笔尖型 - 初中数学 - 适中

1 . 【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为         ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则         °．

2 . 如图，，，则的度数是_____．

3 . 已知．

（1）如图1，当时，则的度数为________；
（2）如图2，判断，，之间的数量关系为________；
（3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）．

4 . 下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（       ）

   

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5 . 如图所示，l₁∥l₂，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为(　　)

A．55°

B．60°

C．65°

D．70°

6 . 如图，两直线、平行，则（       ）．

   

A．

B．

C．

D．

7 . （1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．

   

8 . 如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______．

9 . 问题情境：如图1，，，，求的度数．

思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°；
问题迁移：
（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．

10 . 【问题情境】如图①，，，，求的度数．
小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数．

(1)按小明的思路，求的度数．
(2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
(3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系．

1 . 如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．

   

(1)若点P在图（1）位置时，求证：；
(2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明．

2 . 已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？

（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？

（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．

3 . （1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点作．
，，
．
__________．
，
__________．
__________．
即；
（2）拓展探究：
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：；
（3）解决问题：
如图③，，，，求的度数．

4 . 如图1，四边形为一张长方形纸片．

   

(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．

5 . 如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．
（1）试问：，，满足怎样的数量关系？
解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________．
（2）如图3，，分别平分和，且点在左侧．
①若，则的度数为______；
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

6 . 如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（       ）.

A．30°

B．40°

C．50°

D．65°

7 . 阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”

小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”

小华：∵如图4，也能求出的度数．”

(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．

8 . 综合与探究：
（1）问题情境：如图1，．求的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作，∴．
∴．
∵．∴．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由．

9 . 请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

10 . 请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知//，则．

解：过点作直线//．
∴（     ）．（       ）
∵//，//，
∴（   ）//（     ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴（     ）．（       ）．
∴．
∴．
（2）如图②，如果//，则（ ）

1 . 探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．

发现：在图1中，；如图5

小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．

2 . 综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，，操作发现：

(1)如图，，求的度数；
(2)如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由．
(3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由．

3 . （1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．

4 . （1）问题发现
如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．
（3）解决问题
如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程）

5 . 问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（      ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（      ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

6 . （1）如图1，AM∥CN，求证：
       
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．

7 . 如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是______．

   

8 . 如图，已知，分别探究下面三个图形中和，的关系，请你从所得三个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性．

结论：（1）______________________________________；
（2）___________________________________________；
（3）____________________________________________；
选择你喜欢的任意一个结论，进行说理证明．

9 . 如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，A140，C165．
（1）求B的度数；
（2）当D °时，AB∥DE？为什么？

10 . 问题探究：
如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．

解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．

1 . 如图所示，，分别为外侧两点，分别为上两点，连结，，，求证：.

2 . 如图所示，，与的角平分线相交于点，
（1），，求与之间的数量关系；
（2），，设，直接用含有，的代数式表示写出∠M=____.