四点共圆 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________．

2 . 如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．

（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．

3 . 如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有_____．（填写所有正确结论的序号）

4 . 如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是______．

5 . 如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为_______．

   

6 . 我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．

（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.

7 . 在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．

(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；
(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．

8 . 如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（     ）
   

A．①③④

B．②③⑤

C．②④

D．①③④⑤

9 . 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________．

10 . 如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为________．

   

1 . 在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．

2 . 问题提出   如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．

尝试应用   如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．

问题拓展   如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．

3 . 【学习心得】
数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

(1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角．
①求的度数；
②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数．
【问题解决】
(2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数．
【问题拓展】
(3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）．

4 . 在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P．

（1）如图1，当时，连接．
①求的面积；
②求的值；
（2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线．

5 . 如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6 . 在平行四边形中，已知，，点为线段上的一点，连接，以线段为直角边构造等腰，交线段于点，连接．
(1)如图，若，，则的长为多少？
(2)如图，若点，分别为线段，的中点，连接，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，若，，以点为圆心，为半径作，点为上一点，连接，取的中点，连接，请直接写出线段的取值范围．

7 . 在等边中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．

(1)如图1，当三点共线时，连接，若，求的长；
(2)如图2，取的中点，连接，猜想线段与的关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，请直接写出的值．

8 . 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CE⊥DF，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CE＝4，求⊙O的半径．

9 . 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，是的高，若是的中点．则点就在以点为圆心的同一个圆上．
【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题：

(1)如图1，若的交点为点，则点四点是不是也在同一个圆上．如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
(2)如图2，锐角中，是高线，于，于，求证：．
(3)如图3，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为，则的最小值为___________．
【拓展应用】
(4)如图4，学习小组完成上面的问题后发现的两条高相交于点，连接并延长交于点，则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，已知是的外接圆，是的高，相交于点．若，请直接写出的面积___________．（结果请用的代数式表示，并保留）

10 . 如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；
(3)如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．

1 . 如图，在中，，点为线段一点，连接，将绕点旋转至，连接和（）．

   

(1)如图1，若，，点P是延长线一点，连接，若，，，求的长；
(2)如图2，，作于点交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，点是直线上一动点，连接，当点运动到中点时，将沿翻折至，连接，请直接写出面积的最大值．

2 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax²﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．

4 . 如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．

(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．

5 . 【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA²+PB²＝PC²．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．

6 . 在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”．

(1)已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是_______．
(2)若，点是线段关于点的“关联点”，
①若点，点，点所形成区域的面积为______．
②若，线段的取值范围是______．

7 . 如图，正方形中，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，则的最小值为________．

8 . 问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．

①求证：；
②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．
①证明是等边三角形；
②若，求的长．

9 . （1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．

（2）小试牛刀：如图2所示，中，，，．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．

①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求的面积．
（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．．，，请求出AE的最小值．

10 . “数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．

（1）如图1，正方形中，，且，求证：；
（2）如图2，正方形中，，延长交的延长线于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连结，求证：．

1 . 如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点．

（1）如图，当点在边上时，联结．
①求证：；
②若，求的长；
（2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长．

2 . 数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上（如图所示）．同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．

3 . 直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．
（1）如图1，求点A的横坐标；
（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．

4 . 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．
（1）CD的长是_____；
（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是_____．

5 . 在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连结．
①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，则线段的长为______；
②如图2，点不与点，重合，延长线交边于点，连接，则______．
　　　

6 . 在中，，，，点、分别在边、上，且， ，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为______．

7 . 射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作于点H．

(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，，，请直接写出HG的长．

8 . 在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?
(2)如图2，在点E、F运动过程中，
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．

9 . 【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

10 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．

1 . 如图（1），已知矩形中，，点E为对角线上的动点．连接，过E作的垂线交于点F．

（1）探索与的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），过F作垂线交于点G，交于点H，连接．若点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，设E的运动时间为．
①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
②t为何值时，是等腰三角形；
③当时，求的面积．

2 . 如图，AB为直径，C、D是上点，连结CB并延长与AD所在直线交于点F，，垂足为点E，连结CE，且．
（1）证明：CE与相切；
（2）若，，求AD的长度．

3 . 如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．

4 . 如图，以点为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），，将绕点P旋转，得到．

(1)求B、C两点的坐标；
(2)请在图中画出线段、，并判断四边形的形状（不必证明），求出点M的坐标；
(3)动直线l从与重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与重合时停止，设直线l与交点为E，点Q为的中点，过点E作于G，连接、．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．

5 . 如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．

   

（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

   

6 . 如图，边长为的正方形中，是对角线上的一个动点（点与、不重合），连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，与交于点，其延长线与（或延长线）交于点．

   

（1）连接，证明：；
（2）设，，试写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）试问当点运动到何处时，的值最小，并求出此时的长．（画出图形，直接写出答案即可）

7 . 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．

8 . 如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是________．

9 . 如图1，长方形ABCD中，AB=CD=7cm，AD=BC=5cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，点E在线段AB上以lcms的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．
（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t=2时：
①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；
②求∠EDF的度数．
（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A=∠B=70°，AB=7cm，AD=BC=5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，已知，的内切圆分别切边于点直线分别与直线相交于点.求证：．

1 . 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．
①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．

2 . 如图，正方形 ABCD 中，AD＝6，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ ED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将△EFG 沿 EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 边的中点，则 △EDM 的面积是_____．

3 . 如图①，是外一点，与相切于点，的延长线交于点，过点作，交于点，连接，并延长交于点，连接．已知，的半径为3．

（1）求证：是的切线；
（2）求的长；
（3）如图②，若点是上一点，且，过作，交弧于点，连接，交于点，连接，则的长度是______．

4 . 已知：内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连接．

              

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作于点，连接，交于点，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，过点的切线交的延长线于点，连接，交的延长线于点，连接，，点为上一点，连接，若，，，，求的长．

5 . 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的两个动点，且，AE和BF相交于点P．
（1）探究AE、BF的关系，并说明理由；
（2）求证：A、D、F、P在同一个圆上；
（3）如图2，若正方形ABCD的边AB在y轴上，点A、B的坐标分别为、，点E、F分别是BC、CD上的两个点，且，AE和BF相交于点P，点M的坐标为，当点P落在以M为圆心1为半径的圆上．求a的取值范围．

6 . 如图，四边形是的内接四边形，，，，求的长．

7 . 如图，在中，，过点B作于点E，过B，D，E三点的圆分别交边，，于点F，M，N，连结，，连结交于点P．

（1）求证：．
（2）当是等腰三角形时，求的长．
（3）连结，，当平分时，求与面积的比值．

8 . 在平面直角坐标系中，半径为的与轴负半轴交于点，点在上，将点绕点顺时针旋转得到点点为轴上一动点（不与重合），将点绕点顺时针旋转得到点与轴所夹锐角为．

(1)如图，若点的横坐标为，点与点重合，则______；
(2)若点、点的位置如图所示，请在轴上任取一点，画出直线，并求的度数；
(3)当直线与相切时，点的坐标为______．

9 . 如图1，抛物线经过原点，两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线与轴交于点，作，连接交抛物线于点，点在线段上，连接、、，交于点，若，，求点的坐标．
   

10 . 如图，在▱ABCD中，，，，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的交BC于点F．
【操作与发现】
当E运动到处，利用直尺与规作出点E与点F；保留作图痕迹
在的条件下，证明：．
【探索与证明】
点E运动到任何一个位置时，求证：；
【延伸与应用】
点E在运动的过程中求EF的最小值．

1 . 已知：过上一点作两条弦、，且，（、都不经过）过作的垂线，交于，直线，交于点，直线，交于点.
（1）请在图1中，按要求补全图形；
（2）在图2中探索线段和的数量关系，并证明你的结论；
（3）探索线段、、的数量关系，并直接写出你的结论________.

2 . 在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：
（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝　 　（直接写出结果）．
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为　 　（直接写出结果）．
②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．

3 . 如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP，交CB的延长线于Q．下列结论中：①∠PAO+∠PDO+∠APD=90°；②AE=EQ；③sin∠PAC=； ④S_{正方形ABCD}=10S_{四边形OEPF}，其中正确的结论有（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到的中点P₁时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

5 . 如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；       
（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；       
（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．

6 . 如图，点在上，，直线与交于点D，交于H，点F为上一点，交于点G，，且，设的半径为R．

(1)若，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若点F在经过三点的圆上，是否存在常数m，使得成立？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

7 . 如图，在中，，，，点为边的中点，沿点折叠，点的对应点为点，连接，当为直角时，的长为___________．

8 . 问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；
迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；
拓展应用：（3）如图3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值．

9 . 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（1）如图②，当α=135°时，求AE′，BF′的长；
（2）如图③，当0°＜α＜180°时， AE′和BF′有什么位置关系；
（3）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

10 . 在中，，将绕点B顺时针旋转（），得到，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，、相交于点F，连接.

（1）如图1，若，线段绕点B旋转得到线段．请补全，并直接写出的度数；
（2）如图2，若，求的度数和的长；
（3）如图3，若旋转（），请直接写出的度数及的长（用含 的代数式表示）.