定弦定角 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（       ）

A．5

B．

C．

D．

2 . 阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．

②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．

请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．

（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．

3 . 如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为_____．

4 . 如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（     ）

A．

B．

C．

D．

5 . 问题提出
（1）如图①，的直径，点P是上的一动点，则面积的最大值是_______；
问题探究
（2）如图②，在中，，则的最大值是________；
问题解决
（3）2025年2月7日在哈尔滨举办了亚冬会．举办期间有各种冰雪项目的比赛，还能体验到哈尔滨独特的冰雪文化和浓厚的节日氛围．赛前，组委会准备开发一块如图③所示的平行四边形观赏台，，在对角线上的点处安装一个摄像装置，以便用于实时直播赛事情况，根据设计要求，米，且．在满足以上所有条件的同时，是否存在平行四边形的面积和同时取得最大值？若存在，请求出它们的最大值，若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

6 . 如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______．

7 . 如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______．

8 . 【问题提出】
（1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________；
【问题解决】
（2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号）

9 . 如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______．

10 . 如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

1 . 【学习心得】
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则．

(1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数；
(2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；

(3)【问题拓展】
①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．

②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长．

2 . 如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为___________．

3 . 已知：如图点A、B为定点．
求作：优弧AB上点C使得等于定长保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明

4 . 如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（        ）

A．2

B．

C．4

D．

5 . 已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E．

(1)如图①，，过圆心O作，垂足为H．当是的直径时，求证：；
(2)如图②，，过圆心O作，垂足为H．当不是的直径时，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，，F为上一点，若，，则E到距离的最大值是                 ．

6 . 如图，四边形为的内接四边形，且．

(1)求的度数．
(2)若的半径为5．
①如图2，连结，求的长．
②如图3，连结，若平分，求的最大值．
(3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系．

7 . 如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是______．

8 . 在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．

(1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________；
(2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）
(3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围．

9 . 【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
(1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°．

(2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________．

【问题解决】
(3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．

【实际应用】
(4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______．

10 . 如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______．

1 . 如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．

2 . 如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（）

A．

B．

C．

D．

3 . 在等边中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．

(1)如图1，当三点共线时，连接，若，求的长；
(2)如图2，取的中点，连接，猜想线段与的关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，请直接写出的值．

4 . 综合与实践
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，E，F分别是，上的两点，连接，，于点P，则的值为______；
(2)如图②，在矩形中，，，点E，F分别是，上的两点，连接，，且于点P，则的值为______；
(3)【类比探究】
如图③，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点P，交的延长线于点F，求证：；
(4)【拓展延伸】
如图③，在四边形中，，，，，E为直线上一点，连接，过点C作的垂线交直线于点P，交直线于点F，连接，则的取值范围是______．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B向轴，轴作垂线，垂足分别为，，点为线段上一动点，为中点，为上一点，且满足，则取最小值时，F的坐标是_________．

6 . 在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”．

(1)已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是_______．
(2)若，点是线段关于点的“关联点”，
①若点，点，点所形成区域的面积为______．
②若，线段的取值范围是______．

7 . 如图，为等边三角形，过点作垂直于点，点为直线上一动点，连接．交于点．

(1)如图，若，点在线段上且 时，求的长；
(2)如图，若点在线段上，为的中点，过点作垂直于点，为上一点，满足，求证 ．
(3)如图，若，过点作垂直于点，连接，点为中点，点是直线上一动点，将点绕点顺时针旋转到点．连接、，当和 均取最小时，直接写出的面积．

8 . 综合探究

【直接运用】
(1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是           ；
【构造运用】
(2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值；
【灵活运用】
(3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由．

9 . 【问题探究】

(1)如图1，在中，延长至点，以为边向右侧作，点为的对称中心，请过点作直线，使直线平分该组合图形的面积；（画出大致示意图即可）
(2)如图2，点为内一点，连接、，延长至点，，且，过点作，连接，，若，求的度数；
【问题解决】
(3)如图3所示，某生态研究所欲规划一个湿地研究基地（五边形），该基地由上方的（F为上方的动点，且）和下方的两部分组成，计划在内的处建一观测点，满足，点在边上，线段、、、、均为观测步道，其中于点，交的延长线于点，且，，现要在线段上选一个出入口点，并修建新步道，使新步道将五边形的面积平分，已知．
请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（图中的点均在同一平面内，观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计）

10 . 在中，，平分，作，垂足为点．

(1)如图1，若点为中点，连接，求证：；
(2)如图2，若点为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，过点作，交延长线于点，连接，求证：．

1 . 问题提出

(1)如图①，在中，，，，为上的一点，求的最小值．
问题解决
(2)如图②，矩形是一个花园，米，米，点，处是凉亭，分别在，边上，已知点，关于对称．现对花园进行改建，在直线下方（不局限在矩形内部）找一点建成游客休息中心，要求，并挖一个三角形池塘，是否存在点，使得这个池塘的面积最大？如果存在，请求出池塘的最大面积；如果不存在，请说明理由．

2 . 问题探究

(1)如图1，在菱形中，连接，点E在边上，且，过点E作交于点F，若，求的长；
(2)如图2，在中，，，求边长度的最大值；
问题解决
(3)某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备规划一个形如四边形的和谐观光园；其示意图如图3所示，连接，将规划为特色植物繁育区，将区域规划为新品花卉展览区，在线段上确定点E（可与端点重合），点C在线段上，连接，沿修建观光通道，根据设计要求，于点E，，，．为容纳更多的游客，要求这两条观光通道的长度之和尽可能的长，请问这两条观光通道的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．（通道的宽度忽略不计）

3 . 如图1所示，嘉嘉和淇淇用一张边长为8cm的正方形纸张做折纸游戏，将正方形折叠使得点落在边上的点（含端点）处，点落在点处，折痕为．

(1)长度的最小值为_____ ；
(2)当平分时，求的长度；
(3)若，用表示；
(4)如图2，连接，作于点，直接写出点运动过程中点运动路径的长度．（参考数据：取）