中点四边形 - 初中数学 - 困难

1 . 对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形．

(1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
(2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形．
(3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N．
①若，，，求的长；
②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值．

2 . 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（     ）
①；
②；
③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；
④．

A．1

B．2

C．3

D．4

3 . 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，我们约定：
如果原四边形的中点四边形是个矩形，我们把这个原四边形叫做“博学四边形”．
如果原四边形的中点四边形是个菱形，我们把这个原四边形叫做“博思四边形”．
如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“博闻四边形”．
请你根据该约定，解答下列问题：

(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”．）
①平行四边形一定不是“博学四边形”；（     ）
②对角线相等的四边形是“博思四边形”；（     ）
③正方形一定是“博闻四边形”．（     ）
(2)如图2，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
①试说明：四边形是“博闻四边形”；
②若，，，求的长；
(3)如图3，已知四边形是“博闻四边形”，，分别是，的中点，当的最小值是2时，求的长度．

4 . 如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为______．

   

5 . 如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形．
（2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点．
①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积．
②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由．

6 . 如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为_______．