笔尖型 - 初中数学 - 困难

1 . 已知直线，P为平面内一点，连接．

(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，判断之间的数量关系为 　　．
(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．

2 . 如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”．

(1)【概念理解】
若，则的“系数平衡角”是____；
(2)【初步认识】
在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数．
(3)【问题解决】
连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____．

4 . 已知，，为，上的点，是，之间的点．

(1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由．
(2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2．
①若，则求的大小．
②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由．

5 . 如图，已知AB∥CD．

（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　．

6 . 如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）

A．②③

B．①④

C．①③④

D．①②③④

7 . 如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；

   

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）．

8 . 问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

        

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为     ．

9 . 已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．

（1）如图①，求证：．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作，因为，
所以__________（          ）
所以，（        ）
所以．
（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．
求证：；
（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．

10 . 已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．

（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）

1 . AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．

2 . 如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．

（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　                　．

3 . 一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型．
通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题．
例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由．
过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到．

【初步感知】
(1)如图2，，则三者数量关系为______；
【学以致用】
(2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数；
【深入探究】
(3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案．

4 . 如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．