证明切线的方法 - 初中数学 - 适中

1 . 如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．

       

(1)求证：是的切线；
(2)求的半径．
(3)连接，求的长．

2 . 如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．

3 . 如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D．

(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．

4 . 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

5 . 如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．


（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．

6 . 如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，点在上， 满足．

（1）求证：是的切线；
（2）若，， 求线段的长．

7 . 如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH，   CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
（3）若tan∠ACP=，求⊙O半径．

8 . 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．

   

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．

9 . 为等腰三角形，O为底边的中点，腰与相切于点D．求证：是的切线．

10 . 如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．

1 . 如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．

（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．

2 . 如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

（1）求证：DP是⨀的切线；
（2）若AC=5，,求AP的长．

3 . 如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．

   

（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

4 . 已知：如图，是的切线，为切点．
求作：的另一条切线，为切点．
作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；
作直线．
直线即为所求．

(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接，，．
∵是的切线，为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．

5 . 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，

   

(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．

6 . 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．

（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．

7 . 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
   

8 . 已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．

9 . 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值．

10 . 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．

1 . 如图，矩形中，，点E是上的动点，以为直径的与交于点F，过点F作于点G．

(1)当E是的中点时：的值为______；
(2)在（1）的条件下，证明：是的切线；
(3)试探究：能否与相切？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由，

2 . 如图，是圆的弦，是圆外一点，，交于点，交圆于点，且．

   

（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．

3 . 如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

4 . 如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求直径的长．

5 . 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

6 . 如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且．

（1）求证：直线BF是的切线；
（2）若，，求的半径．

7 . 如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．

8 . 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．

      

（1）求证：与相切；
（2）若，，求阴影部分的面积．

9 . 如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且．

   

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．

10 . 如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．

   

(1)当________时，的最大面积为________；
(2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线．

1 . 如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，．

(1)求证：是的切线；
(2)连接，若的半径长为5，，求的长．

2 . 已知：如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若的半径为3， ，求的长．

3 . 如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF=，求tan∠EAD的值．

4 . 如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．

6 . 如图，，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连结交于点F，且．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，求的长．

7 . 如图，是的直径．四边形内接于，对角线与交于点，在的延长线上取一点，使，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．

8 . 如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD//OC交于点D，连接CD．
（1）求证：CD是的切线．
（2）若，直径，求线段BC的长．

9 . 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．

   

10 . 如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求证：；
(3)在（2）的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．

1 . 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E．   

（1）证明：ED是⊙O的切线；       
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长．

2 . 如图，在中，，点D在BC上，，过点D作，垂足为E，经过A，B，D三点．

(1)求证：是的直径；
(2)判断与的位置关系，并加以证明；
(3)若的半径为6，，求的长．

3 . 如图，为的直径，为延长线上一点，与相切与点，，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．

4 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．

   

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．

6 . 如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．

7 . 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

8 . 如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC

（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）求证：△ABC∽△DOA；
（3）若BC=2，CE=，求AD的长．

9 . 如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的值．

10 . 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE²=DF•DA．

1 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．

2 . 如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

   

(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的长．

3 . 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝60°，⊙O的半径为3，求线段CD的长．

4 . 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF＝∠BAC．
   
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若FC＝2，BF＝6，求CE的长．

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作半圆O交AB于点D，E为AC的中点，连接DE，DC．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE=6，求CD的长．

6 . 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD//OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DE＝，⊙O的半径为2，求线段EA的长．

7 . 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．

8 . 如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．

（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．

9 . 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，中，，点O在线段上，且，以O为圆心．为半径的⊙O交线段于点D，交线段的延长线于点E．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）研究过短中，小明同学发现，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

10 . 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．

1 . 如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，射线AE交CD于点F，交BC的延长线于点G，过点C，F，G画圆，连接CE．求证：CE是圆的切线．

2 . 如图，四边形OABC中，．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作☉O
(1)求证：BC是☉O的切线:
(2)连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若．
①补全图形；
②求证：OF=OB．

3 . 已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
   
（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．

4 . 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE²=EF·AC；
（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的长．

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．

6 . 在中，，以为直径的圆交于，交于.过点的切线交的延长线于．求证：是的切线．

7 . 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若PB＝3，tan∠PDB＝，求⊙O的半径．

8 . 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：CD²＝CG•CA；
（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．

9 . 如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

10 . 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．

1 . 如图，AB是⊙O的直径，于点B，连接OC交⊙O于点E，弦，弦于点G．

（1）求证：点E是弧BD的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若，⊙O的半径为5，求弦DF的长．

2 . 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E．

（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．

3 . 如图，是的直径，是的弦，，与的延长线交于点，线段的垂直平分线交于点，连接．

（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．

4 . 如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求的长．

5 . 如图，已知是等边三角形的外接圆，点在圆上，在的延长线上有一点,使,交于.

（1）求证：是的切线；
（2）求证：.

6 . 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．

7 . 如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF＝4，sin∠F＝，求⊙O的半径．

8 . 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．

（1）求证：AD∥OE；
（2）填空：连接OC、CF，
①当DB＝　 　时，四边形OCEB是正方形；
②当DB＝　 　时，四边形OACF是菱形．

9 . 已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝，⊙O经过B，C，D三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线．

10 . 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC=PF；
（3）若AC=8，tan∠ABC=，求线段BE的长．

1 . 如图，已知为的直径，为的切线，过点的弦交于点，垂足为．

（1）求证：是的切线；
（2）当，且时，求图中阴影部分的面积．

2 . 如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交CB于D，E为AB延长上一点，∠C+∠BDE＝90°．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

3 . 如图，在⊙O 中，点D在直径AB的延长线上，点C、E在⊙O上，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE、BC交于点F．

(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若BD＝1，CD＝，求线段EF的长．

4 . 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．

5 . 如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 交 CA 的延长线于点 E，垂足为点 F．

（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径 R＝3，tanC＝ ，求 EF 的长．

6 . 已知，如图， AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

7 . 如图，中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接．

（1）求证：直线DE为的切线；
（2）若的半径为1，，求图中阴影部分的面积．（参考数据：，，）

8 . 如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B=，⊙O的半径是4，求EC的长．

9 . 如图，AB是⊙O的直径， OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交⊙O于点D，且∠CBE=2∠C．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若DF=9，tanC=，求直径AB的长．

10 . 如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为　 　．

1 . 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）已知AG＝2，填空：
①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝　 　°；
②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝　 　．

2 . 如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

3 . 如图，AB为⊙O的直径，在AB的延长线上，C为⊙O上点，AD⊥CE交EC的延长线于点D，若AC平分∠DAB．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）当BE＝2，CE＝4时，求AC的长．

4 . 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．求证：AE与⊙O相切．

5 . 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

⑴求证：BE是⊙O的切线；
⑵若BC=，AC=5，求圆的直径AD的长．

6 . 如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；

8 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，OE＝5，求AC的长．

9 . 如图，在中，，是∠ABC的平分线，点在上，以点为圆心，经过点的圆与交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若四边形是菱形，时，求的半径．

10 . 如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 AP=AC．

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若，，求⊙O的半径

1 . 如图，在等腰中，以为直径作⊙O交于，过点作，过点作于．

（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求⊙O的直径．

2 . 如图，内接于，为直径，点在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，当，的半径为，则的长为__________．

3 . 如图，在矩形中，点O在对角线上，以O为圆心，为半径的与，分别交于点E，F，且．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．

4 . 如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于点，是边的中点，连接．
（1）求证：是半圆的切线．
（2）若，，求直角边的长．

5 . 在RtABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连接DE，EF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，OC＝3；
①求AEC的面积；
②求EF的长．

6 . 如图，在中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且，垂足为点E．过点C作交AD的延长线于点F，连接BF，交⊙O于点G，连接DG．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：四边形ABFC为菱形；
（3）若OA=5，FG=4，求线段DG的长．

7 . AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．

8 . 如图，AB是⊙O的直径，是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，，BA、CD的延长线相交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线
（2）若⊙O的半径为4，ED=3AE，求AE的长．

9 . 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AD＝4，BD＝6，则⊙O的半径＝         ；
(3)若PC＝2PF，BF＝a，求CP(用a的代数式表示)．

10 . 如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接， ，使得，
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长.

   

1 . 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sinB＝，求线段FA的长．

2 . 如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．
（1）求证：OE＝AC；
（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

3 . 如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径的长度．

4 . 如图，AB 是⊙O的直径，∠DAB的角平分线AC交⊙O于点C，过点C作CD⊥AD于D，AB的延长线与DC的延长线相交于点P，∠ACB的角平分线CE交AB于点F、交⊙O于E．

（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．

5 . 如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

6 . 如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的值．

7 . 如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，当点与点重合时停止．连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，．
（1）______；
（2）如图，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；
   
（3）如图，当时，求的长；
   
（4）如图，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，直接写出直线与的位置关系．
   

8 . 如图，内接于，是的直径，与交于点，点是延长线上的一点，，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，点等分半圆，求的长．

9 . 如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求cos∠ADF的值．

10 . 如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．

1 . 如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD为等腰直角三角形；
（2）如图2，ED绕点D顺时针旋转90°，得到DE′，连接BE′，证明：BE′为⊙O的切线；
（3）如图3，点F为弧BD的中点，连接AF，交BD于点G，若DF＝1，求AG的长．

2 . 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝18，求的长．

3 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．

4 . 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点．与交于点，点为的延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：．

5 . 如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．

6 . 如图，在△ABC中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．

（1）求证：为⊙O的切线；
（2）当，时，求⊙O的半径．

7 . 如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．
（1）求证：EF为⊙P的切线；
（2）求⊙P的半径．

8 . 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．

9 . 如图，中，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）的半径为，，求的长．

10 . 如图，为的直径，为下方半圆上(不与点重合)的一个动点，过点作交的延长线于点点为的中点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点连接．填空：
①                时，四边形为菱形；
②当                时，四边形为正方形．

1 . 如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

2 . 如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6.点C是⊙O上的一动点，连接AC，BC，在AC的延长线上取一点D，使得∠CBD＝∠DAB，点G为DB的中点，点E为BG的中点，连接AE交BC于点F.

(1)试判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)当∠CGB＝60°时，求的长；
(3)当AE∥CG时，连接GF，若AF＝4，求BD的长．

3 . 如图，在中，，是∠BAC的平分线，经过、两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、.

（1）判断直线与的位置关系并证明；
（2）若的半径为2，，求的长度.

4 . 如图，在中，为直径，点、都在上，且平分，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的直径．

5 . 如图，已知是的直径，是的切线，切点为，平行于弦，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的值；
（3）若，求的长．

6 . 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

试求：（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=3，求⊙O的直径．

7 . 如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB∶PC=1∶．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明．

8 . 如下图所示，在直角坐标系中，以为圆心的与轴相交于两点，与轴相交于两点，连接．

（1）上有一点，使得．求证；
（2）在（1）的结论下，延长到点，连接，若，请证明与相切；
（3）如果，的半径为2，求（2）中直线的解析式．

9 . 如图，已知AB是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，BC是∠ABE的平分线且交⊙O于点C，连接AC，CE，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D．
（1）∠DCE　 　∠CBE；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）求证：DC是⊙O的切线；
（3）若⊙O的直径为10，sin∠BAC＝，求BE的长．

10 . （2016广西柳州市）如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
（1）求证：△PAE∽△PEC；
（2）求证：PE为⊙O的切线；
（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．

1 . 如图①，已知点是以为直径的圆上一点，直线与过点的切线相交于点，是的中点，连接．

（1）求证：是圆的切线；
（2）如图②，，垂足为，若的半径为3，，求的长；
（3）如图③，连接交于点，求证：点是的中点．

2 . 如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC，CD于点E，F，且，连接BF．
（1）求证CD为⊙O的切线；
（2）当CF=1且∠D=30°时，求⊙O的半径．

   

3 . 如图，为上一点，点在直径的延长线上，

   

求证：是的切线；
过点作的切线交的延长线于点．若依题意补全图形并求的长

4 . 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．

5 . 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
   
（1）求证：①是的切线；②；
（2）若点是劣弧的中点，且，请直接写出阴影部分的面积为_____．

6 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在BC上，以OB为半径的⊙O经过点A，交BC于点D，连接AD，AD＝CD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）延长AD到点F，连接BF，交⊙O于点E，连接DE，若AF＝4，BF＝5，求⊙O的半径．

7 . 如图，菱形ABCD，AB＝4，以AB为直径作，交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F．
（1）求证：EF是的切线；
（2）连接OF，若∠BAD＝60°，求OF的长．

8 . 已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．

（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线
（3）若⊙O直径为18，，求DE的长

9 . 如图，在中，，是外接圆，点是圆上一点，点，分别在两侧，且，连接，延长到点，使．

（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为1，当是直角三角形时，求的面积．

10 . 如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长．

1 . 如图1，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．
   
（1）求证：AI是⊙O的切线；
（2）如图2，连接CI交AB于点E，交⊙O于点F，若tan∠IBC＝，求．

2 . 如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．
（1）作∠ABC的角平分线交AC于点P，以点P为圆心，PA长为半径作⊙P，则⊙P与BC的位置关系是　         　．
（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P的面积．

3 . 如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接．
（1）求证：直线是的切线．
（2）若，，求的值．

   

4 . 如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为点平分．

（1）是的切线吗？请说明理由；
（2）若求的长．

5 . 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．   

（1）求证：AC与⊙O相切；       
（2）已知AB=5，BC=6，求⊙O的半径．

6 . 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于M，N两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线，垂足为E，交大圆于F，H两点．

（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若FC，CH是方程的两根，求图中阴影部分图形的周长．

7 . 如图所示，是的内心，过点作，与，分别交于点，.
求证：

8 . 如图，是⊙的直径，是⊙的弦，点是⊙外一点，连接．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）连接，交于点，若，且，⊙的半径为，求的长．

9 . 如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.
求证：AP是⊙O的切线.

10 . 如图，的点，在上，与相交于点，连接，，，．

（1）求圆心到弦的距离；
（2）若．
①求证：是的切线；
②求的长．

1 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积．

2 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于G，PE＝PF
（1）求证：直线PG为⊙O的切线；
（2）求证：GA＝GE；
（3）判断OG与BE的位置关系，并说明理由．

3 . 如图，四边形内接于⊙，且．延长至点，使，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，求证：是⊙的切线．

4 . 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC＝∠ODB．

   

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB＝10，BC＝8时，求△DFB的面积．

5 . 已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．

6 . 如图，是的直径，，点是上方圆上的一个动点，连接，作的平分线，交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当_______时，四边形是平行四边形；
（3）连接交于点，连接，当 _______时，与相似．

7 . 如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

8 . 如图所示，已知四边形OABC是菱形，，点M是OA的中点，以点O为圆心，R为半径作分别交OA，OC于点D，E，连结BM，若R=，BM=.
求证：直线BC为的切线.

9 . 如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=6，AC=8，求sinE的值．

10 . 如图，是⊙的直径，是⊙的弦，，与的延长线交于点，点在上，．
（1）求证：是⊙的切线．
（2）若，，，求⊙的半径．
   

1 . 如图，是等边的外接圆，连接并延长至点，且．
   
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号）

2 . 如图，在三角形中，，，以为直径作交于点，交于点，直线于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求的值．

3 . 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝∠DCA，AD∥BC，连结OD，AC，且OD与AC相交于点E．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为4，且＝，求tan∠DCA的值．

4 . 平行四边形ABCD的对角线相交于点M，ΔABM的外接圆圆心O恰好落在AD边上，若∠BCD=45°．

（1）求证：BC为⊙O切线；
（2）求∠ADB的度数．

5 . 如图，在中，，以为直径作交于，AC于．

（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的面积．

6 . 已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，经过E作EF⊥CE交CB的延长线于F．

⑴求证：BC是⊙P的切线；
⑵若CD=2，CB=，求EF的长；
⑶若设k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．
（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为4．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．

8 . 如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.
（1）求证：是半圆的切线；
（2） 若，，求的长.

9 . 如图所示，P是的弦CB延长线上的一点，点A在上，且∠BAP=∠C.
求证：PA为的切线.

10 . 已知：如图， AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连接OD , 作BE∥OD交⊙O于点E, 连接DE并延长交BN于点C．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．

1 . 如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,_∠PAC=_∠PDA.

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长.

2 . 如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

3 . 如图，在中，弦、相交于点M，C是的中点．
（1）若，，求的长．
（2）延长到点N，使，试判断与的位置关系，并说明理由．

4 . 如图，是的直径，射线，点在上，连接交于点，过点作交于点 (不重合)，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若的直径等于2，填空：
①当________时，四边形是正方形；
②当________时，四边形是菱形．

5 . 如图，A，B，C是上的三点，弦，点D在圆外，连接交于点E，．

（1）求证：是的切线．
（2）若，点I在上，且I为的内心，延长交于点F，求的长．