正方形与45°角的基本图 - 初中数学 - 困难

1 . 【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．

【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．

2 . 【问题探究】
（1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接．
①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”）

②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：；

【问题解决】
（2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离．

3 . 如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．

         

(1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．
(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．
(3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长．

5 . 如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（     ）

A．1.6

B．2

C．2.4

D．3

6 . 在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；
(2)求证：；
(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．

7 . 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S_△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

8 . 综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．

（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．

9 . 如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．

   

A．①②③④

B．①②

C．③④

D．①②④

10 . 已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．

（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．

1 . 将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．

(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．

2 . 已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．
(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN
(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系              
(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．

3 . 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC
（1）求证：AG＝GH；
（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

4 . 如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

5 . 如图．在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接．

（1）求证；
（2）求的值；
（3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明．

6 . 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．

7 . 如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S_△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．③④①

D．①②④

8 . 将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立，

(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE＝EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值．

9 . 如图，正方形的边长为，点P从点A出发，以每秒的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连接，过点P作的垂线，与过点Q平行于的直线l相交于点D，与y轴交于点E，连接，设点P运动的时间为t（秒）

（1）的度数为     
（2）点D的运动总路径长为______：
（3）探索线段、、的数量关系，并说明理由；
（4）当为等腰三角形时，求t的值．

10 . 如图，正方形的边长为1，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：①；②平分；③；④的面积的最大值是；其中正确的结论是______．

1 . 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有（   ）

A．①②③

B．①②③⑤

C．①②④⑤

D．①②③④⑤

2 . 如图，正方形的对角线与相交于点，将绕点顺时针旋转，设旋转角为（），角的两边分别与，交于点，，连接，，，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将ADE沿AE翻折至AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝BF时，＝_____．

4 . 已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，将∠EAF绕顶点A旋转，角的两边始终与直线CD交于点E，与直线BC交于点F，连接EF．

（1）如图①，当BF＝DE时，求证：△ABF≌△ADE；
（2）若∠EAF旋转到如图②的位置时，求证：∠AFB＝∠AFE；
（3）若BC＝4，当边AE经过线段BC的中点时，在AF的右侧作以AF为腰的等腰直角三角形AFP，直接写出点P到直线AB的距离．

5 . 已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N．则下列结论：①；②；③；④正确的有（       ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

6 . 如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），，下列四个结论：①当MN＝MC时，则；②2；③△MNC的周长不变；④∠AMN－∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是________．

   

7 . 已知一次函数，
（1）无论k为何值，函数图像必过定点，求该点的坐标；
（2）如图1，当k=-时，该直线交x轴，y轴于A，B两点，直线l₂:y=x+1交AB于点P，点Q是l₂上一点，若SABQ6，求Q点的坐标；
（3）如图2，在第2问的条件下，已知D点在该直线上，横坐标为1，C点在x轴负半轴，ABC=45，动点M的坐标为（a，a），求CM+MD的最小值．

8 . 如图，在直角梯形中，， E是上一点，且，则__________．

9 . 如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值．一定成立的是_____．

10 . 点为正方形中对角线上一点（点不与端点、重合），当为等腰三角形时，的度数为______．

1 . 已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）²=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．
（1）求A点坐标．
（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试探究﹣a﹣b的值是否为定值？如果是求此定值；如果不是，请说明理由．

2 . 已知正方形ABCD，点E，F分别是边AB，BC上的动点．

（1）如图1，点E，F分别是边AB，CD上的中点，证明DE＝DF；
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为1，△BEF的周长为2．
①试证明∠EDF＝45°；
②请你进一步探究图形的其它重要性质，并将如下A，B，C，D四个结论中，正确的代号直接填写在横线上（不必写出推理过程）：_________．
A．△DEF一定是等腰三角形．
B．EF＝AE+CF．
C．△DEF中，EF边上的高为定值．
D．△DEF的面积存在最小值．

3 . 如图正方形的边、在坐标轴上，已知点．将正方形绕点顺时针旋转一定的角度（小于），得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接、．

（1）求的度数．
（2）当时，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作，如图①所示．

（1）求证：是菱形；
（2）若，连接、、，如图②所示，求证：；
（3）若，，，是的中点，如图③所示，求的长．

5 . 如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至△EPC，延长CE交射线AD于点D．
（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；
（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；
（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．

6 . 如图，正方形ABCD中，边长为4，M、N在AB、AD上．
(1) 若∠MCN＝45°，则BM＋DN__________MN（填“＞”“＜”或“＝”）；
(2) 如图1，若∠NMC＝∠MCD，求△AMN的周长；
(3) 如图2，若M、N在AB、AD反向延长线上，在(2)的条件下，直接写出DN、MN、BM的数量关系                          ．

7 . 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．
（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；
②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．
（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设，，求 关于的函数关系及定义域．

8 . 如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．
（1）求证；
（2）如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点．求的度数；
（3）如图3，若该正方形边长为11，将正方形沿着直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作，垂足分别为，若，则______．

9 . 【问题情境】
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点，并绕点旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点，连结、．
【操作发现】
（1）如图1，若．则　 　°，　 　°．
【拓展应用】
（2）如图2，当直线在正方形的外部时
①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
②线段、、之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由．

10 . 在正方形和正方形中，，连接，H是的中点．

（1）如图1，若点B、D、F在同一直线上，求的长；
（2）在（1）条件下，连接．求线段和的数量关系和位置关系，并证明；
（3）如图2，正方形绕点D旋转，使得点H在线段的延长线上，连接，求的长度．

1 . 如图，在正方形中，．为对角线的延长线上一点，为线段的中点，，连接．已知，下列说法正确的是______．（将正确答案的序号填写下来）
①；②；③；④；⑤若点为线段上一动点，当时，．

2 . 如图，已知在中，，在内作第一个内接正方形，则第1个内接正方形的边长__________；然后取的中点，连接、，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为__________．

3 . 已知：四边形为正方形，是等腰，．
（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：．

（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接．

①试写出此时三线段、、的数量关系并加以证明．
②若，，求：正方形的边长以及中边上的高．

4 . 探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且．

（1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________．
（2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________．

（3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想．

5 . 如图，已知E、F是边长为1的正方形ABCD内部两点，且满足∠EAF＝∠ECF＝45°，若△AEF的面积为，则△BEC与△DFC的面积之和为________．

6 . 如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．

7 . 已知如图1,四边形是正方形， ．
如图1,若点分别在边上,延长线段至,使得,若求的长；

如图2，若点分别在边延长线上时，求证：

如图3,如果四边形不是正方形，但满足且，请你直接写出的长．

8 . 已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．
（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．
（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．
   

9 . 已知，如图1，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接EF．
（1）求∠E的度数；
（2）将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角α满足0°＜α＜45°时，设EF与射线AB交于点G，与AC交于点H，如图所示，试判断线段FH、HG、GE的数量关系，并说明理由．
（3）若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE，并延长EB交直线DF于点P，连接PC，则点P的运动路径长为　；线段PC的取值范围为　　．

   

10 . 情景呈现：在正方形ABCD中，P为射线CB上的一个动点（不与点C重合），连结AP，作AP的垂直平分线交线段BD于点E，连结AE，PE．

（Ⅰ）提出问题：当点P运动时，∠APE的度数，线段CP与DE的数量关系是否发生改变？
（Ⅱ）探究问题：首先观察点P的两个特殊位置：
①当点P与点B重合时，如图1所示，∠APE＝　 　°，线段CP与DE之间的数量关系：　 　；
②当BP＝BC时，如图2所示，∠APE＝　 　°，线段CP与DE之间的数量关系：　 　；
（Ⅲ）猜想并证明：
①然后观察点P的一般位置：当点P在线段BC上时，结合图3，通过观察、测量、发现：上述结论 　 　；（填“成立”或“不成立”）
②当点P在射线CB上时，如图4，上述结论是否成立？若成立，请结合图4进行证明；若不成立，请说明理由．
（Ⅳ）解决问题：请用简洁的语言概括你发现的结论：在正方形ABCD中，P为射线CB上的一个动点（不与点C重合），连结AP，作AP的垂直平分线交线段BD于点E，连结AE，PE．当点P在射线CB运动时（不与点C重合），　 　．

1 . 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为____．

2 . 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC外一点，且∠APC=45°，过B作BE∥AC分别交PA、PC于点E、F，若BE=3EF=3，则AE=_____．

3 . 如图所示，在正方形中，为上一点，为上一点，，
求证：（1）；（2）；（3）.

4 . 问题背景：如图1，在正方形中，点分别在边上，，求证：．
洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．

证明：延长到点使，连接，
正方形，，
在和中，

迁移应用：如图2，在正方形中，交于点，若，，求的长．

联系拓展：如图3，在矩形中，点分别在边上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．

5 . 综合与探究
如图，点O是正方形ABCD的对角线AC的中点△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°，正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中点P始终在射线AC上，且保持PM⊥直线AB于点E，PN⊥直线BC于点F．

（1）如图①，当点P与点O重合时，求证：OE＝OF；
（2）如图②，当点P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系，并对你的猜想结果进行证明；
（3）如图③，当点P在AC的延长线上时，请直接写出OE与OF的数量关系与位置关系．

6 . 在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：①EF＝BE＋DF；②MN²＝BM²＋DN²；③FA平分∠DFE；④连接MF，则△AMF为等腰直角三角形；⑤∠AMN＝∠AFE． 其中一定成立的结论有（        ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

7 . 如图所示，正方形中，点，分别为，上一点，点为上一点，，关于直线对称.若的平分线交的延长线于，连结，求证：.

8 . 如图，为正方形边上任一点，于点，在 的延长线上取点，使，连接，，

(1)求证：；
(2)的平分线交于点，连接，求证：；