M型(含锯齿型) - 初中数学 - 适中

1 . 如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 如图，直线，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．
【提出问题】
图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？

【思考过程】
依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形．
【问题解决】
解：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
根据           （1）             ，
所以，
根据           （2）             ，
所以．
因为，
所以 （3） ，
所以 （4） ．
【迁移应用】
如图③是一款手推车的平面示意图，．
（1）若，，则________；
（2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

【拓展提高】
如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________．

4 . 图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______．

5 . （1）如图1，已知，，求证：
（2）如图2，已知，，，求证：

6 . 如图所示，已知，平分，平分，求证：

7 . 在图中，，与又有何关系？

8 . 已知．

（1）如图1，当时，则的度数为________；
（2）如图2，判断，，之间的数量关系为________；
（3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）．

9 . 如图，已知点是矩形内一点（不含边界），设，，若，则（       ）

A．	B．
C．	D．

10 . 如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．

   

1 . 如图，若，则，你能说明为什么吗？

2 . 在图中，若，又得到什么结论？

3 . 已知点是直线，所确定的平面内的一点．

(1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？
(2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系；
(3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数．

4 . （1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明.

5 . 如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　）

A．149°

B．149.5°

C．150°

D．150.5°

6 . 如图，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，则∠3=___度．

7 . 如图所示，.求证：

8 . 如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）

9 . 问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．

(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．

10 . （1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？

1 . 如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．

   

(1)若点P在图（1）位置时，求证：；
(2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明．

2 . （1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点作．
，，
．
__________．
，
__________．
__________．
即；
（2）拓展探究：
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：；
（3）解决问题：
如图③，，，，求的度数．

3 . 已知，与的角平分线相交于点F．

(1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)若，请直接写出与之间的数量关系．

4 . 阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．

(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．

5 . 综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

　　　 　　　 　　　

【问题迁移】
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．

6 . 已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．

(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．

7 . 已知直线， A是l₁上的一点，B是l₂上的一点，直线l₃和直线l₁，l₂交于C和D，直线上有一点P．

(1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

8 . 综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由．
【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：．
（3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数．

9 . 已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．

(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．

10 . 阅读材料：
如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.
小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.
请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：
保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.

1 . 如图，，平分，，，则__________．

2 . 如图，已知AB//CD，，，，则____度．
          

3 . 已知，连接A，C两点．

(1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度；
(2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数；
(3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）．

4 . 如图，，点E在直线AB，CD内部，且．
（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．

5 . 如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（       ）
（1）；（2）；（3）；（4）

   

A．个

B．个

C．个

D．个

6 . 如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．

7 . 请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

8 . 请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知//，则．

解：过点作直线//．
∴（     ）．（       ）
∵//，//，
∴（   ）//（     ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴（     ）．（       ）．
∴．
∴．
（2）如图②，如果//，则（ ）

9 . 探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．

发现：在图1中，；如图5

小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．

10 . （1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

1 . 如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（     ）

A．	B．
C．	D．

2 . 如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接
问题提出:
（1）请直接写出点的坐标          ，           ，及四边形的面积 ﹔
拓展延伸:
（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由.

迁移应用:
（3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

3 . 如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）

A．100°

B．60°

C．40°

D．20°

4 . 综合与实践
在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究．
如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，．

(1)【问题初探】若，， 则的度数为_____．
(2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）．
②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______．
(3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．

5 . 如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110°

B．∠α+∠β＝70°

C．∠β﹣∠α＝70°

D．∠α+∠β＝90°

6 . 如图，点A在x轴的负半轴上，点D在y轴的正半轴上，将三角形AOD沿x轴向右平移，平移后得到三角形BEC，点A的对应点是点B．已知点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(b，c)，且a，b，c满足．

(1)求点B的坐标;
(2)求证：∠DAE=∠BCD；
(3)点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DP、AP，在点P运动过程中，∠CDP、∠DPA、∠PAE之间是否存在永远不变的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并请证明；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（     ）

A．101°

B．103°

C．105°

D．107°

8 . 已知：如图1，，．       

   

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．

9 . 在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，，面积为10，点在第二象限，点P是射线CB上一动点，．

(1)求点B坐标；
(2)线段OC能否通过平移AB得到？试求点C坐标；
(3)、、之间有何关系？请说明理由．

10 . 如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（     ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°	B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°	D．∠α－∠β－∠γ＝180°[

1 . (1)问题发现：如图①，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，E 是 AB 与 AD 之间的一点，连接 BE，CE，可以发现∠𝐵 +∠𝐶= ∠𝐵𝐸𝐶．

请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点 E 作𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∵ 𝐴𝐵//𝐷𝐶(已知)，𝐸𝐹//𝐴𝐵(辅助线的作法)．
∴ 𝐸𝐹//𝐷𝐶( )．
∴ ∠𝐶 = ∠𝐶𝐸𝐹( )
∵ 𝐸𝐹//𝐴𝐵，∴ ∠𝐵 = ∠𝐵𝐸𝐹(同理)．
∴ ∠𝐵 + ∠𝐶 = (等量代换)
即∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠𝐵𝐸𝐶．
(2)拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠𝐵 + ∠𝐶 = 360°−∠𝐵𝐸𝐶，请说明理由．
(3)解决问题：如图③，𝐴𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=120°，∠𝐴𝐸𝐶=80°，请直接写出∠𝐴的度数．

2 . 如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．

3 . 已知射线平行于射线，点、分别在射线、上.

（1）如图1，若点在线段上，若，时，则_________.
（2）如图1，若点在线段上运动（不包含、两点），则、、之间的等量关系是_____________________.
（3）①如图2，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________；
②如图3，若点在线段的延长线上运动，则、、之间的等量关系是________________.
（4）请说明图2中所得结论的理由.

4 . 如图，已知，分别探究下面三个图形中和，的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．

结论：（1）______________________________________；
（2）___________________________________________；
（3）____________________________________________；
选择你喜欢的任意一个结论，进行说理证明．

5 . 已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG.
(1) 如图1，AB∥CD，求证：∠AEF＋∠FGC＝∠EFG；
(2) 若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD 如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由.

6 . 如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：

（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q₁，∠BEQ₁与∠DFQ₁的角平分线交于点Q₂，∠BEQ₂与∠DFQ₂的角平分线交于点Q₃；…以此类推，则∠EPF与∠EQ₂₀₂₁F满足怎样的数量关系？

7 . 如图，已知．

（1）求的度数；
（2）若平分，与的延长线交于点，且，求的度数．

8 . 如图，AB//CD，则______

9 . 问题探究：
如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．

解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

10 . 如图，已知，平分，平分，．

（1）求的度数；
（2）若，试求的度数．

1 . 直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．

（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．

2 . （1）已知：如图1，直线AC∥BD，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以证明；
（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是           （只写结果，不要证明）．

3 . 如图所示，，是两直线内部一点.
（1）与的平分线交于点，探究和之间的数量关系.
（2）如图所示，，，与之间又有何数量关系？
（3）若，，与之间又有又有何数量关系？

4 . 如图，已知平面内有两条直线、，且，为一动点.
（l）当点移动到、之间时，如图，这时与、有怎样的关系？证明你的结论.

（2）当点移动到的外侧时，如图，是否仍有（l）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）.

（3）当点移动到如图的位置时，与、又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种

5 . 如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，．

(1)如图①，如果，，求的度数；
(2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由；
(3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论．