阅读理解 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．

(1)点的坐标为________；点的坐标为________．
(2)已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．

2 . 阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）

3 . 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

4 . 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

5 . 我们已经学过完全平方公式：，将它适当变形可以解决很多数学问题．
(1)填空：已知，，则______．
(2)“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填______，______；每个圆圈上的三个数字之和为______．

②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，，请根据图3的对话内容，求的值．

小彬：由填数规则得； 所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则的值可以用含S的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值．

                                                                    图3
③在②的结论下，
或9，
若，求的值．

6 . 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长．

7 . 课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与相等的角是______；

类比迁移
（2）如图2，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是_________；
方法运用

（3）如图3，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
①求证：；
②连接，如图4，已知，，，求的长（用含，的式子表示）．

8 . 在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．若点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的横纵偏差，记为．
(1)，，
①的值是      ；
②点K在x轴上，若，则点K的坐标是                  ．
(2)点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，，点M的坐标为．
①当点Q的坐标为时，求的值；
②当线段在y轴上运动时，直接写出的最小值及此时点P的坐标．

9 . 在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定，将平面内的一些点分为I，Ⅱ两类，每类至少包含两个点，记第I类中任意两点的绝对距离的最大值为，第Ⅱ类中任意两点的绝对距离的最大值为，称与的较大值为分类系数．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．

(1)若将点分为第I类，点，，分为第Ⅱ类，则________，________，因此，这种分类方式的分类系数为________；
(2)将点，，，，分为两类，求分类系数的最小值：
(3)点的坐标为，已知将6个点，，，，，分为两类的分类系数的最小值是5，直接写出的取值范围．

10 . 【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……

(1)【问题提出】如图，是的角平分线，求证：；
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作交的延长线于点，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明．
(2)【理解应用】填空：如图，平行四边形中，平分交于点，则的长度为______；
(3)【深度思考】如图（c），矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的长；
(4)【拓展升华】如图（d），正方形中，为上一点，连接，将沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点，与的延长线交于点．若，求的长．

1 . 若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1)是 阶不等式；是 阶不等式组；
(2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围；
(3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围．

2 . 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）．
①29；                    ②48：                      ③13：                    ④28．
探究问题：
（2）若可配方成（为常数），则的值________；
（3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数满足，求的最小值．

3 . 数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．

4 . 【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________．

5 . 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
(1)已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
(2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．

6 . 【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD²+CB²＝CA²时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．

7 . 概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．

8 . 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（2m﹣x，﹣y），其中m为常数，我们称点P与点Q是相关点．
例如：当m＝0时，点P（1，2）的相关点Q为（﹣1，﹣2）．
（1）当m＝1时，点P坐标为（2，3），则它的相关点Q的坐标 　 　；
（2）若点P在y轴上，且它的相关点Q坐标为（m+2，﹣2m）．
①求△OPQ的面积；
②若存在一点A（x，6），使△APQ的面积大于△OPQ的面积，请直接写出x的取值范围 　 　；
（3）若点P（﹣m﹣3，4）和它的相关点Q到y轴的距离中最大值为m+8，求m的值．

10 . 【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？

   

如图1，很难看出直线、是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践•体悟】
(1)计算这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
(2)如图2，已知，求证，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造•突破】
(3)若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解为___________．
(4)如图3，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角___________．

1 . 对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．

2 . 如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系点A（0，a），C（b，0）满足．D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中以任意两点P(x ₁，y₁）、Q（x₂，y₂）为端点的线段中点坐标为，．

（1）则A点的坐标为　      　；点C的坐标为　      　．D点的坐标为　      　．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点 Q 到 达 A 点 整 个 运 动 随 之 结 束 . 设 运 动 时 间 为 t （t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S_△ODP＝S_△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理由．

3 . 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a²－b²，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a²－b²=(a+b)(a－b)；

【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1：                     ，方法2：                    ；
（2）由(1)可得到一个关于（a+b）²、（a－b）²、ab的等量关系式是              ；
（3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）²＝        ；
【知识迁移】
（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式：                           ．

4 . 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．
①求的长．
②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．

5 . 若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”．
（1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”；
（2）以下关于的代数式，是的“友好代数式”的是________；
①；②；③；
（3）若关于的代数式是的“友好代数式”，则的值是________；
（4）若关于的代数式是的“友好代数式”，求的最大值和最小值．

6 . 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．

（1）请写出的展开式= ；
（2）根据规律计算：；
（3）若（2x﹣1）²⁰¹⁸＝a₁x²⁰¹⁸+a₂x²⁰¹⁷+a₃x²⁰¹⁶+……+a₂₀₁₇x²+a₂₀₁₈x+a₂₀₁₉，求a₁+a₂+a₃+……+a₂₀₁₇+a₂₀₁₈的值．

7 . 学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a²－ab＋b²）＝a³＋b³，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：

(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a²＋ab＋b²）＝       ；
②计算：（99³＋1）÷（99²－99＋1）＝       ；
(2)【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
(3)【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．

8 . 因为,令=0,则（x+3）(x-2)=0,x=-3或x=2,反过来,x＝2能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x²+mx+8的一个因式,求m的值;
（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式的两个因式,试求a,b的值;
（3）在（2）的条件下,把多项式因式分解的结果为　          ．

9 . 我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；；
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式
（3）如果分式的值为整数，求的整数值

10 . 在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点．

（1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是         ；
（2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①求当t为何值时，P是的暗点；
②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．

1 . 【探索新知】
如图1，射线在内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．

（1）一个角的角平分线______________这个角的“二倍线”．（填是或不是）
（2）【运用新知】
如图2，若，射线绕从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为，若射线是的“二倍线”，求t的值．

（3）【深入研究】
在（2）的条件下．同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线旋转，当射线停止旋转时，射线也停止旋转．请直接写出当射线是的“二倍线”时t的值．

2 . 仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．

解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．

3 . 对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．

在平面直角坐标系中，点，，．
(1)过点作垂直于x轴的直线，
①当时，关于直线的对称度的值是          ：
②若关于直线的对称度为1，则m的值是          ．
(2)过点作垂直于y轴的直线，求关于直线的对称度的最大值．
(3)点满足，点Q的坐标为，若存在直线，使得关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

4 . 如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．

   

(1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______；
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度；
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：

层数/层	0	1	2	3	…
隔板长度/cm	120	______	______	______	…

②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？

5 . 新学期开始，某出版社计划出版销售A、B、C三种书籍，每种书箱均是整数本出售．第一个星期，该出版社三种书籍的售价均为整数，且C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，同时C种书籍的售价小于39元且不低于27元，三种书籍第一个星期内售出数量之比为3：2：1．第二个星期由于纸张价格迅速上涨，人工成本也在增加，该出版社决定把部分书籍涨价销售，其中A种书籍售价不变，B种书籍的售价比第一周售价增加1倍，C种书籍售价比第一周售价上升了，且第二个星期内，A种和C种书籍销量之比是4：5，B种书籍比第一个星期的销量减少20%．出版社结算发现，第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，则这两个星期C种书籍的总销售额是__________．

6 . 阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2
即1＜x＜2②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是　 　；x+y的取值范围是 　 　；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值．

7 . 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．
（3）在复数范围内解方程：．

8 . 阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．

(1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝     ；
(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为     ；
(3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
(4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S₁，S₂，S₃，若S₁+S₂+S₃＝40，则S₂＝     ．
(5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．

9 . 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点（0，﹣），顶点为C（﹣1，﹣2）．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．

10 . 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
   类比应用：
（1）化简：               ；
（2）化简：                ．
   拓展延伸：
   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC=             ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为            ．

1 . 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数．
为简单起见，设，则．
∵，∴……

任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设是已知线段，过点B作且使；
②连接，在上截取；
③在上截取；
则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　．

2 . 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：
对任意的实数a、b而言，a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²≥0，即a²+b²≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）²＝0，即：a²﹣2ab+b²＝0，所以a²+b²＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）²＞0，所以a²+b²＞2ab．
[类比论证]
对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b　 　2（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]
如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2．
[结论应用]
若a＞0，则当a＝　 　时，代数式a+有最小值为　 　．
[问题解决]
（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x²，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？

（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．

3 . “阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________；
（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：
①个位上的数字是千位上的数字的两倍；
②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．
例如：1423于4132为“相关和平数”
求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

4 . 先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题．
例题：解一元二次不等式．
解：∵，

∴．

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①解不等式组①，得，
②解不等式组②，得，
故原不等式的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或；
问题：
（）求关于x的两个多项式的商组成的不等式的解集；
（）若，是（）中解集x的整数解，以a，b，c为为边长，c是中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰的周长．

5 . 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：，
∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为1．

(1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____；
(2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
(3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值．

6 . 在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确定正方形”．如图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．

   

（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1），那么点M，N的“确定正方形”的面积为___________；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线上一动点，当点O，C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的取值范围．

7 . 如图，平面内的两条直线l₁、l₂,点A、B在直线l₂上，过点A、B两点分别作直线l₁的垂线，垂足分别为A₁、B₁，我们把线段A₁B₁叫做线段AB在直线l₂上的正投影，其长度可记作T_{（AB，CD）}或T_{（AB，l2）},特别地，线段AC在直线l₂上的正投影就是线段A₁C，请依据上述定义解决如下问题.
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T_{（AC，AB）}=3，则T_{（BC，AB）}= ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T_{（AC，AB）}=4，T_{（BC，AB）}=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T_{（AD，AC）}=2，T_{（BC，AB）}=6，求T_{（BC，CD）}.

8 . 阅读以下内容解答下列问题．
七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：
（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是         ．
（2）对于多项式x³﹣5x²+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x³﹣5x²+x+10的值为0，由此可以断定多项式x³﹣5x²+x+10中有因式（x﹣2），【注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）】，于是我们可以把多项式写成：x³﹣5x²+x+10＝（x﹣2）（x²+mx+n），分别求出m、n后再代入x³﹣5x²+x+10＝（x﹣2）（x²+mx+n），就可以把多项式x³﹣5x²+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．
①求式子中m、n的值；
②用“试根法”分解多项式x³+5x²+8x+4．

9 . 对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．

10 . 阅读材料：若，求m、n的值．

根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个不等边三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数，并满足求c的值．
（2）已知a、b、c是的三边长，且满足，试判断的形状．
（3）试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．

1 . 阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如、都是成对数
材料二：将一位四位正整数的百位和十位交换位置后得到四位数， ，
（1）               ：                
（2）试证明任意成对数能被整除；
（3）若t为一个成对数，另一个成对数．（）．若为一个完全平方数，请求出所有满足条件的的值．

2 . 已知方程（是常数，）的解是或，那么方程（是常数，且）的解是________．

3 . 甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．

4 . 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：

多面体	顶点数（）	面数（）	棱数（）
四面体		4	6
长方体	8	6	12
正八面体	6	8	12
正十二面体	20	12

你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．

5 . 对于平面直角坐标系xOy中的任意点，如果满足 (x≥0，a为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a≤3时，
①在点中，满足此条件的特征点为__________________；
②⊙W的圆心为，半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；
（2）已知函数，请利用特征点求出该函数的最小值．

6 . 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解 集吗？ 例题：解一元二次不等式分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式的解集．
求分式不等式的解集．
求一元二次不等式的解集．

7 . 阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为，那么点M与点N之间的距离记为，且．
②当数轴上三点A、B、C满足时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为5和－4，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝        ；
（2）若x满足，且点P是“A对B的k相关点”，则k的最大值是        ；最小值是        ；
（3）若动点P从A点出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒1个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．

8 . 小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，感受到平面直角坐标系对研究数学问题的价值，产生了强烈的兴趣．于是尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的一种新的距离：
小聪定义了P₁，P₂的“分解距离”，如下：
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）．
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则|x₁-x₂|为点P₁与点P₂的“分解距离”，即d分解（P，Q）=|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则|y₁-y₂|为点P₁与点P₂的“分解距离”，即d分解（P，Q）=|y₁-y₂|．
小明定义了P₁，P₂的“和距离”，如下：
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）．
点P₁，P₂的“和距离”为|x₁-x₂|与|y₁-y₂|的和，即d和（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
根据以上材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知点A（2，1），则d分解（A，O）=　 　；d和（A，O）=　 　；
（2）若点B（x，4-x）在第一象限，且点d分解（B，O）=3，求点B的坐标；
（3）①若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且点d和（C，O）=3，写出符合题意的三个点C的坐标，并在图1中描出相应的点，并观察图形，判断这些点是否在一条直线上．
②若点E，F满足d分解（E，O）=d和（F，O）=3，请分别画出并描述所有符合条件的点E围成的图形和点F围成的图形，并直接写出两个图形重合部分的面积．

9 . （1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　．
（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由
（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．

10 . 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若△ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝      cm；
（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为　　 ．
（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x²交于R，S两点，点P是抛物线y＝x².上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．

1 . 据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________；
（3）已知13824和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：=____;．

2 . 若一个三位数t＝（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297．
（1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝　　．
（2）若一个三位数t＝（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值．

3 . 材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图 ，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a₁＜a₂＜a₃＜a₄，如果满足（a₃﹣a₁）²＝（a₄﹣a₃）（a₄﹣a₁），（a₄﹣a₂）²＝（a₂﹣a₁）（a₄﹣a₁）则称a₃为a₁，a₄的黄金数，a₂为a₁，a₄的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．
已知直线y＝x＋b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是各边与坐标轴平行，中心为坐标原点，且边长为2的正方形．
（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是　 　（请直接写出答案）；
（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；
（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．

5 . 在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为       ，当满足       时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积；
（3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．

6 . 【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若，求OF的长．
       

7 . 阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB²+AC²=2AD²+2BD²．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB²+AC²=AE²+BE²+AE²+CE²=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=       ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为       ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：
如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

8 . 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示）
②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，）

（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留）
②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由．

9 . 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．
（1）当∠B＝72°时；
①若∠CPB＝54°，则△ACP　 　“倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；
（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．

10 . 如图，二次函数y＝ax²+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．

(1)求a，b，c的值；
(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；
(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．
①直接写出m的取值范围；
②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．

1 . 定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P的“等边对称点”；
（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标．
（2）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时，
①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．
②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标y_c的取值范围．

2 . 定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．
(1)尝试：如图1，在的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；

(2)推理：如图2，已知与均为等腰直角三角形，，连结，求证：四边形是等线四边形；

(3)拓展：如图3，已知四边形是等线四边形，对角线交于点O，若，，．求的长．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，A₁，A₂…A_k是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，p=m+n则称p为这k个点的“平面特征值”，记为T＜A₁，A₂，…A_k＞＝p．如：点M（2，1）点N（3，1），则T＜M，N＞＝2+1＝3
如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，直线l与直线AC，CD交y轴于点E，已知O为AB的中点，点B的坐标为（4，0）．

（1）T＜A，B＞＝　 　，T＜A，B，E＞＝　 　；
（2）点F（0，b）为y轴上一动点，过点F作直线l//x轴，直线l与直线AC、BD交于点P、Q，请直接写出T＜A，B，C，D，E，F，P，Q＞的所有可能值以及相应的b的取值范围．

4 . 阅读下列材料：
1637 年笛卡尔(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．

5 . 新定义，若关于，的二元一次方程组①的解是，关于，的二元一次方程组②的解是，且满足，，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于，的二元一次方程组的解是方程组的模糊解，则的取值范围是________．

6 . 如图，中，点D在边上，连接，，．

(1)如图1，求证：
(2)如图1，求证：．
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，交于点F，若，且，时，求的长．

7 . 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，我们定义点P关于线段的线段比
（1）已知点．
①点关于线段的线段比__________；
②点关于线段的线段比，求c的值．
（2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出m的取值范围．

8 . 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

                

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；

   

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；

   

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．

          

9 . 定义：若两个不等式（组）存在整数解且其整数解完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”．
例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为，其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”．
(1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是____________（填写正确结论的序号）：
①；②；③．
(2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，求出的值；
(3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，直接写出的取值范围．

10 . 阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“共同体直线”，例如，直线y＝x+4与直线y＝4x+l互为“共同体直线”．
材料二：对于半面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），P₁、P₂之两点间的直角距离d₁（P₁，p₂）＝|x₁﹣x_2|+|y₁﹣y₂|：例如：Q₁（﹣3，1）、Q₂（2.4）两点间的直角距离为d（Q₁，Q₂）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8； P₀（x₀，y₀）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P₀，Q）的最小值叫做Po到直线y＝ax+b的直角距离．
（1）计算S（﹣2，6），T（1，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　，直线y＝4x+3上的一点H（a，b）又是它的“共同体直线”上的点，求点H的坐标．
（2）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“共同体直线”上，试求点L（10，﹣）到直线y＝ax+b的直角距离．

1 . 阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由     可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．

2 . 阅读下列材料．
材料一：任意一个三位自然数m，若百位数字不大于4，则称m为“潜力数”
材料二：在“潜力数”m的左边放一个奇数a，得到一个多位数；
在“潜力数”m的右边放一个0，得到一个四位数，
规定：．
例如：，
（1）计算：__________，___________；
（2）已知“潜力数”（其中，x、y是整数），若能被26整除，求m的值．

3 . 我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5 的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；
（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+ |x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．

4 . 在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：.善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，.

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得：       ，      ；
（2）填空：=        -        ；
（3）若，且为正整数，求的值.

5 . 选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．
例如：①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：或；
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
(1)若是完全平方式，请写出所有满足条件的不同单项式n：__________________
(2)求代数式最小值；
(3)写出代数式的两种不同形式的配方；
(4)已知，求的值．

6 . 阅读下列材料：
数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：
1、常常需要将对象进行恰当分类．
2、使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．
正整数的末尾为5称为“威武数”，那么的平方数为称为“平武数”．
例：     ，
     ，
     ，
     ，
     ，
……
由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：
①“平武数”的末两位数字是25；
②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）
（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”一共有___________个．
（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”为任意二位数时“平武数”都满足以上特点．
（3）已知“平武数”的首位数是2且小于六位，又满足的各位数字之和与的各位数字之和相等，求出“平武数”的值．

7 . 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

8 . 任意一个正整数n，都可以表示为：n＝a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝＝2．
（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；
（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．

9 . 若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“湘一代数式”．例如：关于x的代数式，当1x 1时，代数式在x1时有最大值，最大值为1；在x0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在1x1这个范围内，则称代数式是1x1的“湘一代数式”．
（1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为       ，最小值为       ，所以代数式       （填“是”或“不是”）的“湘一代数式”．
（2）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值．
（3）若关于的代数式是的“湘一代数式”，求m的取值范围．

10 . 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂直四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB²＋CD²与AD²＋BC²有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝2，AB＝3，求GE的长．

1 . 材料1：反射定律
当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面．
材料2：平行逃逸角
对于某定角∠AOB=α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射线），其角度为∠BPQ=β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角．
（1）已知∠AOB=α=20°，
①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ=　°，即该角为α的零阶平行逃逸角；
②如图2，经过一次反射后的光线P₁Q∥OB，此时的∠BPP₁为α的平行逃逸角，求∠BPP₁的大小；
③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为　°；
（2）根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平行逃逸角β=　 （用含n和a的代数式表示）．

2 . 阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；

材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；

     

示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：          ；          ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．

3 . 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著 ．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右 ．全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就 ．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，其中有一个数学问题“今有垣厚一丈，两鼠对穿 ．大鼠日一尺，小鼠亦一尺 ．大鼠日自倍，小鼠日自半 ．问：何日相逢？”．译文：“有一堵一丈（旧制长度单位，1丈=10尺=100寸）厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞 ．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺 ．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半 ．问它们几天可以相逢？”请你用所学数学知识方法给出答案：______________ ．

4 . 阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．

5 . （1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；

Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，
∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．

6 . 阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：∵，∴．
又∵，∴．∴．
又∵，∴．…①
同理，可得：．…②
①+②，得．即，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，且，求的取值范围；
（2）已知，且关于的方程组中．①求的取值范围；②求的取值范围（结果用含的式子表示）．

7 . 项目式学习：校园数学文化节徽章与图腾设计
【项目背景】
为迎接校园数学文化节，社团计划设计一款专属的数学徽章．徽章的正面为几何图腾，背面刻有解锁密码．请你参与该项目，完成以下核心设计任务：

【项目任务】
请结合所学知识，仿照范例中巧用整体代换的方法，完成以下两项任务，范例：若满足，求的值．
解：设，
则，
所以．
任务一：破译徽章密码
徽章背面刻有激活密码，密码的值需通过代数恒等式计算得出．若满足，则的值为______．
任务二：测算图腾面积
徽章正面的图腾由几何图形构成：已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积为______．

8 . 定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．

（1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系．

9 . 【阅读材料】
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．

10 . 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：
过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．
例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．
（1）已知：，，点，
① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________；
② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．
（2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

1 . 【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．

【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．

①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．

2 . 阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．
小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：

也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为　 　．
（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为　 　．
（3）若计算（x²+x+1）（x²﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a=　 　．
（4）若x²﹣3x+1是x⁴+ax²+bx+2的一个因式，则2a+b的值为　 　．

3 . 如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即．
（1）若一个两位数满足，请求出，的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数．
（3）已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数．

4 . 定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
【概念感知】
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

【问题探究】
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
【拓展提升】
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

5 . 【阅读理解】如图1，在四边形ABCD中，若AB∥DC，AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形，又知平行四边形的对边相等，对角相等，即：若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
【问题解决】如图2，D是等边△ABC的边AB上一点，过D作BC的平行线交AC于E，延长ED到G使GD＝BD，连接AG、DC，过G作GF∥DC交BC于F，连接AF．
（1）求证：AG＝DC；
（2）求证：△AGF是等边三角形；
（3）若把上题中“D是AB上一点”改为“D是BA延长线上一点”把“延长ED”改为“延长DE”其余条件不变，（1）、（2）的结论还成立吗？请画出图形并证明

6 . 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”.例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”.

(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 　 　；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 　 　；
(2)E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．.线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'
①求点E'的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E'F'上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值.

7 . 阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．
材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）＝m﹣n．
（1）F（1234）＝　 　；F（8735）＝　 　；
（2）试证明任意重叠数能被101整除；
（3）若t为一个“重叠数”，另一个“重叠数”s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．

8 . 对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图①，点P是点M关于点N的锐角等腰点．
在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．
（1）已知点A(2，0)，在点中，是点O关于点A的锐角等腰点的是　 　；
（2）已知点B(3，0)，点C在直线y＝2x＋b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围；
（3）点D是x轴上的动点，D(t，0)，E(t﹣2，0)，点F(m，n)是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x＋4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．

9 . 在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”是任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下面的问题：
（1）若点的坐标分别为，求这三点的“矩面积”；
（2）若点，含有的式子表示这三点的“矩面积”(结果需化简)；
（3）已知点，在轴上是否存在点，使这三点的“矩面积”为20？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 阅读理解：
材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法；比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求的取值范围；
解：令



；
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则关于的一元二次不等式的解集为：或；则关于的一元二次不等式的的解集为：．
材料3：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、；则；，我们称之为韦达定理；
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，则________．
（2）求出代数式的取值范围．
（3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．

1 . 当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”．
（1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由；
（3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值．

2 . [阅读]
如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=4，BC=3，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．
[理解]
若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，4]；
[尝试]
（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[____ ，______ ]；
（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；
（3）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，试解决下列问题：
①求出a的值；
②点P，Q分别为边OA上的两个动点，且点Q始终在点P右边，PQ=1，连接CP，QE，在P，Q两点的运动过程中，PC+PQ+QE是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

   

3 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若∠BAO＝45°，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

4 . 阅读与应用：同学们，你们已经知道，即．所以（当且仅当时取等号）．
阅读1：若为实数，且（当且仅当时取等号）．
阅读2：若函数（，，为常数）．由阅读1结论可知：即，∴当即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数，则=     时，函数的最小值为       ．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为，则另一边长为，周长为，求当     时，矩形周长的最小值为        ．
问题3：求代数式的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为米，水池总造价为（元），求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？

5 . 对于各位数字均不相同的三位自然数，交换百位数字和个位数字后得到，记，若能被5整除，则称为“五好数”．例如：621是“五好数”，因为，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
（1）判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
（2）是“五好数”，若且满足能被7整除，求出所有符合题意的值．

6 . 阅读材料：对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）计算：；
（2）若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），当时，求的值．

7 . 已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；

8 . 山间白云缭绕，似雾非雾，似烟非烟，磅礴郁积，气象万千，古人称“赤多白少”为“缙”，故名缙云山．正是这特殊的地理环境，独特的气候，赋予了缙云山甜茶汤色碧绿清爽，气味芳鲜醇和．甜茶还富含人体所需的8钟氨基酸，大量维生素及微量元素，健康养生，独具风味．故来此游玩的人们，临走时都会带一些回家送亲朋好友．商家为了促销，采取以套盒包装的方式进行销售，套盒A：买三大袋和一中袋送一中袋；套盒B：买两大袋和两中袋送一小袋．套盒A和套盒B的售价之比为37∶34．小华计划购买一定数量的套盒A与套盒B，由于资金不够，他思考了一下，决定将原本计划买套盒A和套盒B的数量进行调换，同时商店老板决定将套盒A打8折卖给他，套盒B价格不变，这样原计划所用花费与实际所用花费之差恰好可以购买7袋中袋的甜茶，则小华一共购买了___________个套盒．

9 . 阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，那么我们就把点E叫四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：

(1)如图1，试判断点E是否是四边形的边AB上的相似点，并说明理由．
(2)如图2，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长均为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形的边AB上的强相似点．
(3)如图3，将矩形沿着CM折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

10 . 问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”．

概念理解：
（1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长．
性质探究：
（2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程．
问题解决：
（3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长．

1 . 【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则≌．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，求的度数？
【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系．

2 . 【问题情境】
我们知道若一个矩形是的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，它的面积最大．反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？
【探究方法】
用两个直角边分别为，的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形。若，可以拼成如图所示的正方形，从而得到，即；当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和.即．于是我们可以得到结论：，为正数，总有，当且仅当时，代数式取得最小值．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：
∵，∴，
∴对于任意实数，总有，且当时，代数式取最小值．
使得上面的方法，对于正数，，试比较和的大小关系．

【类比应用】
利用上面所得到的结论完成填空
（1）当时，代数式有最       值为       ．
（2）当时，代数式有最       值为       ．
（3）如图，已知是反比例函数图象上任意一动点，，，试求的最小面积．

3 . 定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．
（1）点（5，7）的1分变换点坐标为　　；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上，则k＝　　；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝　　．
（2）若点P在二次函数y＝x²﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．
①直接写出点Q所在函数的解析式；
②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；
③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．
（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x²﹣mx+﹣2（x＞m）的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

4 . 在平面直角坐标系中，图形的“外围矩形”定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设“外围矩形”的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的“外围矩形比”．如图①，矩形为的外围矩形，其外围矩形比．

(1)如图②，若点，，则外围矩形比的值为 　　；
(2)已知点，在函数的图象上有一点，若的外围矩形比，求点的坐标；
(3)已知点，动点在抛物线上，若的外围矩形比，直接写出点的横坐标的取值范围．

5 . 对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登数”．用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．例如：，满足，且，所以123是“攀登数”，；例如：，满足，但是，所以236不是“攀登数”；再如：，满足，但是，所以314不是“攀登数”．
（1）判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由；
（2）若t是“攀登数”，且t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”t以及 的最大值．

6 . 阅读理解，在平面直角坐标系中，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，如何求P₁P₂的距离．
如图1，作Rt△P₁P₂Q，在Rt△P₁P₂Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)之间的距离公式为＝．

根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．

7 . 阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式；
（3）已知，求的整数值．

8 . 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若E是线段AC上方抛物线上一点，过点E作轴，交AC于H，F是EH的右侧，线段AC上方抛物线上一点，过点F作轴，交AC于Q，EH与FQ间的距离为2，连接EF，当四边形EHQF的面积最大时，求点E的坐标以及四边形EHQF面积的最大值；
（3）将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N是平面内一点，点M为新抛物线对称轴上一点．B，C也随之平移，若以B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．

9 . 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

（1）概念理解：如图1，在和中，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连结，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连结，求证：平分．

10 . 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
概念理解：
①在互补四边形中，与是一组对角，若则         _
②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．

探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：．

推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值．

1 . 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由,确定的立方根是         位数；
（2）由的个位数是确定的立方根的个位数是        ；
（3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是     ；
（4）用类似的方法，请说出的立方根是     .

2 . 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD＝，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；
（2）如图2，RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，连结，，若平移后的四边形是“等邻边四边形”，求的长．

3 . 阅读理解：材料一：对于任意的非零实数和正实数，如果满足是整数，则称是的一个“整商系数”， 例如：时 ，则是的一个“整商系数”；时， ，则也是的一个“整商系数”；
结论：一个非零实数有无数个整商系数，其中最小的一个整商系数记为，例如： ．
材料二：对于一元二次方程中，两根有如下关系：， 应用：
（1）若实数满足，求的取值范围；
（2）关于的方程的两个根分别为，且满足， 则的值为多少？

4 . 材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
，
，
或，
原方程的解是，．
又如解方程：
，
，
．
原方程的解是．
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．

5 . 我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C₁，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C₂．图象C₁在图象C₂的下方点的横坐标x满足-3<x<1，则b的取值范围为（       ）

A．0<b<3

B．b>3或b<0

C．0≤b≤3

D．1<b<3

6 . 如图①所示，是某公园的平面示意图，分别是该公园的四个入口，两条主干道交于点，经测量，，，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）公园的面积为         ；
（2）如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点在上，点在上，且（点与点不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
（3）若修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你画出该公园修建这三条绿道投入资金最小值时的图形．

7 . 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．
（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是　 　．
（2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝，AC＝3，求线段BD的长．
（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径．
①求证：四边形EFGH为“完美四边形”．
②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由．

8 . 点为图形上任意一点，过点作直线垂足为，记的长度为.
定义一:若存在最大值，则称其为“图形到直线的限距离”，记作；
定义二:若存在最小值，则称其为“图形到直线的基距离”，记作；
（1）已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作则          ．
（2）已知直线，点，点是轴上一个动点，的半径为，点在上，若求此时的取值范围，
（3）已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形，若请直接写出的取值范围．

9 . 若一个自然数t能写成t＝x²﹣y²（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝．例如：32＝9²﹣7²＝6²﹣2²，因为＝，＝，．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．

10 . 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．在平面直角坐标系中，已知点M（1，0），过点M作直线l平行于y轴．
（1）试判断点A（－1，a）是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由；
（2）若点P（2m－5，8）是直线l的“伴侣点”，求m的取值范围；
（3）若点A（－1，a）、B（b，2a）、C（－，a－1）是平面直角坐标系中的三个点，将三角形ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且三角形MFD的面积为，试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？请说明理由．

1 . 某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

2 . 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
（1）判断：
①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是_______；
②命题：如图1，在四边形中，，，则四边形是神奇四边形．此命题是________．(填“真”或“假”)命题；
③神奇四边形的中点四边形是_______；
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．
①求证：四边形是神奇四边形；
②若，，求的长；
（3）如图3，四边形是神奇四边形，若，，、分别是方程的两根，求的值．

3 . 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若（x+3）（y+2）＝8，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”？
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3），点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y＝的图象经过B、E两点，则这个“反比例平移函数”的表达式为　 　；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式　 　．
（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

4 . 如图1，将纸片折叠，折叠后的三个三角形可拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

（1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，__________；___________．
（2）将纸片按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长；
（3）如图4，四边形纸片满足，，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出一种叠合正方形的示意图，并求出、的长．

5 . 任意一个三位正整数，如果它的前两位数能被整除，它本身能被整除，那么我们把这样的数称为“夹心数”．例如：的前两位数能被整除，它本身能被整除，所以是一个“夹心数”．
（1）判断和是不是“夹心数"？并说明理由；
（2）若“夹心数”皆为整数），并且的各位数字之和为一个完全平方数，求出满足条件的所有“夹心数”，并说明理由．

6 . 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

7 . 在平面直角坐标系中，有不重合的两个点与，若为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点P与点Q之间的“折距”记作或．特别地，当与某条坐标轴平行（或重合）时线段的长即是点P与点Q之间的“折距”．例如，如图，点，点，此时．已知O为坐标原点，解答下列问题：

（1）①若点，则______；
②若点Q是以O为圆心，1为半径的⊙上任意一点，则的最小值是______；
（2）若一次函数的图像分别交x轴、y轴于点，点P是线段上一点，求的值；
（3）已知点是以为圆心，1为半径的⊙上任意一点，若存在点N，满足，直接写出t的取值范围．

8 . 阅读下列两段材料，回答问题：
材料一：点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为（，）．例如，点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为（，），即（2，2）．
材料二：如图1，正比例函数l₁：y＝k₁x和l₂：y＝k₂x的图象相互垂直，分别在l₁和l₂上取点A，B，使得AO＝BO．分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D．显然，△AOC≌△OBD．设OC＝BD＝a，AC＝OD＝b，则A（﹣a，b），B（b，a）．于是k₁＝﹣，k₂＝，所以k₁•k₂的值为一个常数．一般地，一次函数y＝k₁x+b₁，y＝k₂x+b₂可分别由正比例函数l₁，l₂平移得到．
所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数y＝k₁x+b₁，y＝k₂x+b₂的图象相互垂直，则k₁•k₂的值为一个常数．

（1）在材料二中，k₁•k₂＝　 （写出这个常数具体的值）；
（2）如图2，在矩形OBAC中A（4，2），点D是OA中点，用两段材料的结论，求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式；
（3）若点C′与点C关于OA对称，用两段材料的结论，求点C′的坐标．

9 . 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若是“准互余三角形”，，则________．
（2）如图（1），是半圆的直径，是半圆上的点，D是上的点，交于点E．
①若D是的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”；
②当是“准互余三角形”时，求的长；
③如图（2）所示，若F是上的点（不与重合），G为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长．

10 . 在平面直角坐标系中，对任意的点P(x，y)，定义P的绝对坐标|P|＝|x|+|y|．任取点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，记(x₁，y₂)，(x₂，y₁)，若此时|A|²+|B|²≤||²+||²成立，则称点A，B相关．
（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是         ；
①A(﹣2，1)，B(3，2)；②C(4，﹣3)，D(2，4)．
（2）①对于点P(x，y)，其中﹣6≤x≤6，﹣6≤y≤6，其中x，y是整数．则所有满足条件的P点有         个；
②求所有满足①条件的所有点中与点E(3，3)相关的点的个数；
③对于满足①条件的所有点中取出n个点，满足在这n个点中任意选择A，B两点，点A，B都相关，求n的最大值．

1 . 对于任意的正整数，记，表示，且．则使得成立的最大整数为_______．

2 . 对，定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知（1，1）=4，（4，-2）=7．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有4个整数解，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数都成立（这里和均有意义），则应满足怎样的关系式？

3 . 在平面直角坐标系xOy中，点A（a，c）和点B（b，d）．给出如下定义：以AB为边，作正方形ABCD，按照逆时针方向排列 A、B、C、D四个顶点，该正方形上的点到直线距离的最大值定义为：逆序正方形到直线的最大距离．
如图1，直线经过（0，3）且垂直于y轴，点A（﹣2，2），点B（﹣2，﹣1），可求得点C（1，﹣1），D（1，2），且逆序正方形ABCD到直线的最大距离为4．

(1)若点A（1，0），点B（3，﹣2），则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，逆序正方形ABCD到直线y＝﹣x的最大距离为　 　．
(2)如图2，若点A（0，4），点B（3，0），求逆序正方形ABCD到直线y＝x+2的最大距离．
(3)如果点A（a，1），B（a，﹣1），若存在逆序正方形ABCD到直线y＝x的最大距离大于2，直接写出a的取值范围．

4 . 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N），特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M，N）＝0
已知点．
（1）①求d（点O，线段AB）；
②若d（线段CD，直线AB）＝1，直接写出m的值；
（2）⊙O的半径为r，若d（⊙O，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；
（3）若直线上存在点E，使d（E，）＝1，直接写出b的取值范围．

5 . （1）阅读下面的材料：
如果函数＝f（）满足：对于自变量x的取值范围内的任意，，
（1）若＜，都有f（）＜f（），则称f（）是增函数；
（2）若＜，都有f（）＞f（），则称f（）是减函数．
例题：证明函数f（）＝（＞0）是减函数．
证明：设0＜＜，
f（）﹣f（）＝＝＝．
∵0＜＜，
∴﹣＞0，＞0．
∴＞0.即f（）﹣f（）＞0．
∴f（）＞f（）．
∴函数f（）＝（＞0）是减函数．
（2）根据以上材料，解答下面的问题：
已知：函数f（）＝（＜0），
①计算：f（﹣1）＝　 　，f（﹣2）＝　 　；
②猜想：函数f（）＝（＜0）是　 　函数（填“增”或“减”）；
③验证：请仿照例题证明你对②的猜想．

6 . 我们把能被13整除的数称为“自觉数”，已知一个整数，把其个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数为“自觉数”．如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程．如，所以416是“自觉数”；又如，因为30不能被13整除，所以25281不是“自觉数”．
（1）判断27365是否为“自觉数”（填“是”或者“否”），并证明任意一个三位数，若能被13整除，则三位数是“自觉数”；
（2）一个四位数，规定，如：，若四位数n能被65整除，且该四位数的千位数字和十位数字相同，其中．求出所有满足条件的四位数n中，的最大值．

7 . 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．
   

8 . 阅读下列内容：设是一个三角形的三条边的长，且c是最长边，则利用a，b，c三边间的关系可判断这个三角形的形状；
①若，则该三角形是直角三角形；
②若，则该三角形是钝角三角形；
③若，则该三角形是锐角三角形．
例如一个三角形的三边长分别为4，5，6，则最大边为6，由于c²，故由上面③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别为3、4、6，试说明这个三角形的形状；
（2）若一个三角形的三边长分别为5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值；
（3）若一个三角形的三边长分别为（m＞n，m、n是正整数），请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．

9 . 对于某个函数，若自变量取实数，其函数值恰好也等于时，则称为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等最距离”为0．
（1）请分别判断函数，，有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”；
（2）已知函数．
①若其“等量距离”为0，求的值；
②若，求其“等量距离”的取值范围；
③若“等量距离”，直接写出的取值范围．

10 . 定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设为一个开合数，将的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与相加的和记为．例如：852是“开合数”，则．
（1）已知开合数（，且为整数），求的值；
（2）三位数是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且能被个位数字与百位数字的差整除，请求满足条件的所有值．

1 . 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i²＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i³＝　 ，i⁴＝　 ；
（2）计算：（3+2i）×（1﹣i）；
（3）计算：i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²⁰．

2 . 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD（点E与点D不重合），边BC上的点，且EF=AE，过点E，F，C作， 交边CD于点G，连结FG．

(1)求证：AE⊥EF；
(2)当AB=8，tan∠EFG=，求的半径；
(3)设交BD于点H，且BE=AB，求证：BH=DE．

3 . 阅读以下材料，并解决相应问题：
材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在求解某些特殊方程时，利用换元法常常可以达到转化的目的，例如在求解一元四次方程，就可以令，则原方程就被换元成，解得 t  1，即，从而得到原方程的解是 x  1
材料二：杨辉三角形是中国数学上一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中出现，它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列，下图为杨辉三角形：

……………………………………
（1）利用换元法解方程：
（2）在杨辉三角形中，按照自上而下、从左往右的顺序观察， an 表示第 n 行第 2 个数（其中 n≥4），bn 表示第 n 行第 3 个数，表示第行第 3 个数，请用换元法因式分解：

4 . 定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，中，，，为的中线，若是平方倍三角形，求的面积．

5 . 在平面直角坐标系中，的半径为，是与圆心不重合的点，点关于的限距点的定义如下：若为直线与的一个交点，满足，则称为点关于的限距点，下图为点及其关于的限距点的示意图．

（1）当的半径为1时．
①分别判断点，，关于的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点的坐标为，，分别切于点，点，点在的边上．若点关于的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；
（2）保持（1）中，，三点不变，点在的边上沿的方向运动，的圆心的坐标为，半径为．若点关于的限距点不存在，则的取值范围为______．

6 . 在平面直角坐标系中，对于线段AB和点C，若是以AB为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段AB的：“从属点”．
已知点A的坐标为．
（1）如图1，若点B为，在点，，中，线段AB的“从属点”是____；
（2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．

AI

7 . 对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．若．
（1）求a，b的值．
（2）解关于m的不等式：T（2m，3–4m）≤8．

8 . 定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.

理解：
⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.

9 . 规定如下：图形与图形恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形与图形是和谐图形．
（1）在平面直角坐标系中，已知的半径为2，若直线与是和谐图形，请你写出一个满足条件的值，即______；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴、轴分别交于，两点（其中点不与点重合），则线段与直线组成的图形我们称为图形；
①时，以为圆心，为半径的与图形是和谐图形，求的取值范围；
②以点为圆心，为半径的与图形均组成和谐图形，求的取值范围．

10 . 问题提出：
如图1，在四边形ABCD中，，，若E，F分别为AB，CD的中点，则．

(1)问题探究：
小明同学进行了如下的推理：连接AF并延长AF交BC的延长线于点G．由AB=CD，AD=BC，根据定理　①　，可得四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴，∴，，又AE=BE，根据定理　②　有，．
请补全问题探究：定理①是______，定理②是______．（请将正确答案前面的序号填写在横线上）
A．三角形的中位线等于第三边的一半；
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
C．三角形的中位线平行于第三边；
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)拓展应用：
①如图2，在四边形ABCD中，，，E，F分别AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，已知直线l，且这两条平行线间的距离为4，．点P为直线l上一动点，连接BP，点C为BP的中点，连接AC，作交直线l于点D，连接AD．设的面积为S，当时，直接写出线段AD长度的取值范围．

1 . 阅读下面材料，完成（1）﹣﹣（2）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
中，，是延长线上一点，是的中点，为上一点，过点作 ,交的延长线于，连接，且．求证．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“延长到点，使，连接，可以得到两个阴影三角形全等．”
小伟：“继续连接，经过进一步推理，可以得到与的数量关系．”
小强：“根据等腰三角形的两个底角相等，继续添加适当的辅助线，可以得出结论……”

(1)求证：；
(2)探究与的数量关系，并证明；
(3)求证：．

2 . 一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等.若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友谊数”，如：的“友谊数”为“”：若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：的“团结数”为
(1)若的其百位数字为，十位数字为、个位数字为，试说明M与其“友谊数”的差能被整除；
(2)若一个三位正整数，其百位数字为，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，求的“团结数”

3 . 如图，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，．

(1)如图，求证：；
(2)如图，求证：；
(3)如图，作于，连接，若，，求的长．

4 . （1）如图1，在四边形中，，、分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，证明：．
请将证明的过程填写完整：
证明：连接，取的中点，连接、．
是的中点，是的中点，
________，_______，同理：_______，_______，
，，
又，，，．
（2）运用上题方法解决下列问题：
问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，，、分别是、的中点，连接，分别交、于点、，请判断的形状，并说明理由；
问题二：如图3，在钝角中，，点在上，、分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，是直角三角形且，求证：．

5 . 规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①，在与中，，当、满足条件__________时，与互为“兄弟三角形”；
（2）如图②，在与互为“兄弟三角形”，相交于点M，连，求证：平分；
（3）如图③，在四边形中，，求的度数．

6 . 阅读下列材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得.             ……………………第1步
变形得.       ……………………第2步
得.                           ……………………第3步
于是得，即.……第4步
当时，得.……………………第5步
得，.………………第6步
当时，该方程无实数解. ……………………………第7步
学习任务：
（1）上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是_______；以第4步到第5步将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是________．
（2）请用材料中提供的方法，解下列方程：
①；                                        ②．

7 . 在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．
（1）当t=0时，
①在点P₁（，0），P₂（，），P₃（，﹣）中，线段AB的直角点是　 　；
②直线y=x+b上存在四个线段AB的直角点，直接写出b取值范围；
（2）直线y=x+1与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，存在半径为2，圆心为(0，2)的，点为上的任意一点，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点在线段上，那么称点为的“限距点”．
   
（1）在点中，的“限距点”为____________________________；
（2）如果过点且平行于轴的直线上始终存在的“限距点”，画出示意图并直接写出的取值范围；
（3）的圆心为，半径为1，如果上始终存在的“限距点”，请直接写出的取值范围．

9 . 阅读理解：我们学习过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在中，，若点是斜边的中点，则
灵活应用：如图2，中，，点是的中点，将沿翻折得到连接．

（1）线段的长是 ；
（2）判断的形状并说明理由；
（3）线段的长是     ．

10 . 对于平面直角坐标系中的点和图形给出如下定义：点为图形上一点，点为图形上一点，当点是线段的中点时，称点是图形的“中立点”．如果点，，那么“中立点”的坐标为.已知，点，，．

（1）连接，在点，，中，可以成为点和线段的“中立点”的是______；
（2）已知点，的半径为2.如果直线上存在点可以成为点和的“中立点”，求点的坐标；
（3）以点为圆心，半径为2作圆．点为直线上的一点，如果存在点，使得轴上的一点可以成为点与的“中立点”，直接写出点的横坐标的取值范围．

1 . “不同表示方法表示同种图形的面积”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法，
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂，请用面积法证明：h₁+h₂＝h；
（2）当点M在BC的延长线上时，h₁、h₂、h之间的等量关系式是　 　（直接写出结论不必证明）
（3）如图2，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：，l₂：y＝﹣3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是1，请运用（1）（2）的结论求出点M的坐标．

2 . 如图，已知抛物线，与y轴交于点A，它的顶点为B．作抛物线关于原点对称的抛物线，与y轴交于点C，它的顶点为D．我们把称为的对偶抛物线．若中任意三点都不在同一直线上，则称四边形为抛物线的对偶四边形，直线为抛物线的对偶直线．

（1）求证：对偶四边形是平行四边形．
（2）已知抛物线，求该抛物线的对偶直线的解析式．
（3）若抛物线的对偶直线是，且对偶四边形的面积为10，求抛物线的对偶抛物线的解析式．

3 . 先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝时，求﹣x²﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一　将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．
原式＝（x³﹣2x²﹣2x）+2
＝ [x²（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2
＝ [x（x﹣1）²﹣3x]+2
＝（3x﹣3x）+2
＝2
方法二　先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x²﹣2x﹣2＝0，即，x²﹣2x＝2，x²＝2x+2．
原式＝x（2x+2）﹣x²﹣x+2
＝x²+x﹣x²﹣x+2
＝2
请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若a²﹣3a+1＝0，求2a³﹣5a²﹣3+的值；
（2）已知x＝2+，求的值．

4 . 如图1至图5，均作无滑动滚动，、、、均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为.如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周；如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点处，必须由的位置旋转到的位置，绕点旋转的角，在点处自转周.

（1）在阅读理解的（1）中，若，则自转______周；若，则自转______周.在阅读理解的（2）中，若，则在点处自转______周；若，则在点处自转______周.
（2）如图3，，.从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转______周.

（3）如图4，的周长为，从与相切于点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，自转了多少周？请说明理由；
（4）如图5，多边形的周长为，从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接写出自转的周数.