M型(含锯齿型) - 初中数学 - 困难

1 . 如图，直线，是一条折线段，平分．

(1)如图①，若，探究和的数量关系；
(2)平分，直线交于点F
①如图②，探究和的数量关系，并说明理由；
②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数．

2 . 问题情境：如图1，，，，求的度数．

(1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______．
问题迁移：
如图3，，点在射线上运动，，．
(2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．
(3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系．

3 . 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”．

(1)【概念理解】
若，则的“系数平衡角”是____；
(2)【初步认识】
在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数．
(3)【问题解决】
连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____．

4 . 如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；

(1)若∠E＝60°，则∠F＝        ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

5 . 如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

6 . 已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　        ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　        ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．

7 . 已知，，点在上，点在上，点为一动点．

(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）

8 . 请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：

小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；

(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．

9 . 如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）

A．②③

B．①④

C．①③④

D．①②③④

10 . 如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．

(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

1 . 已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）

2 . 如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．

（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．

3 . 问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

        

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为     ．

4 . 已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，．

(1)已知点P在直线的右侧．
①如图1，，与之间的数量关系为__________；
②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点P在直线的左侧，平分，平分．
①如图3，若，，求的度数；
②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系．

5 . 已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是　　；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是　　；
所以∠C＝（　　），
所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．

6 . 如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．
（1）证明：；
（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．

7 . 已知，平分交射线于点E，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数．

8 . 直线，是一条折线段，平分．

(1)如图1，若，求证：；
(2)平分，直线交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线之间时，若，直接写出的大小．

9 . 如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，．

(1)求的值：
(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值：
(3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是        

10 . 已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；

   

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

   

1 . 如图1，点、分别在直线、上，，.

（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．

2 . 已知．

(1)如图，求的大小，并说明理由．
(2)如图，与的角平分线相交于点．
若，，则_______．
试探究与的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数．

3 . 如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=          ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P₁E平分∠PEB，P₁F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P₁=                （用含x，y的式子表示）．若P₂E平分∠P₁EB，P₂F平分∠P₁FD，可得∠P₂；P₃E平分∠P₂EB，P₃F平分∠P₂FD，可得∠P₃…，依次平分下去，则∠P_n＝                   ．（用含x，y的式子表示）

4 . 已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．

（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）

5 . 如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．
（1）=      ；
（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．

6 . 如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”．

（1）如图1，形中，若，则______；
（2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．

7 . 已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．

8 . 如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则________，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为________．

9 . 在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解．

(1)求点，，的坐标．
(2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且．
①求证：；
②如图2，与的平分线交于点，求的度数；
(3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围．

10 . 如图①，已知AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，点P是两平行线之间的一点，设∠AEP=α，∠PFC=β，在图①中，过点E作射线EH交CD于点N，作射线FI，延长PF到G，使得PE、FG分别平分∠AEH、∠DFl，得到图②．
（1）在图①中，过点P作PM∥AB，当α=20°，β=50°时，∠EPM=　 　度，∠EPF=　 　度；
（2）在（1）的条件下，求图②中∠END与∠CFI的度数；
（3）在图②中，当FI∥EH时，请直接写出α与β的数量关系．

1 . 已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．

（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．

2 . 为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．

（1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由；
（2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．

3 . 同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图，若，点在、外部，我们过点作、的平行线，则有，则，，之间的数量关系为_________．将点移到、内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）迎“”科技节上，小兰制作了一个“飞旋镖”，在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，他很想知道、、、之间的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系：__________．
（3）设交于点，交于点，已知，，直接写出的度数为_______度，比大______度．

4 . 一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型．
通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题．
例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由．
过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到．

【初步感知】
(1)如图2，，则三者数量关系为______；
【学以致用】
(2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数；
【深入探究】
(3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案．

5 . 如图l，点在上，点在上，点在直线之间，连接 ．

（1）直接写出的度数为                 ；
（2）如图2，平分，交的延长线于点证明：

（3）如图3，点在的延长线上，点在上，点在内，连 ，则的值为                ．

6 . 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按照小明的思路，写出推算过程，求∠APC的度数．
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，B在Y轴的负半轴，过点B画MN∥x轴；C是Y轴上一点，连接AC，作CD⊥CA．
（1）如图（1），请直接写出∠CA0与∠CDB的数量关系．
（2）如图(2)，在题（1）的条件下，∠CAO的角平分线与∠CDB的角平分线相交于点P，求∠APD的度数．
（3）如图（2），在题（1）、（2）的条件下，∠CAX的角平分线与∠CDN的角平分线相交于点Q，请直接写出∠APD与∠AQD数量关系．
（4）如图（3），点C在Y轴的正半轴上运动时，∠CAO的角平分线所在的直线与∠CDB的角平分线相交于点P，∠APD的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由．

8 . （1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；
（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．