△AQB是等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．

3 . 如图，已知等腰，，，直线绕点A旋转，得直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，交直线于点F，连接．

（1）如图1，直接写出线段，，之间的数量关系？不用说明理由：
（2）当直线旋转到如图2位置时，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）若，当时，直接写出线段的长？

4 . 如图，以点为圆心，半径为的圆与的图像交于点，若，则的值为_______．

       

5 . 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=4，边BC在其所在的直线上平移，平移后得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并利用图1加以证明．
（3）在平移变换过程中，设y=S_△OPB，BP=x(0≤x≤4)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

6 . 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、.
(1)求的取值范围；
(2)当时，求的值和另一个根的值．

7 . 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）AC=　 　cm；
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

8 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒．
（1）填空：AB＝　 　；
（2）当t为何值时，CP平分∠ACB；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

9 . 如图，中，，AB>AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，平分交BC于F，（1）；（2）连AO，则AO平分；（3）A、O、F三点在同一直线上；（4）OD=OE；（5）BD+CE=BC． 其中正确的结论是__________．（填序号）

10 . 一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段、（2）半圆弧、（3）线段后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离（蚂蚁所在位置与点之间线段的长度）与时间之间的图象如图2所示，问：（注：圆周率的值取3）

（1）请直接写出：花坛的半径是          米，          ．
（2）当时，求与之间的关系式；
（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：
①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．
②蚂蚁返回所用时间．

1 . （1）若，都是正数，计算并比较大小：
①当时，________；
②当时， ________；
③当时，________；
④当时，________．
（2）写出关于与之间大小关系的猜想：________．
（3）实践应用：要制作面积为平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

2 . 如图，是半圆O的直径，点P是半圆O上异于A，B的一点，连接，的平分线交半圆O于点C，过点C作半圆O的切线交射线于点D，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当时，请直接写出线段与之间的数量关系．

3 . 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，NH⊥BC于H，求NH的最大值及此时点N的坐标．
（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

4 . 如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．

5 . 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．

(1)求证：△DAC∽△DBA；
(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：CE＝AD；
(3)若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．