最大张角问题 - 初中数学 - 困难

1 . 在中，，点为线段上一点，点为平面内一点．

(1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）；
(2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明；
(3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积．

2 . 问题提出

(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．

3 . 一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．
（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；
（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）

4 . 数学概念
若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.
理解概念
（1）若点是的等角点，且，则的度数是       .
（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，
②如图②，
   
深入思考
（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有       .（填序号）