对角互补模型 - 初中数学

题目 1

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来源：2018·河南濮阳·一模

题干

1 . 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=

∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=

∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.

题目 2

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来源：19-20八年级上·湖南邵阳·期中

题干

2 . 回答问题：

(1)【初步探索】如图1：在四边形

中，

，E、F分别是

上的点，且

，探究图中

之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长

到点G，使

．连接

，先证明

，再证明

，可得出结论，他的结论应是；
(2)【灵活运用】如图2，若在四边形

中，

．E、F分别是

上的点，且

，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形

中，

，若点E在

的延长线上，点F在

的延长线上，如图3所示，仍然满足

，请写出

与

的数量关系，并给出证明过程．

题目 3

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来源：23-24八年级上·广西南宁·阶段检测

题干

3 . 如图，

为等边三角形，以

为边向外作

，使

，再以点C为旋转中心把

旋转到

，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②

平分

；③

；④

．其中正确的有（）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题目 4

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来源：18-19八年级上·湖北武汉·阶段检测

题干

4 . 如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4

，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

题目 5

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题干

5 . 已知：

，求证：

．

题目 6

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题干

6 . 已知

，求证：

，

．

题目 7

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来源：2019九年级·全国·专题练习

题干

7 . 如图所示，

为等边三角形，边长为4，点

为

的中点，

，其两边分别交

和

的延长线于

，求

的值．

题目 8

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来源：19-20七年级下·重庆南岸·期末

题干

8 . 在

内有一点D，过点D分别作

，垂足分别为B，C．且

，点E，F分别在边

和

上．

(1)如图1，若

，请说明

；
(2)如图2，若

，猜想

具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

题目 9

第 1 页

来源：2018·广东深圳·一模

题干

9 . Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=

BC，②

，③

AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【】

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题目 10

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来源：18-19七年级下·全国·课后作业

题干

10 . 五边形ABCDE中，

，

，求证：AD平分∠CDE．

题目 11

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来源：2020九年级·全国·专题练习

题干

1 . 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE＋AD＝

CH．

题目 12

第 2 页

来源：17-18九年级上·重庆开州·期末

题干

2 . 如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．

题目 13

第 2 页

来源：20-21八年级下·福建三明·期中

题干

3 . 感知：如图①，

平分

，

．判断

与

的大小关系并证明．

探究：如图②，

平分

，

与

的大小关系变吗？请说明理由．
应用：如图③，四边形

中，

，

，则

与

差是多少（用含

的代数式表示）

题目 14

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来源：18-19八年级·上海·单元测试

题干

4 . 探究问题：
(1)方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵   ∠EAF＝45°∴   ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵   ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AE
∴   △GAF≌△________．
∴   _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝

∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．