阅读理解 - 初中数学 - 适中

1 . 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值．

2 . 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______．

   

3 . 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

4 . （1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围．
分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得，又因为，所以解得             ．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知，且，求的取值范围；
②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围                   （结果用含m的式子表示）．

5 . 为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

6 . 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
(1)求不等式的解集；
(2)求不等式的解集．

7 . 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为．
(1)若是“相伴数对”，求的值；
(2)写出一个“相伴数对”，其中，且；
(3)若是“相伴数对”，求代数式的值．

8 . 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数         ；
（2）若，是关于x的方程ax²+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x₁，x₂，x₃可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m，y₁) ，B(m + 1，y₂) ，C(m+3，y₃)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．

9 . 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米²）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

10 . 阅读与应用
我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）．

阅读1：若为实数， 且， （当且仅当时取等号）

阅读2：若函数（为常数）， ， 由阅读1的结论可知，即 当时，函数有最小值，最小值为．

阅读理解以上材料，解答下列问题：
(1)当____时，函数有最小值，最小值为_______．
(2)疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？
(3)随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？

1 . 阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式．
∵是的一个解，∴可以分解为与另一个整式的乘积．
设
而，则有
，得，从而
运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式时，猜想出的一个解为_______（只填写一个即可），则可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式；
（2）若与都是多项式的因式，求的值．

2 . 阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，       
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．

3 . 问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．

4 . 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．

5 . “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．

6 . 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
(3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度．

7 . 【课内链接】
我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有：
（1）；
（2）．（填空）
【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法．
例如：
∵（一个数的平方为非负数）
∴（不等式的性质2）
∴（不等式的性质1）
即：，
∴最小值为
将配方成的形式：则 ；     ；     ；（填空）
【拓展应用】如果，求P的最小值．

8 . 【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．

【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：．
【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由．

9 . [感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝　 　．
[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，，BD，CE相交于点F，则＝　 　．

10 . 请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是            ，，依据是            ．
②反射光线与平行，依据是            ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则            ；            ．

1 . 一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？
解答：已知函数，
，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程）
，即，，
（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）
因此的最小值为，此时，解得，符合题意，
所以当时，．
应用：
(1)已知函数，当__________时，的最大值是___________．
(2)已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？

2 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

图1                           图2                            图3

(1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
(2)在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
(3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．

3 . 例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x²﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．

4 . 把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，雅系二元一次方程“”化为，其“完美值”为．
(1)“雅系二元一次方程”的“完美值”是______；
(2)是“雅系二元一次方程“”的“完美值”，求m的值；
(3)“雅系二元一次方程（，k是常数）”存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”，若不存在，请说明理由．

5 . 阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：

6 . 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．

(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；
(4)图3中的的黄金分割线有几条？

7 . 阅读材料：小学时，我们学习过假分数和带分数的互化．我们可以将一个假分数化为带分数，如：

．
初二 班学生小杨同学根据学习分数的方法， 在学习分式这一章时，对分式进行了探究：


根据探究过程，小杨同学说，我可以根据这一探究过程可以分析分式整数解的问题，同学们，你们能吗？
请你帮小杨同学解答下列问题：
当为整数时，若也为整数，求满足条件的所有的值；
当为整数时，若也为整数,求满足条件的所有的绝对值之和．

8 . 阅读下面的材料：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．

利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：；
（2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有________个，请说明理由．

9 . 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值.

10 . 已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回家中．下面图中x表示时间，y表示离家的距离，图象反映了这个过程中小桐离家的距离与时间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：

小桐离开家的时间/	1	11	13	23
小桐离家的距离/m		2200

②填空：小桐在博物馆停留的时间为________；
③当时，请直接写出小桐离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．求途中相遇时离博物馆多远？（直接写出结果即可）

1 . 阅读下列材料：教科书中这样写到：“我们把和这样的式子叫完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫配方法，即将多项式（，为常数）写成（，为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，可以解决一些与非负数有关的问题．请根据阅读材料解决下列问题：
(1)配方：________．
(2)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．

2 . 请看下面的问题：把分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即减去此项，即可得：




人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）；       
（2）．

3 . 如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B．

(1)求点 A，B的坐标；
(2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积；
(3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．因为，所以，关于的方程的两个解分别为：，．
【应用模型】
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程的两个解分别为，．则___，___；（直接写结论）
（2）已知关于的方程的两个解分别为，．求的值．

5 . 对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”．例如：
m＝6132，∵，∴6132是“倍和数”；
m＝1374，∵，∴1374不是“倍和数”．
(1)判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
(2)当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为，令，当能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．

6 . 我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____；
（2）若二元一次方程中、的值满足下列表格：

	1	0
	0	2

则这个方程的共轭二元一次方程是____________；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）；
的解为______；的解为_____；的解为______．
（4）发现：若共轭方程组的解是则、之间的数量关系是______．

7 . 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．

图1                       图2                              图3                                          图4

（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a²+b²的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，             
∴（a+b）²＝9，即：a²+2ab+b²＝9，
又∵ab＝1               
∴a²+b²＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，            
∴S_大正方形=9，
又∵ab＝1，             
∴S₂＝S₃＝ab＝1，
∴S₁+S₄＝S_大正方形﹣S₂﹣S₃＝9﹣1﹣1＝7．即a²+b²＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）²+（x﹣1）²＝　　；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S₁+S₂＝72，求图中阴影部分面积．

8 . 定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．

9 . 阅读下列材料，解决问题：

在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．

将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：．

这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．

(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．
(2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．

10 . 我们知道写成小数形式为，反过来，无限循环小数也可以转化成分数形式．方法如下：
设，由，可知，所以．解方程，得，所以．
例如：把无限循环小数化为分数的方法如下：
设，由，可知，所以，解方程，得，所以．根据上述材料，解答下列问题：
（1）把下列无限循环小数写成分数形式：
①________；②________；③________．
（2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的①②③中任选一个，写出你的转化过程．

1 . 【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题
①已知，，求ab的值；
②已知，求的值．

2 . 已知在四边形中，，．

(1)如图1，连接，若，，则=______．
(2)如图2，点P、Q分别在线段、上，且，求证：
(3)若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，如图3所示，若满足，请直接写出与∠D的数量关系．

3 . 在计算1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰时，可以先设S＝1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰＋2¹⁰¹，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰＋2¹⁰¹)－(1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰)＝2¹⁰¹－1，即得S＝2¹⁰¹－1．即1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁹⁹＋2¹⁰⁰＝2¹⁰¹－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()²＋()³＋…＋()²⁰¹⁹＋()²⁰²⁰．

4 . 定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，，3，因为，，，所以1，，3的“分差”为．
(1)，1的“分差”为______；
(2)调整“，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是______；
(3)调整，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．

5 . 十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：

(1)如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱．
(2)如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱．
(3)如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱．
(4)当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正边形，每个顶点处有条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数，
去掉分母后：，
将n看作常数移项：，
合并同类项：，
化系数为1：，
变形：．
分析：均为正整数，所以是正整数，所以，即，．
因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点．
请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点．

6 . 阅读材料：
在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为．
例如：求点到直线的距离．
解：由直线知，，，，
∴点到直线的距离为．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点到直线的距离为__________；
问题2：已知是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数的值；
问题3：如图，设点为问题2中上的任意一点，点、为直线上的两点，且请求出的最大值和最小值．

   

7 . 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若，则的值是______________；
（2）求证：无论取何值，二次根式都有意义；
（3）若代数式的最小值为2，求的值．

8 . 对，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：.
已知，，
(1)求，的值；
(2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围．

9 . 阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
(1)比较大小：        2x（其中），        2（其中），（填“≥”、“≤”或“＝”）；
(2)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是        （填序号）；
(3)已知：，求代数式的值；
(4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）

10 . 阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
a.；b.；c.．
从而化同代数式可分以下3种情况：
①当对，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式，
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简代数式．
(2)求的最大值．

1 . 课本P₁₃₀页这道题“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求AC的长．”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二．
（1）请认真阅读下列解法，并填空：
解法一：根据题意可分如下两种情形：
①C点在线段AB上；②C点在线段AB延长线上

AC=　　　　=3－1=2（cm），AC=　　　　=3+1=4（cm）
所以线段AC的长为2cm或4cm．
解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴．
则A：表示的数为0，B：表示的数为3；∵BC=1，∴点C表示的数为　　　　；所以线段AC的长为2cm或4cm．

（2）丙同学学习了以上两种解法后若有所悟，觉得解法二很好，在解决线段的计算问题时，利用数形结合法比较简单．于是给同学们出了这样一道题：已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1.5cm，求CD的长．请利用数形结合法解答丙同学的试题．

（3）丁同学做完了丙同学的试题后，深受启发，觉得数形结合法太妙了，可以妙解点或线段的动态问题，于是编了以下试题：已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，求线段MN的长度．请用数形结合法解答丁同学的试题．

2 . 阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ；
（2）求满足的x的值；
（3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由．

3 . 阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（，，，），理由如下：
设，，则，，
∴，由对数的定义得
又∵
∴
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式转化为对数式________；
（2）求证：（，，，）
（3）拓展运用：计算________．

4 . 如果多项式分解因式的结果为，则当时可得，此时可把代入中得出．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式有一个因式为，求的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求、的值．

5 . 将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图2化简， ________．

6 . 我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”例如：的解为，且，则该方程是和解方程，请根据上而规定解答下列问题：
（1）判断是否是和解方程：
（2）若关于x的一元一次方程是和解方程，求m的值．

7 . 数学教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²﹣2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x²+4x﹣6的最小值，2x²+4x﹣6＝2（x²+2x﹣3）＝2（x+1）²﹣8，可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m²﹣4m﹣5＝　 　．
（2）求代数式x²+2x+4的最小值．
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a²+c²+2b（b﹣a﹣c）＝0，试判断△ABC的形状．

8 . 在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“差距离”为：．例如：已知点，则．

解决下列问题：
（1）已知点，则          ．
（2）如图，点是线段上的一动点，
①若，求点的坐标；
②线段向右平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；
③线段向右平移个单位，向上平移个单位后得到线段．若线段上“差距离”为1的点恰有两个，直接写出的取值范围

9 . 重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”——“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片.今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”、“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民_______人参与采摘．

10 . 对于一个两位数（十位和个位均不为0），将这个两位数的十位和个位上的数字对调得到新的两位数，称为的“对调数”，将放在的左侧得到一个四位数，记为，将放在的右侧得到一个四位数，记为，规定，例如：34的对调数为43，．
(1)填空：______；
(2)请证明对于任意一个两位数（十位和个位均不为0），都能够被9整除；
(3)若（为整数，），（为整数，），和的十位、个位均不为0，的对调数与的对调数之和能被9整除，请求出的值．

1 . 定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”．
例如：不等式组：是：的“子集”．
(1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或；
(2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______；
(3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值．

2 . 我们可以用以下方法求代数式的最小值．

∵
∴，
∴当时，有最小值-4．
请根据上述方法，解答下列问题
（1）求代数式的最小值；
（2）求证：无论、取任何实数，代数式的值都是正数；
（3）已知为实数，求代数式的最小值．

3 . 出租车司机刘师傅每天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，下表是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且乘客都不相同）

次数	1	2	3	4	5	6	7	8
里程
载客	×	○	○	×	○	○	○	○

(1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？
(2)已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有7升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油．
(3)已知载客时2千米以内收费10元，超过2千米后每千米收费1.6元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？

4 . 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝2²+1²，3＝2²﹣1²；5，12，13中，13＝3²+2²，5＝3²﹣2²；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m²+n²，有一条直角长为m²﹣n²，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c₁＝a₁²+b₁²，c₂＝a₂²+b₂²，其中，a₁、a₂、b₁、b₂均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c₁•c₂．

5 . 第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有
     ．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
第二步：理解知识，尝试填空：
（1）
第三步：应用知识，因式分解：
（2） x²-(p+q)x+pq；                  
（3）．
第四步：提炼思想，拓展应用
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a²+2b²+c²=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．

6 . 阅读下列材料，关于x的方程：的解是x₁＝c，x₂＝；（即）的解是x₁＝c，x₂＝；的解是：x₁＝c，x₂＝，…
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程（m≠0）的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．
（3）已知：，且，求的值．

7 . 若在一个的方格中填写了个不同的数字(正整数)，且使得每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等，则称这个的方格为“三阶幻方”；
（1）如图1是一个三阶幻方，则           ；           ；

（2）在图2中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；

（3）已知为正整数， 且，在下面的方格中填写适当的代数式，使它能构成一个三阶幻方

8 . 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2．
(1)函数①和②（）中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______；
(2)若反比例函数（，）的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
(3)如果函数是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．

9 . 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴
即，∴，∴．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，则＝　 　；
（2）解分式方程组：；
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．

10 . 阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n的解为x₁＝m，x₂＝n．
（1）理解应用：方程x+＝2+的解为：x₁＝       ，x₂＝       ；
（2）拓展提升：若关于x的方程x+＝k﹣1的解满足x₁＝x₂，求k的值．

1 . 像…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）；
（2）．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：．
解：设，易知，∴．
由：．解得．
即．
请你解决下列问题：
（1）的有理化因式是__________；
（2）化简：；
（3）化简：．

2 . 设二次函数的图像的顶点分别为当
且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求n的值．

3 . 阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
①            ；②                     ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．

4 .
(1)如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：
(2)如图②，在中， E是边BC延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：；
(3)如图③，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O.
①试探求∠A与的数量关系并证明你的结论；
②按角的大小来判断的形状．

5 . 对于函数，我们定义（为常数）.

例如，则.

已知：.

（1）若方程有两个相等实数根，则的值为___________；

（2）若方程有两个正数根，则的取值范围为__________.

6 . 阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即．

（1）已知点的“级牵挂点”为求点的坐标，并求出点到轴的距离；
（2）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限；
（3）如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标；
（4）如果点的“级牵挂点”在第二象限，
①求的取值范围；
②在①中，当取最大整数时，过点作轴于点，连接，将平移得到，其中、、的对应点分别为、、，连接，直接写出四边形的面积为______．

7 . 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？
例：将化为分数形式：
由于，设，即①
则②
再由②－①得：，
解得，于是得：
同理可得：，．
根据阅读材料回答下列问题：
(1)______；
(2)昆明三中地址为惠通路678号，寓意着三中学子都能被理想学校录取，请将化为分数形式，并写出推导过程（注：）

8 . 定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线为常数的反关联点为．如图，已知点，，．
（1）点B的反关联直线的解析式为______；
（2）求直线AC的反关联点的坐标．
（3）设直线AB的反关联点为点D，直线BC的反关联点为点E，点P在x轴上，且，求点P的坐标．

9 . 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：

例如：化简
解：首先把化为，这里，，由于，
即，
∴

（1）填空：=            ，=           ；

（2）化简：．

10 . 阅读题在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x³﹣x²因式分解的结果为x²（x﹣1），当x＝5时，x²＝25，x﹣1＝04，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式x³+2x²﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝10时，x﹣1＝09，x+1＝11，x+2＝12，此时可以得到数字密码091112．
(1)根据上述方法，当x＝12，y＝5时，求多项式x³﹣xy²分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）
(2)若一个直角三角形的周长12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x³y+xy³分解因式后得到密码；（只需一个即可）
(3)若多项式x²+（m﹣3n）x﹣6n因式分解后，利用本题的方法，当x＝25时可以得到一个密码2821，求m、n的值．

1 . 定义：对于依次排列的多项式，，，，（，，，是常数），当它们满足，且为常数是，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡印子，例如：对于多项式，，，，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子，
（1）已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子；
（2）若，，，是一组平衡数，则          ；
（3）当，，，之间满足什么数量关系时，他们是一组平衡数，并说明理由．

2 . 对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则〈x〉＝n．反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n﹣0.5≤x＜n+0.5．如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5．
（1）〈π〉＝　 　；
（2）若〈0.5x﹣1〉＝7，则实数x的取值范围是　 　；
（3）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求a的取值范围；
（4）满足〈x〉＝x的所有非负数x的值为 　 　．

3 . 某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？

4 . 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类题的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题；如图①，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由，

（1）【思路梳理】
∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，∵，∴，即：点共线，根据“”，易证_______，得；
（2）【类比引申】
如图②，四边形中，，点分别在上，，若都不是直角，则当与满足等量关系__________时，仍有；
（3）【联想拓展】
如图③，在中，，点均在边上，且，猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．

5 . 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：对于，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1）（2）
从而将陌生的高次不等式化成了学过的一元一次不等式组，分别解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即：解不等式组（1）得，
解不等式组（2）得，
所以的解集为或．
请利用上述解题思想解决下面的问题：
（1）请直接写出的解集．
（2）对于，请根据有理数的除法法则化为我们学过的不等式（组）．
（3）求不等式的解集．

6 . 阅读：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3(2)1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}{c，d}{ac，bd}．解决问题：
（1）计算：，
（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B．请你在图1中画出四边形OABC；
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2,3)，再从码头P航行到码头Q(5,5)，最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
   

7 . 若一个两位数十位、个位上的数字分别为，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若，则______；
②若，则______；
③若，则______；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数．

8 . 先阅读，后解答：；像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1）的有理化因式是             ；的有理化因式是              ．
（2）将下列式子进行分母有理化：
①=                 ；②=               ．
（3）计算：

9 . 阅读下列材料，并完成相应任务．
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”．历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为．用下面的方法（如图（1））就可以作出已知线段AB的黄金分割点H；

①以线段AB为边作正方形ABCD；
②取AD的中点E，连接EB；
③延长DA到点F，使；
④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则．
∵点E为AD的中点，∴．
在中，，∴，
∴．……
任务：
(1)补全题中的证明过程．
(2)如图（2），点C为线段AB的黄金分割点（），分别以AC，BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连线BD，BE．求证：．
(3)如图（3），在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．求证：点M是AD的黄金分割点．

10 . 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：


直接写出以下算式的结果：
______；（n为正整数）＝______；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
，，
再根据平方根的定义可得
，，
直接写出以下算式的结果：
______，______，______：
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：

1 . [问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　 　条线段，高共有 　 　条线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　 　线段，所以图中共有 　 　个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

2 . 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标．
（3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B₁处，求出点M的坐标．
（4）点C在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

   

3 . 请认真阅读下面材料，并解答下列问题
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式a^b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：log_aN＝b．例如：
①因为指数式2²＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log₂4＝2；
②因为指数式4²＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log₄16＝2．
（1）填空：指数式6²＝36对应的对数式是　                　；对数式log₃27＝3对应的指数式是　                　．
（2）计算：log₂32+log₅625．

4 . 先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：


这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
（1）
（2）

5 . 如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BDAB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．
请根据以上材料．回答下列问题
（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC=　　，DC=       ．
（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．

6 . 【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值                               （按从小到大写）；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和 DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值      ．

7 . 在求1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋⋯＋2¹⁰的值时，张红发现：从第二个加数起，每一个加数都是前一个加数的两倍，于是她假设：
S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋⋯＋2¹⁰①，然后在①式的两边都乘以2，得：
2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋⋯＋2¹¹②，
②﹣①得：2S﹣S＝2¹¹﹣1，所以S＝2¹¹﹣1
（1）请根据张红的方法求1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋⋯＋3¹⁰的值．
（2）如果把2换成字母m（m≠0），能否求出1＋m＋m²＋m³＋m⁴＋⋯＋m²⁰²¹的值？如果能，用含m的式子表示该值．

8 . 阅读材料：
对于两个正数a、b，则（当且仅当a＝b时取等号）．
当为定值时，有最小值；当为定值时，有最大值．
例如：已知，若，求的最小值．
解：由≥，得≥，当且仅当即时，有最小值，最小值为．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知，若，则当 　时，有最小值，最小值为 　；
（2）已知，若，则取何值时，有最小值，最小值是多少？
（3）用长为篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

9 . 阅读下列解题过程： ，，观察上面的解答过程，请写出=__________．

10 . 某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x（元/件）时，日销售量为（200-x）件．
（1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式
（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？
（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？

1 . 阅读下面的材料，并解答问题：
分式（）的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是_______________ ．

2 . 已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax²﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax²﹣4ax+b的表达式．

3 . 阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的

点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为　       　；
（2）方程的解为　        ；
（3）若，求的取值范围．

4 . 阅读材料，解决问题：材料1：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可，推广成一条结论：末位能被整除的数，本身必能被整除，反过来，末位不能被整除的数，本身也不可能被整除例如判断992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：，为整数，992250能被25整除．
，不为整数，992250不能被625整除．
材料2：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，则原数能被11整除，反之则不能．
（1）若这个三位数能被11整除，则_____；在该三位数末尾加上和为8的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍能被11整除，求这个五位数；
（2）若这个六位数，千位数字是个位数字的2倍，且这个数既能被125整除，又能被11整除，求这个数．

5 . 【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．
【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．
【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点()，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．

6 . 在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A．

（1）求抛物线的对称轴和点A坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，记抛物线与直线所围成的封闭区域为图形W（不含边界）．
①当时，直接写出图形W内的整点个数；
②若图形W内恰有1个整点，结合函数图象，求m的取值范围．

7 . 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．
例如，点的一次反射点为，二次反射点为．
根据定义，回答下列问题：
（1）点的一次反射点为__________，二次反射点为____________；
（2）当点在第一象限时，点，，中可以是点的二次反射点的是___________；
（3）若点在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数．
（4）若点在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．

   

8 . 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“演化点”.例如，点的“演化点”为，即.
（1）已知点的“演化点”是，则的坐标为________；
（2）已知点，且点的“演化点”是，则的面积为__________；
（3）已知，，，，且点的“演化点”为，当时，___________．

9 . 【阅读·领会】
材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式．
材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是
我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时，
根据积的乘方运算法则，可得，
∵，∴．于是、都是ab的算术平方根，
∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算．
将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式．
材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式：
（I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（II）被开方数中不含分母；
（III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式．
【积累·运用】
（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式．
（2）化简：______．
（3）当时，化简并求当时它的值．

10 . 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为“分类思想”．
例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值．
解：如图，

当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5
当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2＋3＝1
所以，a＝﹣5或1
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程）
（1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
（2）已知ab＞0，求＋的值．
（3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本）按原价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售．
①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？
②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，这种情况存在吗？如果存在，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在，请说明理由．

1 . 观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
(1)按照这个规律，写出第④个式子：__________；
(2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________；
(3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________；
(4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．

2 . 我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为MN=2x+3(2x+1)=2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S₁；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S₂．用含a的代数式表示S₁=　　　　，S₂=　　　　(需要化简)．然后请用作差法比较S₁与S₂大小；
（2）已知A=2a²﹣6a+1，B=a²﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M=(a﹣4)²，N=16﹣(a﹣6)²，且M=N，求(a﹣4)(a﹣6)的值．

3 . （1）阅读下面材料：
   
   


点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，；
如图丙，点A、B都在原点的左边，；
如图丁，点A、B在原点的两边，．
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
数轴上表示x和的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果，那么______；
当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是______．
当代数式取最小值时，相应的x的值是______．
当代数式取最大值时，相应的x的取值范围是______．

4 . 先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，这两点的距离P₁P₂．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x₂﹣x₁|或|y₂﹣y₁|．
（1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标；
（3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由．

5 . 阅读理解题：
通过我们所学的知识，可以对一些复杂的数或特殊的数进行计算或化简
（1）循环小数可以化为分数：
例：将循环小数分为分数形式
解：设①，则②
②﹣①，得9x＝3．即，所以＝
（2）特殊的无穷循环根式可以化简．
例：将无穷根式化简
解：设x＝，①则x²＝2②
②÷①，得x＝2所以＝2
请你根据以上提供的两种方法，解下列问题：
（1）将下列循环小数化为分数形式
①；
②
（2）将下列无穷根式进行化简
①；②．

6 . 如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线长度的平方是四边形某两边长度的乘积，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，在这个四边形中，，满足，四边形是闪亮四边形，是亮线．

（1）以下说法在确的是__________（填写序号）
①正方形不可能是闪亮四边形
②矩形有可能是闪亮四边形
③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为
（2）如图2，在四边形中，，四边形是否为闪亮四边形？如果是，哪条线段是亮线，并写出验证过程，如果不是，说明理由．

7 . 【阅读理解】利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：利用配方法将变形为的形式．
＝＝．
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式化成的形式．
（2）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．

8 . 阅读材料：若x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，求x、y的值．
解：∵x²－2xy＋2y²－8y＋16=0，∴(x²－2xy＋y²)＋(y²－8y＋16)=0，∴(x－y)²＋(y－4)²=0，∴(x－y)²=0，(y－4)²=0，∴y=4，x=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a²＋b²－4a－6b＋13=0．求△ABC的边c的值．

9 . 点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P(1，3)是“垂距点”．
（1）在点A(-2，2)，，C(-1，5)是“垂距点”的是　 　；
（2）若是“垂距点”，求m的值．

10 . 阅读理解：如图1在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径为r，作直径BD，连接DC，则∠A＝∠D．
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴在Rt△BCD中， ，
∴， ．

解决问题：
如图2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2．
（1）求△ABC外接圆的半径r；
（2）求sinC的值．

1 . 阅读下列材料，完成相应任务：
神奇的等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
第100个等式：；…
任务：
（1）第6个等式为：　　；
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明．

2 . 阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式．
通过以上阅读，请你解决问题：
（1）零点值是_________和__________；
（2）化简代数式；
（3）解方程；
（4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________．

3 . 综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务.（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子.方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．

问题解决
（1）该长方体纸盒的底面边长为_______；（请你用含的代数式表示）
（2）若，，则长方体纸盒的底面积为_______；
动手操作二：
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
拓展延伸
（3）该长方体纸盒的体积为______；（请你用含的代数式表示）
（4）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍．

4 . 你能比较与的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化.即比较与的大小(整数n≥1)．然后，从分析n=1，n=2， n=3，……这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想，得出结论.
（1）通过计算，比较下列①到⑥各组中两个数的大小：
①                  ②                  ③
④                 ⑤                 ⑥
（2）从（1）小题的结果归纳，请猜想与的大小关系：
（3）根据上面归纳猜想到的一般结论，可以得到：
_______ (填“>”、“=”或“<”)．

5 . 阅读材料，回答下列问题：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离怎么表示，在学习绝对值后，我们知道，︱a︱表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离，而︱a︱=︱a – 0︱，即︱a – 0︱表示a、0两数在数轴上对应的两点之间的距离，那任意两个有理数在数轴上对应的点之间的距离都可以用绝对值表示吗？请借助数轴探究并解决下面问题：

（1）数轴上，表示2和5的两点之间的距离可以用绝对值表示为________；表示3和－2的两点之间的距离可以用绝对值表示为_________；任意的两个有理数 a 和 b在数轴上对应的两点之间的距离可以用绝对值表示为_________．
（2）数轴上A、B、C三点表示的数分别为－1、2、4，B点到A、C两点的距离和可表示为_________．
（3）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为−2，动点P表示的数为x．试求|x+2|+|x−4|的最小值．

6 . 某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如表：

甲	78	86	74	81	75	76	87	70	75	90
	75	79	81	70	74	80	86	69	83	77
乙	93	73	88	81	72	81	94	83	77	83
	80	81	70	81	73	78	82	80	70	40

整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩x人数 部门	40≤x≤49	50≤x≤59	60≤x≤69	70≤x≤79	80≤x≤89	90≤x≤100
甲	0	0	1	11	7	1
乙	1	0	0	7	10	2

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

部门	平均数	中位数	众数	方差
甲	78.3	77.5	m	33.61
乙	78	n	81	117.5

得出结论（1）上表中m＝　 　，n＝　 　；
（2）甲、乙两个部门员工的生产技能水平比较均衡的是　 　部门，估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　 　；
（3）可以推断出　 　部门员工的生产技能水平较高，理由为　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

7 . 对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P（点P在图形W上），给出如下定义：若点，……，都在图形W上，且，那么称点，，……，是图形W关于点P的“等距点”，线段，，……，是图形W关于点P的“等距线段”．

(1)如图1，已知点B（－2，0），C（2，0），A（0，a）（）
①判断：点B，C        △ABC关于点O的“等距点”，线段OA，OB        △ABC关于点O的“等距线段”；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点O的两个“等距点”，分别在边AB，AC上，当相应的“等距线段”最短时，请在图1中画出线段，；
(2)如图2，已知C（4，0），A（2，2），P（3，0），若点C，D是△AOC关于点P的“等距点”，求点D的坐标；
(3)如图3，已知C（a，0）在x轴的正半轴上，．点P（x，0），△AOC关于点P的“等距点”恰好有四个，且其中一个点是点O，请直接写出点P横坐标的取值范围．（用含a的式子表示）

8 . 现象感知 如图1，在数轴上，线段AB的中点为E，点E表示的数与点A、点B表示的数关系存在：＝6；线段CD的中点为F，点F表示的数与点C、点D表示的数的关系也存在：＝﹣2
归纳性质 如图2，在数轴上，线段GH的中点为P．
（1）如图2，在数轴上，点G、H、P表示的数分别为a，b，c，请猜想a，b，c的等量关系，请写出一等量关系式．小宇同学为了说明a，b，c的等量关系是正确的，采用了字母表示数的方法，设PG＝PH＝m，从而表示出G、H两点的数（含c和m）．请完成小宇的说理过程．
拓展应用
（2）如图，点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣3，1，9，它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为t秒．若A，B，C三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，求t的值．

9 . 【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，，…；
，＝﹣，…；
(1)请观察小明发现的拆分方法，填空：
①＝；
②＝．
(2)请归纳以上拆分规律，计算下列各题：
①；
②；
(3)请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果：
＝　               　；
＝　               　．

10 . 在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”．
在平面直角坐标系中，已知点M（2，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（0，a），点B（b+1，2a），点C（，a﹣1），将△ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？　 　（填“是”或者“否”）
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且△MFD的面积为．
①D（　　，　 ）；E（　 　，　　）；F（　 　，　 　）（用只含字母a的代数式表示）
②试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？并通过计算说明理由．

1 . 2020年10月15日，中共中央国务院发布《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，对新时代体育教育做了顶层设计和全面部署．某校面对全体学生发出了“发展体育运动，健身报效祖国”的活动倡议，调查小组对本校学生每周运动的时间做了抽样问卷调查，过程如下：
（1）收集、整理数据：调查小组利用如下左图所示的调查问卷随机调查50名同学，得到他们最近一周内参加体育锻炼总时间的数据如下表所示：

XX学校“发展体育运动，健身报效祖国”运动时间调查问卷 请根据实际情况选择最符合的一项，在该项前面方框内打“√”，感谢参与！ 最近一周内你参加体育运动的总时间为：（每组含最小值，不含最大值） □A：0～1小时          □B：1～2小时 □C：2～3小时          □D：3～4小时 □E：4～5小时          □F：5小时以上

A	C	B	B	B	C	D	B	A	A
A	B	C	B	C	A	B	A	D	B
C	B	E	B	C	B	C	A	C	C
D	E	D	A	B	D	A	E	A	B
A	F	B	B	A	C	B	D	B	C

将上述数据整理在如下的统计表中，请你将表格补充完整：

参加体育锻炼总时间	A	B	C	D	E	F
频数	_______	17	11	________	3	1

（2）描述数据：根据上面的统计表，补全频数直方图和扇形统计图；

（3）问题解决：已知该校共有1000人，根据上述信息估计该校全体学生最近一周参加锻炼总时长不足2小时的约为多少人？
（4）分析数据：根据以上数据的特点，写出一条你发现的结论；

2 . 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论x取何值，，所以当时，多项式有最小值为-16．
试确定：多项式有最______值（填大或小）为______．
（3）已知x是实数，试比较与的大小，说明理由．

3 . 阅读下面材料，完成任务．
多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．

∴             ∴
请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）
（1）计算：
（2）若关于的多项式能被二项式整除，且，均为自然数，求满足以上条件的，的值．

4 . 阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：

把它们写成我们现在的方程组是与．
（Ⅱ）对于二元一次方程组的解法，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下：

所以方程组的解为．
解答下列问题：
（1）直接写出下面算筹图表示的关于，的二元一次方程组；

（2）仿照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．

5 . 居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，若设花园的一边为，花园的面积为．

（1）求y与x之间的数关系式，写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200吗？如果能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由；
（3）请结合题意判断：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

6 . 阅读材料：
对于排好顺序的三个数：，称为数列．计算的值，将这三个算式的最小值称为数列的价值．例如，对于数列，因为，所以数列的价值为．
当改变数列中三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列的价值为，数列的价值等等．对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）求数列的价值；
（2）将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，求取得的价值最小时的数列．
（3）已知，将“”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求的值．

7 . 阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果轴，则，
②如果轴，则，
③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式．

（1）若点坐标为，点坐标为则________；
（2）若点坐标为，点坐标为，点是轴上的动点，直接写出最小值=_______；
（3）已知，根据数形结合，求出的最小值？的最大值？

8 . 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车店准备购进型和型两种不同型号的电动汽车共辆进行销售．

	成本价（万元/辆）	售价（万元/辆）
型
型

(1)如果该店购进辆两种型号的电动汽车所花费成本为万元，那么购进、两种型号的电动汽车各多少辆？
(2)为了保证该店购进的型电动汽车不少于型电动汽车的倍，那么辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆型电动汽车可使店销售的利润最大，最大利润是多少？

9 . 某社区开展“绿色出行”宣传活动，活动开始前，已有100名居民在广场排队等候领取共享单车骑行卡．活动开始后，每分钟都有6名新居民加入排队．已知社区志愿者初始设置了3个发卡窗口，每个窗口平均每分钟可为4名居民完成领卡手续，领到卡的居民立即离开．活动规定每人限领一张卡．
(1)若活动开始x分钟后，广场排队等候的人数恰好还剩40人，请求出此时的x值；
(2)为让更多居民快速领到骑行卡，社区计划增设发卡窗口．若要确保活动开始10分钟后，所有初始排队以及这10分钟内前来排队的居民都能全部办妥领卡手续，实现后来的居民随到随办，至少需要增设几个窗口？

10 . 利用整式乘法可以发现下面的规律，
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
阅读思考解决如下问题，
（1）（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=____．
（2）试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．
（3）判断2²⁰²⁰+2²⁰¹⁹+…+2²+2+1值的个位数是____．

1 . 好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x³，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为　 　，一次项为　 　；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）²⁰²¹＝a₀x²⁰²¹+a₁x²⁰²⁰+a₂x²⁰¹⁹+…+a₂₀₂₀x+a₂₀₂₁，则a₂₀₂₀＝　 　．

2 . 阅读并回答问题：
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．
据此可知：
可以运算，例如：，则____，____，____；
方程的两根为________(根用表示)．

3 . 【知识重现】我们知道，在a^xN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如2³=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2．
【学习新知】
现定义：如果a^x=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=log_aN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log₂8=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）选择题：在式子log₅125中，真数是_______．
（2）①计算以下各对数的值：log₃9=_______；log₃27=_______．
②根据①中计算结果，请你直接写出log_aM，log_aN，log_a（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）．

4 . 对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点满足且，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若，，则点为线段MN的一个覆盖的特征点．已知，，，请回答下列问题：
（1）在，，中，是的覆盖特征点的是______；
（2）若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，则m的取值范围是___．

5 . 阅读以下文字并解决问题：对于形如这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在中间先加上一项9，使它与的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：．
（2）如果，求的值．

6 . 阅读材料：
如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式： ，当且仅当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
实例剖析：
已知x＞0，求式子的最小值．
解：令a＝x，b＝，则由，得当且仅当时，方程两边同时乘x，得到，解得x＝2，式子有最小值，最小值为4．
学以致用：
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x＝__________ 时，式子取到最小值，最小值为：_______________
（2）用篱笆围一个面积为100m²的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
（3）已知x＞0，则x取何值时，式子取到最小值，最小值是多少？

7 . 在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．例如：图1中，点M表示数，点N表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点．

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点．
①若，则b=______；
②用含a的式子表示b，则b=_______；
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点B．若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数______；
（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为10个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到P₁，P₂为P₁的基准变换点，点P₂沿数轴向右移动k个单位长度得到P₃，P₄为P₃的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到P₅，P₆，…，P_n．Q₁为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₁的落点为Q₂，Q₃为Q₂的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q₃的落点为Q₄……，依此顺序不断地重复，得到Q₅，Q₆，…，Q_n．若无论k为何值，P_n与Q_n两点间的距离都是8，则n=_______．

8 . 回答下列问题：
（1）已知一列数：2，6，18，54，162，…．，若将这列数的第一个数记为，第二个数记为…，第个数记为，则
（2）观察下列运算过程：
①
①得
②
②-①得

参考上面方法，求（1）中数列的前个数的和．

9 . 【概念学习】

规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个（）记作，读作“的圈次方”．

【初步探究】       
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）关于除方，下列说法错误的是________

A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数，

C．；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
________；________．
（2）算一算：．

10 . 如图，是的直径，点在上，，过点作直线分别交直线和于点、，连结，，.

（1）求的度数；
（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比.
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.
②求弦的长.
③在直线或上是否存在点（点、除外），使是黄金三角形？若存在，画出点，简要说明画出点的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.

1 . 阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：
①若，则该三角形是直角三角形；
②若，则该三角形是钝角三角形；
③若，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形；请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是_______三角形；
（2）若一个三角形的三边长分别是3，4，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值_____；
（3）若一个三角形的三边长为，，，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．

2 . 探索：
                    

          


①试求的值
②判断的值的个位数是几？

3 . 疫情期间为了丰富学生居家学习生活，开学初学校开展读书活动．五一期间对七年级某班50名学生进行调查，调查发现每一名学生都能至少阅读一本课外书．阅读课外书不少于三本的学生人数占总人数的46%．请结合统计图，解答下列问题．

(1)通过计算，补全条形统计图．
(2)本次调查获取的样本数据的众数为__________本；中位数为__________本；
(3)求该班级平均每人读课外书多少本？
(4)该学校七年级共有1200名学生，估计七年级学生共读课外书多少本？

4 . 阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．

                 

知识运用：（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4．

   

①在点M和点N中间，数        所表示的点是【M，N】的好点；
②在数轴上，数      和数       所表示的点都是【N，M】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

   

5 . 已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y＝3x﹣2上存在“麓点”P（1，1）．
（1）直线______（填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y＝上的“麓点”是______；
（2）若抛物线y＝﹣x²+（a+1）x﹣a²﹣a+1上有“麓点”，且“麓点”为A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求W＝x₁²+x₂²的最小值；
（3）若函数y＝x²+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．

6 . 定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN ＝　     ．

（1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接 CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP， 连结PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
（3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数（x＞0）上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点．

7 . 阅读材料
在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词．“容积率”（floorarearatio），是指规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示，比如一块规划建设用地面积为10000平方米，其中底层总面积为3000平方米，除底层之外其余楼层的总面积为22000平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是＝2.5，居住小区的“容积率”一般不超过5，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区内居住的舒适度．
（1）下列关于“容积率”的表述，错误的为　　．
A.当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大
B.当地面的上建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大
C.房产开发商希望容积率越大越，可出售的面积也越大，收益也越多
D.住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好
（2）某建筑规划建设用地6400平方米，该建筑的底层总面积为2240平方米，如果该建筑共10层，2至10层每层建筑面积均为1800平方米，那么建筑的容积率为多少？（精确到0.01）
（3）①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形AOGD与正方形OBCG的边长均为60米，OE、OF为120米，求该建筑的底层面积．
②若该养老社区规划建设用地面积为25000平方米，容积率为1.2，计划建造5层，且2至5层面积相同．为让老人居住舒适，平均每个床位需要12平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位？

8 . 规定数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a^c＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为2³＝8，所以（2，8）＝3．
（1）请根据上述规定填空：（3，81）＝　 　，（5，1）＝　 　，（2，0.25）＝　 　．
（2）小华在研究这种运算时发现一个现象：（3ⁿ，4ⁿ）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3ⁿ，4ⁿ）＝x，则（3ⁿ）^x＝4ⁿ，即（3^x）ⁿ＝4ⁿ，
所以3^x＝4，即（3，4）＝x，所以（3ⁿ，4ⁿ）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法，证明这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．

9 . 阅读下列材料：
已知实数x，y满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）已知a，b满足方程组；求的值；
（3）填空：
已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是_______．

10 . 如图，数轴上的点所表示的数分别为

（1）的长为            
（2）若点为的中点，则点表示的数为___：
（3）将一枚棋子放置在点处，让这枚棋子沿数轴在线段上往复运动（即棋子从点出发沿数轴向右运动，当运动到点处，随即沿数轴向左运动，当运动到点处，随即沿数轴向右运动，如此反复…），并且规定棋子按照如下的步骤运动：第步，从点开始运动个单位长度至点处：第步，从点继续运动t 个单位长度至点处；第步，从点继续运动个单位长度至点处…．
例如：当时，点，的位置如图所示．

解决如下问题：
①如果，那么表示的数为 ；表示的数为                ；线段=                 
②如果，且点表示的数为，那么          
③如果，且线段，那么请你求出的值          ；

1 . 阅读材料：解分式不等式．
解：根据实数的除数法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：（1）或（2）
解（1）得：无解，解（2）得：
所以原不等式的解集是
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1）；
（2）

2 . 规定：在一个矩形中，先剪下一个最大的正方形称为裁剪1次，再在剩余的图形中剪下一个最大的正方形称为裁剪2次，……依次进行，若裁剪次后，最后剩余的图形也是一个正方形，我们把这样的矩形称为完美矩形．已知在完美矩形中，两条相邻边长分别为4，，若，则______；若，且，则______．

3 . 我们知道，顶点坐标为的抛物线的解析式为．今后我们还会学到，圆心坐标为，半径为的圆的方程．如：圆心为，半径为3的圆的方程为．

（1）以为圆心，为半径的圆的方程为________；
（2）如图，以为圆心的圆与轴相切于原点，是上一点，连接，作垂足为．延长交轴于点，已知．
①连接，证明：是的切线；
②在上是否存在一点，使？若存在，求点的坐标，并写出以为圆心，以为半径的的方程；若不存在，请说明理由．

4 . 认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）数轴上表示3和-2的两点之间的距离是________；
（2）数轴上有理数与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为________；
（3）代数式可以表示数轴上有理数与有理数_________所对应的两点之间的距离；若，则________；
（4）的最小值为________．

5 . “赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有名学生参加决赛，这名学生同时默写首古诗词，若每正确默写出一首古诗词得分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下:

组别	成绩分	频数(人数)
第组
第组
第组
第组
第组

请结合图表完成下列各题: :
（1）①求表中的值;
②频数分布直方图补充完整;
（2）若测试成绩不低于分为优秀，则本次测试的优秀率是多少?
（3）第组名同学中，有名男同学，现将这名同学平均分成两组进行对抗赛，且名男同学每组分两人，求其中小华和小强两名男同学能分在同一组的概率．

6 . 阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：①______，_____；②______，______．
通过计算，我们可以发现______（，）
从上面的结果可以得到：，，
（2）根据上面的运算，完成下列问题
①化简：
②计算：
③化简：（，）

7 . 在数学解题过程中，有时可以利用取特殊值法进行计算或解答．
例如：在等式中，把代入，得．
请利用这种方法解答下列问题：设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．

8 . 对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F(p，q)．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F(23，15)=308．
（1）计算：F(13，26)；
（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F(a，18)+F(b，26)=32761时，求m+n的值．

9 . [阅读理解]
我们知道:，那么结果等于多少呢?
在图1所示的等边三角形数阵中，第行的一个小等边三角形中的数为，即第行的三个小等边三角形中的数的和是即; ．．第行的个小等边三角形中的数的和是个，即，该等边三角形数阵中共有小等边三角形，所有小等边三角形数的和为．

[规律探究]
以图1中的等边三角形数阵的右底角顶点为旋转中心顺时针旋转再把旋转后的图形按同样的方法可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个等边三角形数阵各行同一位置的小等边三角形中的数，发现位于奇数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;发现位于偶数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;而每个等边三角形数阵中，由于位于奇数位置的数比位于偶数位置的数多个，则位于偶数位置的数有_
个 ，位于奇数位置的数有              个， 由此可得，这三个等边三角形数阵所有数的总和为:
因此，
[解决问题]根据以上发现，计算:

10 . 【思考题】
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形；
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空：命题        （填“正确”或“不正确”），不用说明理由．
②若某三角形的三边长分别是2、4、，则△ABC是奇异三角形吗？          （填“是”或“不是”），不用说明理由．
（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=5、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c的值．

1 . 阅读理解：若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离2倍，我们就称点是的好点．例如，如图1，点是的好点：点是的好点．
(1)如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．在数轴上的好点所表示的数是__________．
(2)如图3，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，和中恰有一个点为其余两点的好点？

2 . 设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有值的全体叫做闭区间、表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；
（3）若实数满足.且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求的值．

3 . 对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减小相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，并记为；把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，并规定．例如：对于递减数321，有，，且．
(1)计算：，；
(2)若和均为递减数，的百位数字是9，的个位数字是2，且满足，求的值．

4 . 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解，（，是正整数且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：，例如可以分解成、或．因为，所有是最佳分解，所以．
（1）求．
（2）如果一个两位正整数，（，、为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数为 “吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值．

5 . 阅读下列材料：我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式，如果一个多项式不 是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)，
再例如求代数式2x²+4x-6的最小值．
解： 2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2[(x²+2x+1)-4]=2[(x+1)²-4]=2(x+1)²-8
可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： 
（1）分解因式： m²-4m-5
（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

6 . （1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的一次方程组的解，用数表可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：


从而得到该方程组的解为________，________．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．

7 . 如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=      
（2）若方程（a≠0）是倍根方程，且相异两点M(1+t，s)，N(4-t，s)，都在抛物线上，求一元二次方程（a≠0）的根．

8 . 对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为d_max，P，Q两点间距离的最小值为d_min，我们把d_max + d_min的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）．
（1）如图，正方形ABCD的中心为点O，A(3，3)．
① 点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）= ；
② 设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）=7，求点P的坐标．
（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一点，如果d（M，线段AD），直接写出M点横坐标t取值范围．

       

9 . “换元法”是解方程的一种重要的方法，利用“换元法”解方程，往往达到化繁为简的效果，例如：解方程，我们可以令，则原方程可化为，先解出t，然后再还原解出x．
（1）解方程，令，原方程可化为 ；
（2）若实数满足，则 ；
（3）若实数x满足，求的值．

10 . 先阅读理解下面的例题，再按要求完成后面的问题：
例：解不等式（x﹣2）（x+1）＞0．
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：
①或②，
解不等式组①，得：x＞2；
解不等式组②，得：x＜﹣1．
所以（x﹣2）（x+1）＞0的解集为x＞2或x＜﹣1．
根据上述方法解一元二次不等式x²﹣4＞0．

1 . 对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”．
（1）当的半径为1时，
①在点中，的“离心点”是_____________；
②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．

2 . 数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：
请根据对话解答下列问题：
甲：我的多项式是2x²-3x-2
乙：我的多项式是3x²-x+1
丙：我的多项式是x²+2x+3
丁：我和甲、乙两位同学的多项式是友好多项式
（1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为“友好多项式”，并说明理由．
（2）丁的多项式是什么？（请直接写出所有答案）．

3 . 阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x²+x+0.25）＝3x²+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．

4 . 阅读下列材料，完成相应任务：

卢卡斯数列 法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题． “卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中． （说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）

任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________．

5 . 当前无人配送技术快速发展，某外卖平台计划购进一批无人送外卖车，分为小型和大型两种型号，共计12辆．已知每辆大型车的价格是小型车的2倍，且平台计划投入30万元专门用于购买小型车，投入60万元专门用于购买大型车（资金恰好全部用完）．

(1)求每辆小型车的价格为多少万元．
(2)车辆全部投入使用后，每辆小型车每天可完成10个配送点的任务，每辆大型车每天可完成15个配送点的任务，则所有车辆每天共可完成       个配送点的任务．

6 . 阅读下面材料，完成任务．
     某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的运算符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个数，用表示这三个数中最大的数，例如：，，，请结合上面材料，解决下列问题：
（1）
（2）若，求的取值范围．

7 . 如图①在中，若点在边上，且则点定义为的边上的“金点”．
已知点是的边上的“金点”:
①若则的长为              _；
②若则的长为             _；
在图①中，若点是的边的中点，试判断点是不是的“金
点”，并说明理由；
如图②，已知点为同一直线上三点，且在所在直线上是否存在一点使点中的某一点是其余三点围成的三角形的“金点”．若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

8 . 阅读材料：解不等式
解：根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此原不等式课转化为
①；②
解①，得无解；解②，得；∴原不等式的解集是
请依照上述方法和解题依据解下列两个不等式
（1）；
（2）

9 . 将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．

（1）一个周长为L，面积为S的等边三角形的“再生三角形”的周长是______，面积是______；
（2）已知中，，是的“再生三角形”，其中点，，，分别是点A，B，C的对称点．是_______三角形；
（3）已知中，，是的“再生三角形”，其中点分别是点A，B，C的对称点，试猜想与的面积有怎样的关系，并加以证明；
（4）小舒认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的?请说明理由．

10 . 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点．
（1）点M(l，2)，N(4，4)，Q(6，－3)中，是强点的有；
（2）若强点P(2a，3)在双曲线上，求a和b的值．

1 . 【理解概念】
分别经过两个不相似的直角三角形的直角顶点的两条直线，把这两个直角三角形分别分成两个小三角形，当一个直角三角形中的一个小三角形与另一个直角三角形中的一个小三角形相似时，另外两个小三角形也相似，则称这样的两条直线叫做这两个直角三角形的相似分割线．

【巩固新知】
（1）已知：如图①、②，在和中，．
①求证：、分别是和的相似分割线；
②若，求的长．

2 . 【给出定义】数轴上顺次有三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就称点是（）的“梦想点”例如：图①中，点表示的数分别为、2，表示数1的点是（）的“梦想点”；图②中，点表示对的数分别为、2，表示的点是（）的“梦想点”．

图1

图2
【解决问题】
（1）若数轴上两点所表示的数分别为，且满足，则_____，_____．（）的“梦想点”表示的数为________；
（2）如图3，在数轴上点表示的数分别为和5，点从点出发沿数轴向右运动；

图3

备用图
①若点运动到点停止，则当中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时，求这个点表示的数；
②若点运动到后，继续沿数轴向右运动的过程中，是否还存在点中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况？若存在，请直接写出此时点的表示的数：若不存在，

3 . 平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」=+．（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点A（﹣1，3），B（，）的勾股值「A」、「B」；
（2）点M在反比例函数的图象上，且「M」=4，求点M的坐标；
（3）求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积．

4 . 阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：，，，称为数列，，，计算，，，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为．
小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；…．经过研究，小丁发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
(1)数列，，的价值为 ；
(2)将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为     （写出一个即可）；
(3)将，，（）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为     ．

5 . 【定义】连结三角形一个顶点及这个顶点所对边上的任意一点，若构成的线段能将三角形分割成两个等腰三角形，则称这条线段是这个三角形的完美分割线．
【尝试】
（1）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，请用直尺和圆规画出△ABC 的完美分割线．

（2）若一个直角三角形有两条完美分割线，请求出这个直角三角形最小内角的度数．
【探究】
（3）一个等腰三角形的腰长为 8，其中一条完美分割线分得的两个三角形中有一个三角形与原三角形相似，求对应完美分割线的长度．

6 . 已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：
(1)在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有_____个；
(3)在图2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用(1)中的结论，试求∠P的度数；
(4)在图3中，如果∠B和∠C为任意角，并且AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线，即
∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BDO，那么∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系是_______(直接写出结论即可)．

7 . 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，
只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角
三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝，
即原式的最小值为．

根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B       的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）求代数式的最小值

8 . 阅读下面的材料：
小明在研究中心对称问题时发现：
如图1，当点为旋转中心时，点 绕着点旋转180°得到点，点再绕着点 旋转180°得到点，这时点 与点重合.
如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点 绕着点旋转180°得到点,小明发现P、 两点关于点中心对称.

（1）请在图2中画出点、 ， 小明在证明P、两点关于点 中心对称时，除了说明P、、 三点共线之外，还需证明；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到 点；点绕着点 旋转180°得到点；点 绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

9 . 阅读理解：如图（1），已知直线m∥n，A、B 为直线n上两点，C、D为直线m上两点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积．根据上述内容解决以下问题：

已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF．

（1）如图（2），当点G与点D重合时，△BDF的面积为      ；
（2）如图（3），当点G是CD的中点时，△BDF的面积为      ；
（3）如图（4），当CG = a时，则△BDF的面积为      ，并说明理由；
探索应用：小张家有一块正方形的土地如图（5），由于修建高速公路被占去一块三角形BCP区域．现决定在DP右侧补给小张一块土地，补偿后土地变为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BP上，请你在图中画出M点的位置，并简要叙述做法．

10 . 酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（        ）

A．当时，	B．随的增大而减小
C．是的函数	D．图中曲线是反比例函数的图象

1 . 规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．
证明如下：设，，则，，，
，即．
(1)根据上述规定，填空：_________；________；
(2)计算：，结果用的形式表示．
(3)若，，．求证：．