证明切线的方法 - 初中数学 - 困难

1 . 如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接．

(1)若，求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．

2 . 如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.

（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，若点是的内心，，求的长.

3 . 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点．

   

(1)求证：是的切线；
(2)延长交的延长线于点，若，，求半径的长．

4 . 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：；
（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．

5 . 如图，是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交⊙O于点D，连接．

（1）求证：是⊙O的切线
（2）当四边形是平行四边形时，求的度数．

6 . 如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，．

（1）求证：；
（2）点在的延长线上，连接．
①求证：与相切；
②当时，直接写出的长．

7 . 如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

8 . 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．

(1)求证：是的切线；
(2)若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

9 . 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

10 . 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．

1 . 如图，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如图，连接并延长与分别相交于点、，连接．若，，求．

2 . 如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．

（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．

3 . 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CE⊥DF，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CE＝4，求⊙O的半径．

4 . 如图，是以为直径的上一点，是的内心，的延长线交于点，过点作的平行线分别交，的延长线于，．下列说法：①是等腰直角三角形；②与相切；③；④点是以，，为顶点的三角形的外心；⑤．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上）

5 . 如图，四边形内接于是直径，，连接，过点的直线与的延长线相交于点，且．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．

6 . 如图，已知：C是以为直径的半圆O上一点，直线与过B点的切线相交于点D，点F是的中点，直线交直线于点G．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)已知，，求．

7 . 如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．

   

（1）求证:是的切线．
（2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空：
①当的长度是________时，四边形是菱形；
②当的长度是___________时，是直角三角形．

8 . 如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，∠BAD＝75°；
①求BE的长；
②求阴影部分的面积．

9 . 如图，以AB为直径的经过的顶点C，过点O作交于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使．

（1）求证：EC是的切线
（2）若的半径是3，，求CE的长．

10 . 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：
（3）若，，求的长．

1 . 如图，延长的直径，交直线于点，．射线自出发绕点逆时针旋转，旋转角为；同时，线段从出发绕点逆时针旋转，旋转角为，直线与射线交于点，与直线交于点，其中且．

(1)当α＝20°时，的长为　      ；
(2)当AF⊥DG时，求旋转角α，并证明射线DM是⊙O的切线；
(3)当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度；
(4)直接写出线段OH的最大值．

2 . 如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若，求cos∠DAB．

3 . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)若BE=8，sinB=，求AD的长，
   

4 . 如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.

5 . 如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．

6 . 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE的值．

7 . 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，
①求证：PC²＝PF•PA
②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

8 . 已知：如图1，AB是⊙O的直径，DB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，连接OD，AC∥OD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AB²＝2AC•OD；
（3）如图2，AB＝，tan∠ABC＝，连接AD交⊙O于点E，连接BC交OD于点F，求EF的长．

9 . 如图，的对角线交于点E，以为直径的经过点E，与交于点F,G是延长线上一点，连接，交于点H，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

1 . 如图，以线段为直径的交边于点D，连接，作平分线交于点F，交于点E，连接，作于点G，连接，．

（1）求证：为切线；
（2）求证：；
（3）若，的面积为S，求的面积（用S的代数式表示）．

2 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．

（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．

3 . 已知AB⊥DE于A，C，O是AB上一点，且AC＝CO＝OB＝2，以O为圆心作扇形BOF，F到直线AB的距离为．

（1）求扇形BOF的面积：
（2）将直线DE绕A点旋转得到直线D'E'；
①当直线D'E'与扇形BOF相切时，求旋转角的大小；
②设直线D'E'与扇形BOF的弧相交于M、N，若AM＝MN，求MN的长．

4 . 如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝8．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．

5 . 如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点作的平行线交于点．

（1）求证：；
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求弦的长．

6 . 已知为⊙O直径，、为上两点，连接交于点，点为延长线上一点，且，
（1）求证：为⊙O切线
（2）若，且，求的值

7 . 如图，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC=8，AC=12时，求⊙O的半径和线段BG的长．

8 . 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C与AB相切于点D，延长AC到点E，使CE＝AC，连接EB．过点E作BE的垂线，交⊙C于点P、Q，交BA的延长线于点F．

（1）求AD的长；
（2）求证：EB与⊙C相切；
（3）求线段PQ的长．

9 . 如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且BE＝DE．
（1）证明：BE为⊙O的切线；
（2）若AM＝8，AB＝8，求BE的长．

10 . 如图，为的直径，过点作的直线交的延长线于．连接，，．且．

   

（1）求证：是的切线；
（2）若，若，求圆的半径长．

1 . 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC²=CD•CA，弦ED=弦BD，BE交AC于F.
   
(1)求证：BC为⊙O切线；
(2)判断△BCF的形状并说明理由；
(3)已知BC=15，CD=9，求tan∠ADE的值.

2 . 如图，AB是的直径，点C，D在上，且BD平分∠ABC．过点D作BC的垂线，与BC的延长线相交于点E，与BA的延长线相交于点F．

   

（1）求证：EF与相切：
（2）若AB=3，BD=，求CE的长．

3 . 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）过点B作的切线交的延长线于，如果连接，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好落在上，连接，请直接写出四边形的形状．

4 . 如图，点是⊙O直径延长线上一点，点在⊙O上，且，

（1）判断是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙O的直径长

5 . 如图，⊙O为的外接圆，AB=AC，过点B作AC的垂线，分别交AC于点E，交⊙O于点D，点F在BD的延长线上，且EF=EB，连接AF、CF．

   

（1）求证：∠BAC=2∠DAC；
（2）求证：FC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，BC＝4，求⊙O的直径．

6 . 如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点D，E，F，且．是的外接圆，的平分线交于点G，交于点H，连接、．

（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．

7 . 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，∠AOB的平分线交AB于点D，连结CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=2BD，CD=2，求、线段AB及线段AC围成的阴影部分的面积．

8 . 如图，在R△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=BE时，求证：△ABC≌△EBF．
（3）在（2）的条件下，且AB=1，求⊙O的面积．

9 . 如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若DF＝，求DE的长．

10 . 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM＝45°，求DM和FG的长．

1 . 如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．

2 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长；
（3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值．

3 . 如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆与轴相切；
（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为，求的值．（或者求的值）

4 . 如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；
（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点的圆的圆心恰好在轴上，⊙与里面相交于另一点．
（1）求证：是⊙的切线 ；
（2）若点的坐标分别为，求⊙的半径及线段的长；
（3）试探究线段三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
   

6 . 如图1，四边形内接于，，为的直径，与交于点，且．

   

（1）求证：；
（2）如图2，绕点逆时针旋转得到，点A经过的路径为弧，若，求图中阴影部分四边形的面积；
（3）连接，求证：为的切线．

7 . 如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

8 . 定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为＝．

（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有　 　．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式为　 　．

9 . 如图，为的直径，，，连接并延长，分别交于点、，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为1，求的值．

10 . 如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆上，点D在圆外，DE⊥AB于点E交AC于点F，且DF＝CD
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点F是AC的中点，DF＝2EF＝2，求⊙O半径．

1 . 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.

（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长.

2 . 如图，四边形内接于为直径， ．
过点作于点交的延长线于点，连接交于点．
求证： 是的切线；
若点为的中点，求证：
若，求的长．
   

3 . 如图，中，． 以点为圆心，为半径作恰好经过点．

是否为的切线？请证明你的结论．
为割线，． 当时，求的长．

4 . 如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为___．

5 . 如图，在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点.

（1）求证：是的切线.
（2）分别延长，，相交于点，若，的半径为10，求阴影部分的面积.

6 . 如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过，两点的交于点，连接，作的平分线交于点，连接．
   
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．

7 . 如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．

8 . 如图，点、、、是上的四个点，是的直径，，过点的直线与的延长线、的延长线分别相交于点、，且．
   
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．

9 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：CF＝EF；
（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径．

10 . 如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径做圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．

（1）求证：DE为半圆O的切线；
（2）求的值．

1 . 如图，已知为的直径，为延长线上的动点，过点作的切线，为切点， 为上的动点，连接交于点．
（1）当平分时，求证：；
（2）当是的中点时，求证：；
（3）当，且的周长被平分时，设，试求的值．

2 . 如图，⊙过的顶点、，交于，连接、、，．

（1）证明：为⊙的切线；
（2）平分交于，且分别交、⊙于、．已知，，求的值．

3 . 如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接DE，OE．

（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；
②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．

4 . 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD于E，∠ABC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点D，交CD于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OB∥AD，DF＝6，ME＝，求OB的长度及阴影部分的面积．（结果保留π）

5 . 已知 AB 是⊙ 𝑂的直径，点 D 是弧 AB 上一点，AD 的延长线交⊙ 𝑂的切线 BM于点 C，点 E 为 BC 的中点；

（1） 求证：DE 是⊙ 𝑂的切线；
（2）如图2，若 DC=4，延长 OD 交切线 BM 于点 H，求 DH 的值；
（3）如图 3，若 AB=8，点 F 是弧 AB 的中点，当点 D 在弧 AB 上运动时，过 F 作 FG⊥AD于 G，连接 BG，求 BG 的最小值．

6 . 如图，点在上，，直线与交于点D，交于H，点F为上一点，交于点G，，且，设的半径为R．

(1)若，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若点F在经过三点的圆上，是否存在常数m，使得成立？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

7 . 如图，在中，，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆．
   
（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：与直线相切；
（3）在（2）的条件下，若与直线相切的切点为，与相交于点，连接，；其中，，求的长．

8 . 如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延长线上，且，延长交的切线于点，过点作于点，交于点．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长度．

9 . 如图，是的直径，C、G是上两点，且，过点C的直线于点D，交的延长线于点E，连接，交于点F．

（1）求证：是的切线．
（2）若，求的度数．
（3）连接，在（2）的条件下，若，求的长．

10 . 如图，四边形中，.以为圆心，以为半径作．

求证：是的切线．
连接并延长交于点延长交于点，与的延长线交于点
①补全图形；
②若，求证：．

1 . 如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．

（1）如果，求点运动的时间；
（2）如果点B是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线BP与的位置关系，并说明理由．

2 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB＝AC．延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE．
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若AB//CD，求证：AE是⊙O的切线．

3 . 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）直接写出OC=___________；
（2）如图1，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图2，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问当PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

4 . 如图，是的直径，交于点，是的中点，与交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，
①求的长；
②求的长．

5 . 如图，在中，，以为直径作⊙，在⊙上一点，．

（1）求证：是⊙的切线；
（2）过作分别与、和⊙交于点、、，若，．
①求⊙的半径长；
②直接写出的长．

6 . 如图，在直角坐标系中，抛物线与y轴交于点D（0，3）．

（1）直接写出c的值；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；
（3）已知点P是直线BC上一个动点，
①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连结BE．设点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为r的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7 . 已知，是的直径，点在上，点是延长线上一点，连接．
（1）如图1，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的长．
（2）如图2，若点是弧的中点，交于点，，求的值．

       

8 . 如图，在等腰中，，B是边AD上一点，以AB为直径的经过点P，C是上一动点，连接AC，PC，PC交AB于点E，且．

（1）求证：PD是的切线；
（2）连接OP，PB，BC，OC，若的直径是4，则：
①当四边形APBC是矩形时，求DE的长；
②当______时，四边形OPBC是菱形．

9 . 如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线 BM 交 AE 于点 M，点 O在 AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 M，交 BC 于点G，交 AB 于点 F．

（1）求证：AE 为⊙O 的切线．
（2）当 BC=8，AC=12 时，求⊙O 的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段 BG 的长．

10 . 如图，中，以为直径作，交于点点是延长线上的一点，且．

判断与的位置关系，并说明理由；
若，求的长．

1 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为__．

2 . 如图，是上的两个定点，为优弧上的动点，过点作交射线于点，过点作，点在上，且．
（1）求证：与相切；
（2）已知：
①若，求的长；
②当两点间的距离最短时，判断四点所组成的四边形的形状，并说明理由．

3 . 四边形ABCD内接于⊙O，点P为AD、BC延长线的交点，∠ADC＝90°＋∠P．
（1）求证：∠A＝∠B．
（2）如图2，点M为的中点，在线段AP上确定一点N，使M、N、A三点为顶点的三角形与△AMC相似而不全等，并判断在此情况下MN与⊙O的位置关系，证明你的结论．　

4 . 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，

(1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
(2)若AD、AB的长是方程x²－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．