内外心综合题 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是___________．

2 . 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
   

3 . 如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心G所经过的路径的长度；
（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．

4 . 如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______．

5 . 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．

(1)求的长；
(2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．

6 . 如图，是以为直径的上一点，是的内心，的延长线交于点，过点作的平行线分别交，的延长线于，．下列说法：①是等腰直角三角形；②与相切；③；④点是以，，为顶点的三角形的外心；⑤．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上）

7 . 如图，在中，，，是的外接圆，连接并延长交于点，连接，点是的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点，证明；
（2）求线段长．

8 . 如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点 I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为；
④ACBC=CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）

9 . [发现]
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？

[研究]
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
[应用]
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ．

10 . 如图，已知点在的直径延长线上，点为上，过作，与的延长线相交于，为的切线，，．

（1）求证：；
（2）求的长；
（3）若的平分线与交于点，为的内心，求的长．

1 . 问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为　 　
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？

2 . 若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为____________．

3 . 如图，在∠DAM内部作Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为　 　，并判断AD与⊙O的位置关系为　 　；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为　 　；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为　 　．
（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

4 . 如图，点P在曲线y=（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA=PB，OA、OB的长是方程t²-8t+12=0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）填空：OA=______；OB=______；k=______．
（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是______；
（3）试问：在点C运动的过程中，BD-BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．

5 . 如图，扇形AOD中，，，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），于Q，点I为的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图所示，为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交于D，点M为△ABC的内心，DM=，AB=8，求OM的长.

7 . 如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，已知，的内切圆分别切边于点直线分别与直线相交于点.求证：．

9 . 如图，AB为⊙O的直径，点C为下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．

（1）求证：EC＝ED．
（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．
（3）设＝x，tanB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．

10 . 在△ABC中，∠A=120°，BC=6，，若△ABC的内切圆的半径为R，求R的最大值.

1 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．
（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；
（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长

2 . 如图，半圆D的直径AB＝6，线段OA＝10，O为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表示的数为m．
（1）当半圆D与数轴相切时，求m；
（2）半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点为C，
①直接写出m的取值范围是　 　；
②当半圆D被数轴截得的弦长为3时，求半圆D在AOB内部的弧长；
（3）当AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求cos∠AOB的值．

   

3 . 小明和同学们在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图1，圆中，是圆中的两条弦，于点，于点，若，则.

（1）请帮小明证明这个结论；
（2）请参考小明思考问题的方法解决问题，如图2，在中，，为的内心，以为圆心，为半径的圆与三边分别相交于点、、、. 若，，求的周长.

4 . 如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且．
求证：．