十字架模型 - 初中数学 - 困难

1 . 数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．

(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．

2 . 如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．

   

(1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是       
(2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．

思路一	思路二
如图，在边上取一点M使……	如图，在的延长线上取一点N，使，……

(3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值；

3 . 对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形．

(1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
(2)如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形．
(3)如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N．
①若，，，求的长；
②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值．

4 . 【问题探究】
（1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接．
①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”）

②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：；

【问题解决】
（2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离．

5 . 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．

(1)操作判断
如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系．
(2)迁移探究
如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长．
(3)拓展应用
如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：．

6 . 如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______．

   

7 . 如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（       ）

A．

B．25

C．20

D．15

9 . 如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．
（1）当AG=1时，求EG的长；
（2）当AG的值等于          时，BE=8－2DF；
（3）过G点作GM⊥EG交CD于M
   ①求证：GB平分∠AGM；
   ②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．

10 . 如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为_________cm．

1 . 如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论：

①；
②若M为中点，则P一定是中点；
③；
④若平分，则平分．
其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．

2 . 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），点落在点处，折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，的周长为，则的值为_____．